Номер 4.350, страница 246 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.350. Можно ли число 1 представить в виде суммы дробей:

а) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$;

б) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}$,

где $a, b, c, d$ — нечётные натуральные числа?

а) Да, можно. Рассмотрим уравнение $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$, где $a, b, c$ — нечётные натуральные числа. Поскольку $a, b, c$ — натуральные числа, ни одно из них не может быть равно 1. Если, например, $a=1$, то $1 + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$, что приводит к уравнению $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$, которое не имеет решений в натуральных числах $b$ и $c$. Следовательно, наименьшее возможное значение для $a, b, c$ — это 3. Без ограничения общности, предположим, что $a \le b \le c$. Тогда $\frac{1}{a} \ge \frac{1}{b} \ge \frac{1}{c}$. Из исходного уравнения следует: $1 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{3}{a}$ Из неравенства $1 \le \frac{3}{a}$ получаем, что $a \le 3$. Так как $a$ — нечётное натуральное число и $a \ne 1$, то единственно возможный вариант — это $a=3$. Подставим $a=3$ в уравнение: $\frac{1}{3} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ $\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ Поскольку мы предположили $a \le b$, то $b \ge 3$. Применим тот же метод оценки: $\frac{2}{3} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{1}{b} + \frac{1}{b} = \frac{2}{b}$ Из неравенства $\frac{2}{3} \le \frac{2}{b}$ следует, что $b \le 3$. Учитывая, что $b \ge 3$, получаем $b=3$. Подставим $b=3$ в уравнение для $b$ и $c$: $\frac{1}{3} + \frac{1}{c} = \frac{2}{3}$ $\frac{1}{c} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ Отсюда $c=3$. Таким образом, существует единственное решение (с точностью до перестановки слагаемых): $a=3, b=3, c=3$. Все эти числа являются нечётными натуральными. Пример: $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
Ответ: да, можно, например, в виде суммы $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$.

б) Нет, нельзя. Рассмотрим уравнение $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 1$, где $a, b, c, d$ — нечётные натуральные числа. Приведём левую часть уравнения к общему знаменателю $abcd$: $\frac{bcd + acd + abd + abc}{abcd} = 1$ Это уравнение равносильно следующему: $bcd + acd + abd + abc = abcd$ По условию, все числа $a, b, c, d$ являются нечётными. Проанализируем чётность левой и правой частей этого равенства. Правая часть, $abcd$, является произведением четырёх нечётных чисел. Произведение любого количества нечётных чисел всегда является нечётным числом. Значит, правая часть уравнения — нечётная. Левая часть представляет собой сумму четырёх слагаемых: $bcd, acd, abd, abc$. Каждое из этих слагаемых является произведением трёх нечётных чисел, а значит, каждое из них также является нечётным числом. Сумма четырёх нечётных чисел: нечётное + нечётное + нечётное + нечётное = (нечётное + нечётное) + (нечётное + нечётное) = чётное + чётное = чётное. Следовательно, левая часть уравнения — чётная. В итоге мы приходим к противоречию: чётное число должно быть равно нечётному. Такое равенство невозможно. Таким образом, данное уравнение не имеет решений в нечётных натуральных числах.
Ответ: нет, нельзя.