Страница 247 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.353. а) Отец дает денег своим детям. Старшему — половину всего и 1 р., среднему — половину остатка и еще 1 р., младшему — половину остатка и последние 3 р. Сколько было денег?

б) Крестьянин, покупая товары, уплатил первому купцу половину своих денег и ещё 1 р.; второму купцу половину оставшихся денег да ещё 2 р. и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да ещё 1 р. После этого денег у крестьянина совсем не осталось. Сколько денег было у крестьянина первоначально?

а)

Такие задачи решаются "с конца", выполняя обратные действия.

1. Расчет с младшим сыном. Младшему сыну досталась половина остатка и последние 3 рубля. Это значит, что эти 3 рубля и были второй половиной остатка. Следовательно, весь остаток, который был перед тем, как младший сын получил деньги, составлял $3 \times 2 = 6$ рублей. Младший сын получил все 6 рублей (половину — 3 р., и еще 3 р.).

2. Расчет со средним сыном. Средний сын получил половину остатка и еще 1 рубль, после чего осталось 6 рублей. Значит, до того как он получил 1 рубль, оставалось $6 + 1 = 7$ рублей. Эти 7 рублей составляли половину денег, которые были до того, как средний сын получил свою долю. Следовательно, сумма перед этим составляла $7 \times 2 = 14$ рублей.

3. Расчет со старшим сыном. Старший сын получил половину всех денег и еще 1 рубль, после чего осталось 14 рублей. Рассуждая аналогично, до того как он получил 1 рубль, оставалось $14 + 1 = 15$ рублей. Эти 15 рублей составляли половину всей первоначальной суммы. Следовательно, вся сумма денег была $15 \times 2 = 30$ рублей.

Проверка:
Изначально было 30 рублей.
Старший сын получил: $30 / 2 + 1 = 16$ рублей. Осталось: $30 - 16 = 14$ рублей.
Средний сын получил: $14 / 2 + 1 = 8$ рублей. Осталось: $14 - 8 = 6$ рублей.
Младший сын получил: $6 / 2 + 3 = 6$ рублей. Осталось: $6 - 6 = 0$ рублей.
Все верно.

Ответ: 30 рублей.

б)

Эта задача также решается с конца.

1. Расчет с третьим купцом. Крестьянин уплатил ему половину оставшихся денег и еще 1 рубль. После этого денег не осталось. Значит, 1 рубль составлял вторую половину денег, которые были у крестьянина перед этой покупкой. Следовательно, перед уплатой третьему купцу у него было $1 \times 2 = 2$ рубля. (Он заплатил $2/2 + 1 = 2$ рубля).

2. Расчет со вторым купцом. Крестьянин уплатил ему половину денег и еще 2 рубля, после чего осталось 2 рубля. Значит, до того как он доплатил 2 рубля, у него оставалось $2 + 2 = 4$ рубля. Эти 4 рубля — это половина суммы, которая была до уплаты второму купцу. Следовательно, до этой уплаты у него было $4 \times 2 = 8$ рублей.

3. Расчет с первым купцом. Крестьянин уплатил ему половину своих денег и еще 1 рубль, после чего осталось 8 рублей. Значит, до того как он доплатил 1 рубль, у него оставалось $8 + 1 = 9$ рублей. Эти 9 рублей — это половина его первоначальной суммы. Следовательно, изначально у крестьянина было $9 \times 2 = 18$ рублей.

Проверка:
Изначально было 18 рублей.
Первому купцу уплатил: $18 / 2 + 1 = 10$ рублей. Осталось: $18 - 10 = 8$ рублей.
Второму купцу уплатил: $8 / 2 + 2 = 6$ рублей. Осталось: $8 - 6 = 2$ рубля.
Третьему купцу уплатил: $2 / 2 + 1 = 2$ рубля. Осталось: $2 - 2 = 0$ рублей.
Все верно.

Ответ: 18 рублей.

4.354. а) У Васи есть три шоколадки (рис. 183). Он утверждает, что сможет взять половину имеющегося шоколада и ещё полшоколадки, не ломая ни одной из них. Сможет ли Вася выполнить своё обещание? Если сможет, то как?

Рис. 183

б) В вазе лежало 5 яблок. Мальчик взял половину всех яблок и ещё пол-яблока. Сколько яблок взял мальчик?

в) В коробке лежали карандаши. Сестра взяла половину всех карандашей и ещё полкарандаша. Остальные 4 карандаша взял брат. Сколько карандашей было в коробке первоначально?

