Страница 253 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

5.1. Запишите обыкновенные и смешанные дроби в виде десятичных дробей:

а) $2\frac{9}{10}$, $1\frac{3}{10}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{19}{10}$, $\frac{23}{10}$, $\frac{37}{10}$.

б) $3\frac{13}{100}$, $1\frac{29}{100}$, $\frac{37}{100}$, $\frac{9}{100}$, $\frac{213}{100}$, $\frac{223}{100}$.

в) $4\frac{333}{1000}$, $3\frac{777}{1000}$, $2\frac{99}{1000}$, $1\frac{101}{1000}$, $\frac{10}{1000}$, $\frac{1}{1000}$, $\frac{2018}{1000}$.

а)

Чтобы преобразовать обыкновенные и смешанные дроби со знаменателем 10 в десятичные, нужно целую часть (если она есть) записать до запятой, а числитель дробной части записать после запятой, так как знаменатель 10 означает один знак после запятой (десятые доли).

$2\frac{9}{10}$ — это смешанная дробь. Целая часть равна 2, дробная часть $\frac{9}{10}$ равна девяти десятым. Записываем как 2,9.

$1\frac{3}{10}$ — смешанная дробь. Целая часть равна 1, дробная часть $\frac{3}{10}$ равна трём десятым. Записываем как 1,3.

$\frac{7}{10}$ — правильная дробь. Целой части нет (равна нулю), поэтому записываем 0,7.

$\frac{19}{10}$ — неправильная дробь. Можно выделить целую часть: $\frac{19}{10} = 1\frac{9}{10}$. Записываем как 1,9. Или можно разделить числитель на знаменатель: $19 \div 10 = 1,9$.

$\frac{23}{10}$ — неправильная дробь. Выделяем целую часть: $\frac{23}{10} = 2\frac{3}{10}$. Записываем как 2,3. Или $23 \div 10 = 2,3$.

$\frac{37}{10}$ — неправильная дробь. Выделяем целую часть: $\frac{37}{10} = 3\frac{7}{10}$. Записываем как 3,7. Или $37 \div 10 = 3,7$.

Ответ: 2,9; 1,3; 0,7; 1,9; 2,3; 3,7.

б)

Для дробей со знаменателем 100 в десятичной записи должно быть два знака после запятой (сотые доли).

$3\frac{13}{100}$ — смешанная дробь. Целая часть 3, дробная часть $\frac{13}{100}$ равна тринадцати сотым. Записываем как 3,13.

$1\frac{29}{100}$ — смешанная дробь. Целая часть 1, дробная часть $\frac{29}{100}$ равна двадцати девяти сотым. Записываем как 1,29.

$\frac{37}{100}$ — правильная дробь. Целой части нет, записываем 0,37.

$\frac{9}{100}$ — правильная дробь. Числитель 9 состоит из одной цифры, а нам нужно два знака после запятой. Поэтому перед 9 ставим 0: 0,09.

$\frac{213}{100}$ — неправильная дробь. Выделяем целую часть: $\frac{213}{100} = 2\frac{13}{100}$. Записываем как 2,13.

$\frac{223}{100}$ — неправильная дробь. Выделяем целую часть: $\frac{223}{100} = 2\frac{23}{100}$. Записываем как 2,23.

Ответ: 3,13; 1,29; 0,37; 0,09; 2,13; 2,23.

в)

Для дробей со знаменателем 1000 в десятичной записи должно быть три знака после запятой (тысячные доли).

$4\frac{333}{1000}$ — смешанная дробь. Целая часть 4, дробная часть $\frac{333}{1000}$ равна трёмстам тридцати трём тысячным. Записываем как 4,333.

$3\frac{777}{1000}$ — смешанная дробь. Целая часть 3, дробная часть $\frac{777}{1000}$ равна семистам семидесяти семи тысячным. Записываем как 3,777.

$2\frac{99}{1000}$ — смешанная дробь. Целая часть 2. В числителе дробной части две цифры, а нам нужно три знака после запятой, поэтому добавляем один ноль перед числом: 099. Записываем как 2,099.

$1\frac{101}{1000}$ — смешанная дробь. Целая часть 1, дробная часть $\frac{101}{1000}$ равна ста одной тысячной. Записываем как 1,101.

$\frac{10}{1000}$ — правильная дробь. Целой части нет. Для трёх знаков после запятой записываем числитель как 010. Получаем 0,010, что равно 0,01.

