Номер 4.339, страница 241 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.339. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ моторная лодка проплывает против течения реки за 30 мин, а такое же расстояние по озеру — за 10 мин. За сколько минут проплывёт расстояние между пристанями $A$ и $B$:

a) плот;

б) моторная лодка по течению реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пристанями A и B.
• $v_л$ – собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде).
• $v_т$ – скорость течения реки.

Скорость лодки по течению реки равна $v_л + v_т$, а скорость против течения – $v_л - v_т$. Скорость плота равна скорости течения $v_т$.

Из условия известно, что расстояние $S$ по озеру (где течение отсутствует, скорость равна $v_л$) лодка проплывает за 10 минут. Используя формулу $S = v \cdot t$ (расстояние = скорость × время), можем выразить собственную скорость лодки:

$S = v_л \cdot 10 \implies v_л = \frac{S}{10}$

Против течения реки (со скоростью $v_л - v_т$) лодка проплывает то же расстояние $S$ за 30 минут. Составим второе уравнение:

$S = (v_л - v_т) \cdot 30 \implies v_л - v_т = \frac{S}{30}$

Теперь подставим выражение для $v_л$ из первого уравнения во второе, чтобы найти скорость течения $v_т$:

$\frac{S}{10} - v_т = \frac{S}{30}$

Выразим $v_т$:

$v_т = \frac{S}{10} - \frac{S}{30} = \frac{3S - S}{30} = \frac{2S}{30} = \frac{S}{15}$

Итак, мы нашли, что скорость течения реки равна $S/15$. Теперь можем ответить на вопросы задачи.

а) плот;

Плот движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна $v_т = \frac{S}{15}$. Чтобы найти время, за которое плот проплывет расстояние $S$, разделим расстояние на скорость:

$t_{плот} = \frac{S}{v_т} = \frac{S}{S/15} = S \cdot \frac{15}{S} = 15$ минут.

Ответ: 15 минут.

б) моторная лодка по течению реки?

Скорость лодки по течению равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $v_{по\_теч} = v_л + v_т$.

Подставим известные значения $v_л = \frac{S}{10}$ и $v_т = \frac{S}{15}$:

$v_{по\_теч} = \frac{S}{10} + \frac{S}{15} = \frac{3S}{30} + \frac{2S}{30} = \frac{5S}{30} = \frac{S}{6}$

Теперь найдем время, которое потребуется лодке, чтобы проплыть расстояние $S$ по течению:

$t_{по\_теч} = \frac{S}{v_{по\_теч}} = \frac{S}{S/6} = S \cdot \frac{6}{S} = 6$ минут.

Ответ: 6 минут.