Номер 4.342, страница 242 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.342. Из пункта $A$ в пункт $B$ против течения реки теплоход плывёт 20 ч. А из пункта $B$ в пункт $A$ — $a$ ч ($(6 < a < 18)$). За сколько часов из пункта $B$ в пункт $A$ приплывут плоты?

Каким натуральным числом можно заменить букву $a$ в условии задачи, чтобы ответ выражался натуральным числом? Найдите несколько таких чисел.

За сколько часов из пункта В в пункт А приплывут плоты?

Обозначим расстояние между пунктами А и В как $S$, собственную скорость теплохода как $v_{т}$, а скорость течения реки как $v_{р}$.

Скорость теплохода против течения (из А в В) равна $v_{т} - v_{р}$. Время в пути составляет 20 часов. Таким образом, расстояние $S$ можно выразить как: $S = (v_{т} - v_{р}) \cdot 20$

Из этого уравнения выразим скорость против течения: $v_{т} - v_{р} = \frac{S}{20}$ (1)

Скорость теплохода по течению (из В в А) равна $v_{т} + v_{р}$. Время в пути составляет $a$ часов. Расстояние $S$ можно выразить как: $S = (v_{т} + v_{р}) \cdot a$

Из этого уравнения выразим скорость по течению: $v_{т} + v_{р} = \frac{S}{a}$ (2)

Плоты плывут со скоростью течения реки, то есть со скоростью $v_{р}$. Время, за которое плоты проплывут расстояние $S$ из В в А, равно $t_{п} = \frac{S}{v_{р}}$. Нам нужно найти $v_{р}$.

Для этого решим систему из уравнений (1) и (2). Вычтем уравнение (1) из уравнения (2): $(v_{т} + v_{р}) - (v_{т} - v_{р}) = \frac{S}{a} - \frac{S}{20}$
$2v_{р} = S (\frac{1}{a} - \frac{1}{20})$
$2v_{р} = S (\frac{20 - a}{20a})$
$v_{р} = \frac{S(20 - a)}{40a}$

Теперь найдем время движения плотов: $t_{п} = \frac{S}{v_{р}} = \frac{S}{\frac{S(20 - a)}{40a}} = \frac{40a}{20 - a}$

Ответ: $\frac{40a}{20 - a}$ часов.

Каким натуральным числом можно заменить букву а в условии задачи, чтобы ответ выражался натуральным числом? Найдите несколько таких чисел.

Из первой части задачи мы знаем, что время движения плотов равно $t_{п} = \frac{40a}{20 - a}$. Нам нужно найти такие натуральные значения $a$, при которых $t_{п}$ также будет натуральным числом.

По условию, $6 < a < 18$. Это означает, что $a$ может принимать следующие натуральные значения: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.

Преобразуем выражение для $t_{п}$: $t_{п} = \frac{40a}{20 - a} = \frac{-40(-a)}{20 - a} = \frac{-40(20 - a - 20)}{20 - a} = \frac{-40(20 - a) + 800}{20 - a} = -40 + \frac{800}{20 - a}$

Чтобы $t_{п}$ было натуральным числом, выражение $(20 - a)$ должно быть натуральным делителем числа 800. Также результат $t_{п}$ должен быть положительным. Проверим это условие: $-40 + \frac{800}{20 - a} > 0 \implies \frac{800}{20 - a} > 40$. Так как $a < 18$, то $20 - a > 2$, значит знаменатель положителен. Можем умножить обе части на $(20 - a)$: $800 > 40(20 - a) \implies 20 > 20 - a \implies 0 > -a \implies a > 0$. Это условие выполняется, так как $a > 6$.

Теперь переберем возможные значения $a$ и найдем, когда $(20 - a)$ является делителем 800:

• Если $a = 7$, то $20 - a = 13$. 800 не делится на 13.
• Если $a = 8$, то $20 - a = 12$. 800 не делится на 12.
• Если $a = 9$, то $20 - a = 11$. 800 не делится на 11.
• Если $a = 10$, то $20 - a = 10$. 800 делится на 10. $t_{п} = -40 + \frac{800}{10} = -40 + 80 = 40$. Это натуральное число.
• Если $a = 11$, то $20 - a = 9$. 800 не делится на 9.
• Если $a = 12$, то $20 - a = 8$. 800 делится на 8. $t_{п} = -40 + \frac{800}{8} = -40 + 100 = 60$. Это натуральное число.
• Если $a = 13$, то $20 - a = 7$. 800 не делится на 7.
• Если $a = 14$, то $20 - a = 6$. 800 не делится на 6.
• Если $a = 15$, то $20 - a = 5$. 800 делится на 5. $t_{п} = -40 + \frac{800}{5} = -40 + 160 = 120$. Это натуральное число.
• Если $a = 16$, то $20 - a = 4$. 800 делится на 4. $t_{п} = -40 + \frac{800}{4} = -40 + 200 = 160$. Это натуральное число.
• Если $a = 17$, то $20 - a = 3$. 800 не делится на 3.

Таким образом, подходящие значения для $a$ — это 10, 12, 15 и 16.

Ответ: Букву $a$ можно заменить, например, числами 10, 12, 15, 16.