$\frac{1}{1000}$ — правильная дробь. Целой части нет. В числителе одна цифра, а нужно три знака после запятой, поэтому добавляем два ноля перед числом: 001. Записываем как 0,001.

$\frac{2018}{1000}$ — неправильная дробь. Выделяем целую часть: $\frac{2018}{1000} = 2\frac{18}{1000}$. Дробную часть $\frac{18}{1000}$ записываем как 0,018. В итоге получаем 2,018.

Ответ: 4,333; 3,777; 2,099; 1,101; 0,01; 0,001; 2,018.

5.2. Прочитайте десятичные дроби, запишите их в виде обыкновенных и смешанных дробей:

а) $4,5$; $5,4$; $3,7$; $7,3$; $0,4$; $0,5$;

б) $2,15$; $6,42$; $1,75$; $7,32$; $0,45$; $0,54$;

в) $17,251$; $8,432$; $1,705$; $7,032$; $0,035$; $0,004$;

г) $1,2345$; $6,5432$; $1,0075$; $7,3002$; $0,0405$; $0,0054$.

а)

4,5: Записываем целую часть 4 и дробную часть в виде дроби $\frac{5}{10}$. Получаем смешанную дробь $4\frac{5}{10}$. Сокращаем дробную часть, разделив числитель и знаменатель на 5: $4\frac{5}{10} = 4\frac{1}{2}$. Ответ: $4\frac{1}{2}$

5,4: Записываем целую часть 5 и дробную часть $\frac{4}{10}$. Получаем смешанную дробь $5\frac{4}{10}$. Сокращаем дробную часть на 2: $5\frac{4}{10} = 5\frac{2}{5}$. Ответ: $5\frac{2}{5}$

3,7: Записываем целую часть 3 и дробную часть $\frac{7}{10}$. Получаем смешанную дробь $3\frac{7}{10}$. Дробь несократимая. Ответ: $3\frac{7}{10}$

7,3: Записываем целую часть 7 и дробную часть $\frac{3}{10}$. Получаем смешанную дробь $7\frac{3}{10}$. Дробь несократимая. Ответ: $7\frac{3}{10}$

0,4: Записываем в виде обыкновенной дроби $\frac{4}{10}$. Сокращаем дробь на 2: $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Ответ: $\frac{2}{5}$

0,5: Записываем в виде обыкновенной дроби $\frac{5}{10}$. Сокращаем дробь на 5: $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

2,15: Записываем как смешанную дробь $2\frac{15}{100}$. Сокращаем дробную часть на 5: $2\frac{15}{100} = 2\frac{3}{20}$. Ответ: $2\frac{3}{20}$

6,42: Записываем как смешанную дробь $6\frac{42}{100}$. Сокращаем дробную часть на 2: $6\frac{42}{100} = 6\frac{21}{50}$. Ответ: $6\frac{21}{50}$

1,75: Записываем как смешанную дробь $1\frac{75}{100}$. Сокращаем дробную часть на 25: $1\frac{75}{100} = 1\frac{3}{4}$. Ответ: $1\frac{3}{4}$

7,32: Записываем как смешанную дробь $7\frac{32}{100}$. Сокращаем дробную часть на 4: $7\frac{32}{100} = 7\frac{8}{25}$. Ответ: $7\frac{8}{25}$

0,45: Записываем как обыкновенную дробь $\frac{45}{100}$. Сокращаем на 5: $\frac{45}{100} = \frac{9}{20}$. Ответ: $\frac{9}{20}$

0,54: Записываем как обыкновенную дробь $\frac{54}{100}$. Сокращаем на 2: $\frac{54}{100} = \frac{27}{50}$. Ответ: $\frac{27}{50}$

в)

17,251: Записываем как смешанную дробь $17\frac{251}{1000}$. Дробь несократимая. Ответ: $17\frac{251}{1000}$

8,432: Записываем как смешанную дробь $8\frac{432}{1000}$. Сокращаем дробную часть на 8: $8\frac{432}{1000} = 8\frac{54}{125}$. Ответ: $8\frac{54}{125}$

1,705: Записываем как смешанную дробь $1\frac{705}{1000}$. Сокращаем дробную часть на 5: $1\frac{705}{1000} = 1\frac{141}{200}$. Ответ: $1\frac{141}{200}$

7,032: Записываем как смешанную дробь $7\frac{32}{1000}$. Сокращаем дробную часть на 8: $7\frac{32}{1000} = 7\frac{4}{125}$. Ответ: $7\frac{4}{125}$

