Номер 4.332, страница 239 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.332. Постройте развёртку прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого $\frac{2}{5}$ дм, $\frac{1}{4}$ дм, $\frac{1}{2}$ дм. Вырежьте развёртку из бумаги, оставляя припуски для склеивания, и склейте прямоугольный параллелепипед. Определите объём и сумму площадей всех граней получившегося прямоугольного параллелепипеда.

Для определения объёма и суммы площадей граней прямоугольного параллелепипеда, обозначим длины его рёбер как $a$, $b$ и $c$:

$a = \frac{2}{5}$ дм

$b = \frac{1}{4}$ дм

$c = \frac{1}{2}$ дм

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется по формуле, как произведение длин трёх его рёбер (длины, ширины и высоты):

$V = a \cdot b \cdot c$

Подставим в формулу заданные значения рёбер:

$V = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{2}{40}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$V = \frac{1}{20}$ дм$^3$

Ответ: $\frac{1}{20}$ дм$^3$.

Сумма площадей всех граней, или площадь полной поверхности ($S$), вычисляется по формуле, где суммируются площади всех шести граней (по две одинаковых):

$S = 2 \cdot (ab + ac + bc)$

Сначала вычислим произведения $ab$, $ac$ и $bc$:

$ab = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ дм$^2$

$ac = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ дм$^2$

$bc = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ дм$^2$

Теперь подставим эти значения в формулу для площади поверхности:

$S = 2 \cdot \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8}\right)$

Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 10, 5 и 8 равен 40.

$S = 2 \cdot \left(\frac{1 \cdot 4}{10 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8} + \frac{1 \cdot 5}{8 \cdot 5}\right) = 2 \cdot \left(\frac{4}{40} + \frac{8}{40} + \frac{5}{40}\right)$

Сложим дроби в скобках:

$S = 2 \cdot \left(\frac{4+8+5}{40}\right) = 2 \cdot \frac{17}{40}$

Выполним умножение и сократим полученную дробь:

$S = \frac{2 \cdot 17}{40} = \frac{34}{40} = \frac{17}{20}$ дм$^2$

Ответ: $\frac{17}{20}$ дм$^2$.