а)

Да, Вася сможет выполнить своё обещание. У него есть 3 целые шоколадки. Посчитаем, сколько шоколада он должен взять по условию.

Половина имеющегося шоколада — это половина от трёх шоколадок:

$3 \div 2 = 1.5$ шоколадки.

К этому количеству нужно прибавить ещё полшоколадки:

$1.5 + 0.5 = 2$ шоколадки.

Таким образом, Васе нужно взять 2 целые шоколадки. Так как у него есть 3, он может взять 2, не ломая ни одной из них.

Ответ: Да, сможет. Ему нужно взять 2 целые шоколадки.

б)

Чтобы узнать, сколько яблок взял мальчик, нужно посчитать половину от всех яблок и прибавить к этому пол-яблока.

В вазе было 5 яблок. Половина от этого количества:

$5 \div 2 = 2.5$ яблока.

Теперь прибавим ещё пол-яблока:

$2.5 + 0.5 = 3$ яблока.

Мальчик взял 3 яблока.

Ответ: Мальчик взял 3 яблока.

в)

Эту задачу удобнее решать с конца. Мы знаем, что брат взял 4 карандаша, которые остались после того, как сестра взяла свою часть.

Сестра взяла половину всех карандашей и ещё полкарандаша. Это значит, что оставшиеся 4 карандаша — это вторая половина карандашей минус полкарандаша.

Пусть $x$ — первоначальное количество карандашей. Тогда сестра взяла $\frac{x}{2} + 0.5$ карандашей. Осталось $x - (\frac{x}{2} + 0.5)$ карандашей, что равно 4.

Составим уравнение:

$x - (\frac{x}{2} + 0.5) = 4$

$\frac{x}{2} - 0.5 = 4$

$\frac{x}{2} = 4 + 0.5$

$\frac{x}{2} = 4.5$

$x = 4.5 \times 2$

$x = 9$

Проверка: Изначально было 9 карандашей. Сестра взяла половину ($9 \div 2 = 4.5$) и еще полкарандаша ($4.5 + 0.5 = 5$). В коробке осталось $9 - 5 = 4$ карандаша. Всё верно.

Ответ: Первоначально в коробке было 9 карандашей.

4.355. Крестьянка продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у неё половину яиц и ещё пол-яйца, вторая — половину остатка и ещё пол-яйца, а третья — последние 10 яиц. Сколько яиц принесла крестьянка на рынок?

Эту задачу удобнее всего решать с конца, последовательно восстанавливая количество яиц на каждом этапе.

1. Перед третьей покупательницей.
Третья покупательница купила последние 10 яиц. Это означает, что после того, как вторая покупательница сделала свою покупку, у крестьянки осталось ровно 10 яиц.

2. Перед второй покупательницей.
Вторая покупательница купила половину остатка и ещё пол-яйца. Пусть $y$ — это количество яиц, которое было у крестьянки до её прихода. После покупки у крестьянки осталось $y - (\frac{y}{2} + 0.5)$ яиц, что равно 10. Составим уравнение:
$y - (\frac{y}{2} + 0.5) = 10$
Раскроем скобки:
$y - \frac{y}{2} - 0.5 = 10$
Упростим левую часть:
$\frac{y}{2} - 0.5 = 10$
Перенесём 0.5 в правую часть:
$\frac{y}{2} = 10.5$
Найдём $y$:
$y = 10.5 \times 2 = 21$
Таким образом, до прихода второй покупательницы у крестьянки было 21 яйцо.

3. Первоначальное количество яиц.
Первая покупательница купила половину всех яиц и ещё пол-яйца. Пусть $x$ — это первоначальное количество яиц. После её покупки осталось 21 яйцо. Составим аналогичное уравнение:
$x - (\frac{x}{2} + 0.5) = 21$
Раскроем скобки:
$x - \frac{x}{2} - 0.5 = 21$
Упростим левую часть:
$\frac{x}{2} - 0.5 = 21$
Перенесём 0.5 в правую часть:
$\frac{x}{2} = 21.5$
Найдём $x$:
$x = 21.5 \times 2 = 43$
Следовательно, изначально крестьянка принесла на рынок 43 яйца.

Проверка:
Изначально было 43 яйца.
Первая покупательница купила: $\frac{43}{2} + 0.5 = 21.5 + 0.5 = 22$ яйца.
Осталось: $43 - 22 = 21$ яйцо.
Вторая покупательница купила: $\frac{21}{2} + 0.5 = 10.5 + 0.5 = 11$ яиц.
Осталось: $21 - 11 = 10$ яиц.
Третья покупательница купила последние 10 яиц. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 43 яйца.