0,035: Записываем как обыкновенную дробь $\frac{35}{1000}$. Сокращаем на 5: $\frac{35}{1000} = \frac{7}{200}$. Ответ: $\frac{7}{200}$

0,004: Записываем как обыкновенную дробь $\frac{4}{1000}$. Сокращаем на 4: $\frac{4}{1000} = \frac{1}{250}$. Ответ: $\frac{1}{250}$

г)

1,2345: Записываем как смешанную дробь $1\frac{2345}{10000}$. Сокращаем дробную часть на 5: $1\frac{2345}{10000} = 1\frac{469}{2000}$. Ответ: $1\frac{469}{2000}$

6,5432: Записываем как смешанную дробь $6\frac{5432}{10000}$. Сокращаем дробную часть на 8: $6\frac{5432}{10000} = 6\frac{679}{1250}$. Ответ: $6\frac{679}{1250}$

1,0075: Записываем как смешанную дробь $1\frac{75}{10000}$. Сокращаем дробную часть на 25: $1\frac{75}{10000} = 1\frac{3}{400}$. Ответ: $1\frac{3}{400}$

7,3002: Записываем как смешанную дробь $7\frac{3002}{10000}$. Сокращаем дробную часть на 2: $7\frac{3002}{10000} = 7\frac{1501}{5000}$. Ответ: $7\frac{1501}{5000}$

0,0405: Записываем как обыкновенную дробь $\frac{405}{10000}$. Сокращаем на 5: $\frac{405}{10000} = \frac{81}{2000}$. Ответ: $\frac{81}{2000}$

0,0054: Записываем как обыкновенную дробь $\frac{54}{10000}$. Сокращаем на 2: $\frac{54}{10000} = \frac{27}{5000}$. Ответ: $\frac{27}{5000}$

5.3. Запишите в виде неправильной дроби:

a) $6,7$; $8,9$; $9,7$; $5,3$; $3,4$; $1,5$;

б) $4,55$; $5,12$; $3,05$; $2,02$; $3,12$; $12,13$;

в) $2,017$; $12,345$; $8,765$; $7,027$; $3,207$; $4,007$;

г) $2,3456$; $5,4321$; $2,0909$; $4,0021$; $5,0013$; $6,0907$.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в неправильную, нужно в числитель дроби записать число без запятой, а в знаменатель — единицу с таким количеством нулей, сколько цифр стоит после запятой в исходной десятичной дроби.

а)

В числах этого пункта одна цифра после запятой, поэтому знаменатель будет 10.

$6,7 = \frac{67}{10}$

$8,9 = \frac{89}{10}$

$9,7 = \frac{97}{10}$

$5,3 = \frac{53}{10}$

$3,4 = \frac{34}{10}$

$1,5 = \frac{15}{10}$

Ответ: $\frac{67}{10}; \frac{89}{10}; \frac{97}{10}; \frac{53}{10}; \frac{34}{10}; \frac{15}{10}$.

б)

В данных числах по две цифры после запятой, значит знаменатель будет 100.

$4,55 = \frac{455}{100}$

$5,12 = \frac{512}{100}$

$3,05 = \frac{305}{100}$

$2,02 = \frac{202}{100}$

$3,12 = \frac{312}{100}$

$12,13 = \frac{1213}{100}$

Ответ: $\frac{455}{100}; \frac{512}{100}; \frac{305}{100}; \frac{202}{100}; \frac{312}{100}; \frac{1213}{100}$.

в)

В числах из этого пункта по три цифры после запятой, поэтому знаменатель для каждой дроби будет 1000.

$2,017 = \frac{2017}{1000}$

$12,345 = \frac{12345}{1000}$

$8,765 = \frac{8765}{1000}$

$7,027 = \frac{7027}{1000}$

$3,207 = \frac{3207}{1000}$

$4,007 = \frac{4007}{1000}$

Ответ: $\frac{2017}{1000}; \frac{12345}{1000}; \frac{8765}{1000}; \frac{7027}{1000}; \frac{3207}{1000}; \frac{4007}{1000}$.

г)

В данных десятичных дробях по четыре цифры после запятой, следовательно, знаменатель будет равен 10000.

$2,3456 = \frac{23456}{10000}$

$5,4321 = \frac{54321}{10000}$

$2,0909 = \frac{20909}{10000}$

$4,0021 = \frac{40021}{10000}$

$5,0013 = \frac{50013}{10000}$

$6,0907 = \frac{60907}{10000}$

Ответ: $\frac{23456}{10000}; \frac{54321}{10000}; \frac{20909}{10000}; \frac{40021}{10000}; \frac{50013}{10000}; \frac{60907}{10000}$.

