Страница 246 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.345. Ананий из Ширака (Армения, VII в.). В городе Афины был водоём, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоём за один час, другая, более тонкая, — за два часа, третья, ещё более тонкая, — за три часа. Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоём.

Примечание. Ананий дал такой ответ: $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{22}$. Используйте его для проверки своего решения.

Решение

Это задача на совместную работу. Чтобы её решить, нужно сначала найти производительность (скорость работы) каждой трубы, затем их общую производительность, и после этого — время, за которое они вместе выполнят всю работу (наполнят водоём).

1. Найдём производительность каждой трубы. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Вся работа — это наполнение одного водоёма (примем её за 1).

• Первая труба наполняет водоём за 1 час. Её производительность $P_1 = \frac{1}{1} = 1$ водоём/час.
• Вторая труба наполняет водоём за 2 часа. Её производительность $P_2 = \frac{1}{2}$ водоёма/час.
• Третья труба наполняет водоём за 3 часа. Её производительность $P_3 = \frac{1}{3}$ водоёма/час.

2. Найдём общую производительность. Когда трубы работают вместе, их производительности складываются:

$P_{общая} = P_1 + P_2 + P_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

Чтобы сложить эти дроби, приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 1, 2 и 3 — это 6.

$P_{общая} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6 + 3 + 2}{6} = \frac{11}{6}$

Таким образом, общая производительность трёх труб составляет $\frac{11}{6}$ водоёма/час. Это означает, что за 1 час они наполнят больше одного водоёма.

3. Найдём время наполнения водоёма. Время $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{Работа}{Производительность}$. Поскольку нам нужно наполнить 1 водоём:

$T = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{11}{6}} = 1 \cdot \frac{6}{11} = \frac{6}{11}$

Следовательно, все три трубы вместе наполнят водоём за $\frac{6}{11}$ часа.

Ответ: $\frac{6}{11}$

Проверка по примечанию

В примечании дан ответ Анания из Ширака в виде суммы нескольких дробей: $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{12}$ и $\frac{1}{22}$. Проверим, совпадает ли эта сумма с нашим ответом. Такой способ представления дробей (в виде суммы долей с числителем 1) был распространён в древней математике.

Сложим дроби, предложенные Ананием:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{22}$

Сначала сложим первые три дроби, приведя их к общему знаменателю 12:

$\frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Теперь прибавим к результату оставшуюся дробь:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{22}$

Приведём к общему знаменателю 22:

$\frac{11}{22} + \frac{1}{22} = \frac{12}{22}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{12 \div 2}{22 \div 2} = \frac{6}{11}$

Результат полностью совпал, что подтверждает правильность нашего решения.

4.346. За 11 к. куплены одна пятириковая и одна шестириковая стеариновые свечи. Сколько стоит фунт стеариновых свечей? (Пятириковая свеча весила $1/5$, а шестириковая - $1/6$ фунта.)

Для решения этой задачи нужно выполнить два шага: сначала найти общий вес купленных свечей, а затем, зная их общую стоимость, вычислить цену за один фунт.

1. Найдём общий вес купленных свечей.
Согласно условию, вес пятириковой свечи составляет $ \frac{1}{5} $ фунта, а шестириковой — $ \frac{1}{6} $ фунта. Чтобы найти их общий вес, сложим эти дроби. Для этого приведём их к общему знаменателю, который равен 30.
$ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{1 \times 6}{5 \times 6} + \frac{1 \times 5}{6 \times 5} = \frac{6}{30} + \frac{5}{30} = \frac{11}{30} $ фунта.

2. Найдём стоимость одного фунта стеариновых свечей.
Мы знаем, что $ \frac{11}{30} $ фунта свечей стоят 11 копеек. Чтобы определить цену за один фунт, необходимо общую стоимость разделить на общий вес.
$ 11 \div \frac{11}{30} $
Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:
$ 11 \times \frac{30}{11} = \frac{11 \times 30}{11} = 30 $ копеек.

Ответ: 30 копеек.

4.347. Из египетских папирусов.

а) Количество и его четвёртая часть дают вместе 15. Найдите количество. $x + \frac{x}{4} = 15$.

б) Число и его половина составляют 9. Найдите число. $y + \frac{y}{2} = 9$.

