Номер 4.328, страница 239 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.328. Вычислите площадь всех граней и объём прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого равны:

а) $1\frac{1}{3}$ дм, $\frac{1}{4}$ дм и $\frac{1}{2}$ дм;

б) $\frac{1}{5}$ дм, $1\frac{1}{4}$ дм и $\frac{1}{3}$ дм.

а)

Даны рёбра прямоугольного параллелепипеда: $a = 1\frac{1}{3}$ дм, $b = \frac{1}{4}$ дм и $c = \frac{1}{2}$ дм.

Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь:

$a = 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$ дм.

Площадь всех граней (полная поверхность) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S = 2(ab + bc + ac)$.

Найдём площади пар противоположных граней:

$ab = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ дм².

$bc = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ дм².

$ac = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ дм².

Теперь найдём общую площадь всех граней:

$S = 2(\frac{1}{3} + \frac{1}{8} + \frac{2}{3}) = 2((\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) + \frac{1}{8}) = 2(1 + \frac{1}{8}) = 2 \cdot \frac{9}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$ дм².

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

$V = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$ дм³.

Ответ: площадь всех граней $2\frac{1}{4}$ дм², объём $\frac{1}{6}$ дм³.

б)

Даны рёбра прямоугольного параллелепипеда: $a = \frac{1}{5}$ дм, $b = 1\frac{1}{4}$ дм и $c = \frac{1}{3}$ дм.

Сначала переведём смешанное число в неправильную дробь:

$b = 1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$ дм.

Площадь всех граней вычисляется по формуле: $S = 2(ab + bc + ac)$.

Найдём площади пар противоположных граней:

$ab = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ дм².

$bc = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{12}$ дм².

$ac = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$ дм².

Теперь найдём общую площадь всех граней, приведя дроби к общему знаменателю 60:

$S = 2(\frac{1}{4} + \frac{5}{12} + \frac{1}{15}) = 2(\frac{1 \cdot 15}{60} + \frac{5 \cdot 5}{60} + \frac{1 \cdot 4}{60}) = 2(\frac{15 + 25 + 4}{60}) = 2 \cdot \frac{44}{60} = \frac{88}{60} = \frac{22}{15} = 1\frac{7}{15}$ дм².

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $V = a \cdot b \cdot c$.

$V = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ дм³.

Ответ: площадь всех граней $1\frac{7}{15}$ дм², объём $\frac{1}{12}$ дм³.