Номер 4.338, страница 241 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

4.338. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ катер проплывает по течению реки за 8 мин, а такое же расстояние по озеру — за 12 мин.

За сколько минут проплывёт расстояние между пристанями $A$ и $B$:

а) плот;

б) катер против течения реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между пристанями А и В.
• $v_к$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде, например, в озере).
• $v_р$ — скорость течения реки.

Из условия задачи известно, что катер проплывает расстояние $S$ по озеру за 12 минут. Скорость движения в озере равна собственной скорости катера. Таким образом, мы можем выразить $v_к$:

$S = v_к \cdot 12 \implies v_к = \frac{S}{12}$

Также известно, что по течению реки катер проплывает то же расстояние $S$ за 8 минут. Скорость катера по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения ($v_к + v_р$).

$S = (v_к + v_р) \cdot 8 \implies v_к + v_р = \frac{S}{8}$

а) плот;

Плот движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна $v_р$. Чтобы найти время, за которое плот проплывёт расстояние $S$, нам нужно сначала найти скорость течения $v_р$. Мы можем сделать это, вычтя собственную скорость катера из его скорости по течению:

$v_р = (v_к + v_р) - v_к$

Подставим ранее найденные выражения для скоростей:

$v_р = \frac{S}{8} - \frac{S}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$v_р = \frac{3S}{24} - \frac{2S}{24} = \frac{S}{24}$

Теперь, зная скорость течения, можем найти время $t_{плот}$, за которое плот пройдёт расстояние $S$:

$t_{плот} = \frac{S}{v_р} = \frac{S}{S/24} = S \cdot \frac{24}{S} = 24$ минуты.

Ответ: 24 минуты.

б) катер против течения реки?

Чтобы найти время движения катера против течения, нужно сначала определить его скорость против течения ($v_{против}$). Эта скорость равна разности собственной скорости катера и скорости течения реки:

$v_{против} = v_к - v_р$

Подставим известные нам значения $v_к = \frac{S}{12}$ и $v_р = \frac{S}{24}$:

$v_{против} = \frac{S}{12} - \frac{S}{24}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$v_{против} = \frac{2S}{24} - \frac{S}{24} = \frac{S}{24}$

Теперь найдем время $t_{против}$, за которое катер проплывёт расстояние $S$ против течения:

$t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{S}{S/24} = S \cdot \frac{24}{S} = 24$ минуты.

Ответ: 24 минуты.