а)

Обозначим искомое количество переменной $x$. Согласно условию, это количество и его четвёртая часть ($\frac{1}{4}x$) в сумме дают 15. Составим уравнение на основе этого условия:

$x + \frac{1}{4}x = 15$

Чтобы решить уравнение, приведём слагаемые в левой части к общему знаменателю:

$\frac{4x}{4} + \frac{x}{4} = 15$

Сложим дроби:

$\frac{5x}{4} = 15$

Теперь найдём $x$. Для этого умножим обе части уравнения на 4:

$5x = 15 \cdot 4$

$5x = 60$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{60}{5}$

$x = 12$

Таким образом, искомое количество равно 12. Проверим: $12 + \frac{12}{4} = 12 + 3 = 15$.

Ответ: 12.

б)

Обозначим искомое число переменной $y$. Согласно условию, это число и его половина ($\frac{1}{2}y$) в сумме составляют 9. Составим уравнение:

$y + \frac{1}{2}y = 9$

Приведём слагаемые в левой части к общему знаменателю:

$\frac{2y}{2} + \frac{y}{2} = 9$

Сложим дроби:

$\frac{3y}{2} = 9$

Теперь найдём $y$. Для этого умножим обе части уравнения на 2:

$3y = 9 \cdot 2$

$3y = 18$

Разделим обе части на 3:

$y = \frac{18}{3}$

$y = 6$

Таким образом, искомое число равно 6. Проверим: $6 + \frac{6}{2} = 6 + 3 = 9$.

Ответ: 6.

4.348 Составьте задачу, аналогичную египетским задачам, и решите её двумя способами.

Задача

Некоторое число и его пятая часть в сумме дают 24. Найдите это число.

Способ 1 (метод ложного положения, аналогичный египетскому)

Этот метод заключается в том, что мы сначала предполагаем произвольное, но удобное для расчетов, значение искомого числа, а затем корректируем его, находя пропорциональное отношение.

1. Пусть искомое число (в древнеегипетских задачах его называли «куча» или «аха») равно 5. Мы выбираем 5, потому что в задаче говорится о пятой части, и это упростит вычисления.

2. Вычислим сумму этого числа и его пятой части: $5 + \frac{5}{5} = 5 + 1 = 6$.

3. По условию задачи, результат должен быть равен 24, а у нас получилось 6. Найдем, во сколько раз наш результат меньше требуемого: $\frac{24}{6} = 4$.

4. Это означает, что наше первоначальное предположение (5) нужно увеличить в 4 раза, чтобы получить правильный ответ.

5. Найдем искомое число: $5 \times 4 = 20$.

Проверка: $20 + \frac{20}{5} = 20 + 4 = 24$. Результат верный.

Ответ: 20.

Способ 2 (алгебраический)

Этот метод основан на составлении и решении линейного уравнения с использованием современной алгебры.

1. Обозначим искомое число переменной $x$.

2. Согласно условию задачи, сумма числа и его пятой части равна 24. Составим уравнение: $x + \frac{x}{5} = 24$.

3. Решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{5x}{5} + \frac{x}{5} = 24$

$\frac{6x}{5} = 24$

4. Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 5 и разделим на 6:

$6x = 24 \times 5$

$6x = 120$

$x = \frac{120}{6}$

$x = 20$

Ответ: 20.

4.349 Разделите полтину на половину.

Эта задача представляет собой классическую математическую загадку, решение которой зависит от правильного понимания терминов.

Слово "полтина" означает старинную русскую монету или денежную сумму, равную 50 копейкам.

Выражение "разделите на половину" означает математическую операцию деления на число $1/2$ (или $0.5$).

Таким образом, нам нужно выполнить следующее действие:

$50 \text{ копеек} \div \frac{1}{2}$

Согласно правилу деления на дробь, чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю. Дробь, обратная $1/2$, — это $2/1$, то есть $2$.

Выполним вычисление:

$50 \times 2 = 100$

Получается 100 копеек. Поскольку 100 копеек составляют 1 рубль, результатом деления полтины на половину будет один рубль.

Ответ: 100 копеек (или 1 рубль).

