Номер 4.340, страница 241 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.340. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ моторная лодка проплывает по течению реки за 15 мин, а против течения — за 60 мин.

За сколько минут проплывёт то же расстояние:

а) бревно по реке;

б) моторная лодка по озеру?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пристанями A и B;
• $V_л$ – собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде, например, в озере);
• $V_т$ – скорость течения реки.

Когда лодка плывет по течению, ее скорость складывается со скоростью течения, и она равна $V_{по} = V_л + V_т$.

Когда лодка плывет против течения, ее скорость уменьшается на скорость течения, и она равна $V_{против} = V_л - V_т$.

Используя формулу расстояния $S = V \cdot t$, составим систему уравнений на основе данных из условия:

1. Движение по течению: $S = (V_л + V_т) \cdot 15$

2. Движение против течения: $S = (V_л - V_т) \cdot 60$

Из этих уравнений выразим скорости:

$V_л + V_т = \frac{S}{15}$ (уравнение 1)

$V_л - V_т = \frac{S}{60}$ (уравнение 2)

а) бревно по реке;

Бревно не имеет собственной скорости и плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью $V_т$. Необходимо найти время $t_a$, за которое бревно проплывет расстояние $S$. Это время вычисляется по формуле $t_a = \frac{S}{V_т}$.

Чтобы найти $V_т$, вычтем из уравнения 1 уравнение 2:

$(V_л + V_т) - (V_л - V_т) = \frac{S}{15} - \frac{S}{60}$

$2V_т = \frac{4S - S}{60} = \frac{3S}{60} = \frac{S}{20}$

Отсюда находим скорость течения:

$V_т = \frac{S}{40}$

Теперь можем найти время движения бревна:

$t_a = \frac{S}{V_т} = \frac{S}{S/40} = 40$ минут.

Ответ: 40 минут.

б) моторная лодка по озеру?

В озере течение отсутствует, поэтому лодка будет двигаться со своей собственной скоростью $V_л$. Необходимо найти время $t_b$, за которое лодка проплывет расстояние $S$. Это время вычисляется по формуле $t_b = \frac{S}{V_л}$.

Чтобы найти $V_л$, сложим уравнение 1 и уравнение 2:

$(V_л + V_т) + (V_л - V_т) = \frac{S}{15} + \frac{S}{60}$

$2V_л = \frac{4S + S}{60} = \frac{5S}{60} = \frac{S}{12}$

Отсюда находим собственную скорость лодки:

$V_л = \frac{S}{24}$

Теперь можем найти время движения лодки по озеру:

$t_b = \frac{S}{V_л} = \frac{S}{S/24} = 24$ минуты.

Ответ: 24 минуты.