Номер 4.345, страница 246 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.345. Ананий из Ширака (Армения, VII в.). В городе Афины был водоём, в который проведены три трубы. Одна из труб может наполнить водоём за один час, другая, более тонкая, — за два часа, третья, ещё более тонкая, — за три часа. Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполняют водоём.

Примечание. Ананий дал такой ответ: $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{22}$. Используйте его для проверки своего решения.

Решение

Это задача на совместную работу. Чтобы её решить, нужно сначала найти производительность (скорость работы) каждой трубы, затем их общую производительность, и после этого — время, за которое они вместе выполнят всю работу (наполнят водоём).

1. Найдём производительность каждой трубы. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Вся работа — это наполнение одного водоёма (примем её за 1).

• Первая труба наполняет водоём за 1 час. Её производительность $P_1 = \frac{1}{1} = 1$ водоём/час.
• Вторая труба наполняет водоём за 2 часа. Её производительность $P_2 = \frac{1}{2}$ водоёма/час.
• Третья труба наполняет водоём за 3 часа. Её производительность $P_3 = \frac{1}{3}$ водоёма/час.

2. Найдём общую производительность. Когда трубы работают вместе, их производительности складываются:

$P_{общая} = P_1 + P_2 + P_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

Чтобы сложить эти дроби, приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 1, 2 и 3 — это 6.

$P_{общая} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6 + 3 + 2}{6} = \frac{11}{6}$

Таким образом, общая производительность трёх труб составляет $\frac{11}{6}$ водоёма/час. Это означает, что за 1 час они наполнят больше одного водоёма.

3. Найдём время наполнения водоёма. Время $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{Работа}{Производительность}$. Поскольку нам нужно наполнить 1 водоём:

$T = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{11}{6}} = 1 \cdot \frac{6}{11} = \frac{6}{11}$

Следовательно, все три трубы вместе наполнят водоём за $\frac{6}{11}$ часа.

Ответ: $\frac{6}{11}$

Проверка по примечанию

В примечании дан ответ Анания из Ширака в виде суммы нескольких дробей: $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{12}$ и $\frac{1}{22}$. Проверим, совпадает ли эта сумма с нашим ответом. Такой способ представления дробей (в виде суммы долей с числителем 1) был распространён в древней математике.

Сложим дроби, предложенные Ананием:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{22}$

Сначала сложим первые три дроби, приведя их к общему знаменателю 12:

$\frac{3}{12} + \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Теперь прибавим к результату оставшуюся дробь:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{22}$

Приведём к общему знаменателю 22:

$\frac{11}{22} + \frac{1}{22} = \frac{12}{22}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{12 \div 2}{22 \div 2} = \frac{6}{11}$

Результат полностью совпал, что подтверждает правильность нашего решения.