4.350. Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей:

а) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$;

б) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$,

где $a, b, c, d$ — нечётные натуральные числа?

а) Да, можно. Рассмотрим уравнение $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$, где $a, b, c$ — нечётные натуральные числа. Поскольку $a, b, c$ — натуральные числа, ни одно из них не может быть равно 1. Если, например, $a=1$, то $1 + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$, что приводит к уравнению $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$, которое не имеет решений в натуральных числах $b$ и $c$. Следовательно, наименьшее возможное значение для $a, b, c$ — это 3. Без ограничения общности, предположим, что $a \le b \le c$. Тогда $\frac{1}{a} \ge \frac{1}{b} \ge \frac{1}{c}$. Из исходного уравнения следует: $1 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{3}{a}$ Из неравенства $1 \le \frac{3}{a}$ получаем, что $a \le 3$. Так как $a$ — нечётное натуральное число и $a \ne 1$, то единственно возможный вариант — это $a=3$. Подставим $a=3$ в уравнение: $\frac{1}{3} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ Поскольку мы предположили $a \le b$, то $b \ge 3$. Применим тот же метод оценки: $\frac{2}{3} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{1}{b} + \frac{1}{b} = \frac{2}{b}$ Из неравенства $\frac{2}{3} \le \frac{2}{b}$ следует, что $b \le 3$. Учитывая, что $b \ge 3$, получаем $b=3$. Подставим $b=3$ в уравнение для $b$ и $c$: $\frac{1}{3} + \frac{1}{c} = \frac{2}{3}$ $\frac{1}{c} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ Отсюда $c=3$. Таким образом, существует единственное решение (с точностью до перестановки слагаемых): $a=3, b=3, c=3$. Все эти числа являются нечётными натуральными. Пример: $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
Ответ: да, можно, например, в виде суммы $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$.

б) Нет, нельзя. Рассмотрим уравнение $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 1$, где $a, b, c, d$ — нечётные натуральные числа. Приведём левую часть уравнения к общему знаменателю $abcd$: $\frac{bcd + acd + abd + abc}{abcd} = 1$ Это уравнение равносильно следующему: $bcd + acd + abd + abc = abcd$ По условию, все числа $a, b, c, d$ являются нечётными. Проанализируем чётность левой и правой частей этого равенства. Правая часть, $abcd$, является произведением четырёх нечётных чисел. Произведение любого количества нечётных чисел всегда является нечётным числом. Значит, правая часть уравнения — нечётная. Левая часть представляет собой сумму четырёх слагаемых: $bcd, acd, abd, abc$. Каждое из этих слагаемых является произведением трёх нечётных чисел, а значит, каждое из них также является нечётным числом. Сумма четырёх нечётных чисел: нечётное + нечётное + нечётное + нечётное = (нечётное + нечётное) + (нечётное + нечётное) = чётное + чётное = чётное. Следовательно, левая часть уравнения — чётная. В итоге мы приходим к противоречию: чётное число должно быть равно нечётному. Такое равенство невозможно. Таким образом, данное уравнение не имеет решений в нечётных натуральных числах.
Ответ: нет, нельзя.

4.351. Задача-шутка. Из верхнего угла комнаты вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла вниз и вверх с одинаковой скоростью, а вторая муха хоть и поднималась в два раза медленнее первой, но зато спускалась вдвое быстрее её. Какая из мух раньше приползёт обратно?

Для решения этой задачи сравним общее время, которое потребовалось каждой мухе, чтобы спуститься и подняться обратно. Пусть высота стены равна $S$, а скорость первой мухи равна $v$.

Первая муха

Первая муха ползла вниз и вверх с одинаковой скоростью $v$.

Время, затраченное на спуск: $t_{1\_вниз} = \frac{S}{v}$

Время, затраченное на подъем: $t_{1\_вверх} = \frac{S}{v}$

Общее время для первой мухи: $T_1 = t_{1\_вниз} + t_{1\_вверх} = \frac{S}{v} + \frac{S}{v} = \frac{2S}{v}$

Вторая муха

Вторая муха спускалась вдвое быстрее первой, то есть со скоростью $2v$, а поднималась вдвое медленнее, то есть со скоростью $\frac{v}{2}$.

Время, затраченное на спуск: $t_{2\_вниз} = \frac{S}{2v}$

Время, затраченное на подъем: $t_{2\_вверх} = \frac{S}{v/2} = \frac{2S}{v}$

Общее время для второй мухи: $T_2 = t_{2\_вниз} + t_{2\_вверх} = \frac{S}{2v} + \frac{2S}{v} = \frac{S}{2v} + \frac{4S}{2v} = \frac{5S}{2v}$

Сравнение

Теперь сравним общее время, затраченное мухами.

Время первой мухи: $T_1 = \frac{2S}{v} = \frac{4S}{2v}$

Время второй мухи: $T_2 = \frac{5S}{2v}$

Так как $\frac{5S}{2v} > \frac{4S}{2v}$, то $T_2 > T_1$.

Это означает, что вторая муха затратила больше времени на весь путь. Интуитивно может показаться, что раз одна скорость вдвое больше, а другая вдвое меньше, то время будет одинаковым. Однако вторая муха проводит гораздо больше времени, двигаясь с меньшей скоростью, чем выигрывает, двигаясь с большей. Поэтому первая муха вернется раньше.

Ответ: Первая муха приползёт обратно раньше.

4.352. a) На столе лежало несколько книг. Когда взяли половину всех книг и ещё одну книгу, то осталось две книги (рис. 181). Сколько книг лежало на столе первоначально?

Диаграмма (Рис. 181):
Общее количество: "было – ?".
Верхняя часть: "взяли" - помечена как $ \frac{1}{2} $.
Нижняя часть: "осталось" - помечена как $ \frac{1}{2} $, и изображены две книги.

б) Мама дала детям конфеты: дочери половину всех конфет и ещё одну (рис. 182), сыну половину остатка и последние 5 конфет. Сколько всего конфет мама дала детям?

Диаграмма (Рис. 182):
Общее количество конфет.
Часть для дочери: обозначена как $ \frac{1}{2} $ (от всех конфет) и отдельный сегмент с числом 1.
Остаток конфет (после дочери) разделен:
Часть для сына: $ \frac{1}{2} $ (от остатка) и последний сегмент с числом 1 (согласно тексту, это 5 конфет).

а)

Для решения этой задачи будем рассуждать с конца.

1. Известно, что осталось 2 книги. Это произошло после того, как из стопки взяли одну книгу. Значит, до этого момента в стопке было $2 + 1 = 3$ книги.

2. Эти 3 книги представляют собой половину от первоначального количества, так как по условию перед этим взяли ровно половину всех книг. Следовательно, чтобы найти общее количество книг, нужно количество оставшихся книг умножить на два: $3 \times 2 = 6$ книг.

Проверка: Изначально было 6 книг. Взяли половину (это $6 \div 2 = 3$ книги) и еще одну. Всего взяли $3 + 1 = 4$ книги. Осталось на столе $6 - 4 = 2$ книги, что соответствует условию задачи.

Ответ: 6 книг.

б)

Эту задачу также будем решать с конца.

1. Начнем с конфет, которые получил сын. Ему досталась половина остатка и последние 5 конфет. Это означает, что эти 5 конфет и есть вторая половина остатка. Следовательно, остаток конфет до того, как их начал брать сын, составлял $5 \times 2 = 10$ конфет.

2. Эти 10 конфет – это то, что осталось после того, как свою часть взяла дочь. Дочь взяла половину всех конфет и еще одну. Значит, 10 конфет – это остаток после взятия "еще одной" конфеты. Таким образом, до того, как дочь взяла дополнительную конфету, остаток был $10 + 1 = 11$ конфет.

3. Эти 11 конфет являются половиной от всего изначального количества конфет. Чтобы найти, сколько всего было конфет, нужно это число удвоить: $11 \times 2 = 22$ конфеты.

Проверка: Всего было 22 конфеты. Дочь получила половину ($22 \div 2 = 11$) и еще одну, то есть $11 + 1 = 12$ конфет. После этого осталось $22 - 12 = 10$ конфет. Сын получил половину остатка ($10 \div 2 = 5$) и последние 5 конфет, то есть всего $5 + 5 = 10$ конфет. Все сходится.

Ответ: 22 конфеты.