5.4. Прочитайте дроби, назовите их целые части и цифры каждого разряда:

a) $12.3$; $13.09$; $104.107$; $15.003$;

б) $0.5$; $0.05$; $0.0005$; $0.00005$; $0.000005$.

а)

• $12,3$ — читается «двенадцать целых три десятых».

  • Целая часть: 12.
  • Цифры по разрядам: 1 в разряде десятков, 2 в разряде единиц, 3 в разряде десятых.

• $13,09$ — читается «тринадцать целых девять сотых».

  • Целая часть: 13.
  • Цифры по разрядам: 1 в разряде десятков, 3 в разряде единиц, 0 в разряде десятых, 9 в разряде сотых.

• $104,107$ — читается «сто четыре целых сто семь тысячных».

  • Целая часть: 104.
  • Цифры по разрядам: 1 в разряде сотен, 0 в разряде десятков, 4 в разряде единиц, 1 в разряде десятых, 0 в разряде сотых, 7 в разряде тысячных.

• $15,003$ — читается «пятнадцать целых три тысячных».

  • Целая часть: 15.
  • Цифры по разрядам: 1 в разряде десятков, 5 в разряде единиц, 0 в разряде десятых, 0 в разряде сотых, 3 в разряде тысячных.

Ответ:
Для дроби $12,3$: целая часть 12; цифры разрядов: 1 (десятки), 2 (единицы), 3 (десятые).
Для дроби $13,09$: целая часть 13; цифры разрядов: 1 (десятки), 3 (единицы), 0 (десятые), 9 (сотые).
Для дроби $104,107$: целая часть 104; цифры разрядов: 1 (сотни), 0 (десятки), 4 (единицы), 1 (десятые), 0 (сотые), 7 (тысячные).
Для дроби $15,003$: целая часть 15; цифры разрядов: 1 (десятки), 5 (единицы), 0 (десятые), 0 (сотые), 3 (тысячные).

б)

• $0,5$ — читается «ноль целых пять десятых».

  • Целая часть: 0.
  • Цифры по разрядам: 0 в разряде единиц, 5 в разряде десятых.

• $0,05$ — читается «ноль целых пять сотых».

  • Целая часть: 0.
  • Цифры по разрядам: 0 в разряде единиц, 0 в разряде десятых, 5 в разряде сотых.

• $0,0005$ — читается «ноль целых пять десятитысячных».

  • Целая часть: 0.
  • Цифры по разрядам: 0 в разряде единиц, 0 в разряде десятых, 0 в разряде сотых, 0 в разряде тысячных, 5 в разряде десятитысячных.

• $0,00005$ — читается «ноль целых пять стотысячных».

  • Целая часть: 0.
  • Цифры по разрядам: 0 в разряде единиц, 0 в разряде десятых, 0 в разряде сотых, 0 в разряде тысячных, 0 в разряде десятитысячных, 5 в разряде стотысячных.

• $0,000005$ — читается «ноль целых пять миллионных».

  • Целая часть: 0.
  • Цифры по разрядам: 0 в разряде единиц, 0 в разряде десятых, 0 в разряде сотых, 0 в разряде тысячных, 0 в разряде десятитысячных, 0 в разряде стотысячных, 5 в разряде миллионных.

Ответ:
Для дроби $0,5$: целая часть 0; цифры разрядов: 0 (единицы), 5 (десятые).
Для дроби $0,05$: целая часть 0; цифры разрядов: 0 (единицы), 0 (десятые), 5 (сотые).
Для дроби $0,0005$: целая часть 0; цифры разрядов: 0 (единицы), 0 (десятые), 0 (сотые), 0 (тысячные), 5 (десятитысячные).
Для дроби $0,00005$: целая часть 0; цифры разрядов: 0 (единицы), 0 (десятые), 0 (сотые), 0 (тысячные), 0 (десятитысячные), 5 (стотысячные).
Для дроби $0,000005$: целая часть 0; цифры разрядов: 0 (единицы), 0 (десятые), 0 (сотые), 0 (тысячные), 0 (десятитысячные), 0 (стотысячные), 5 (миллионные).

5.5. Запишите десятичные дроби цифрами:

а) тридцать шесть целых, шесть десятых; $36.6$

б) две целых, двенадцать сотых; $2.12$

в) пять целых, сто двенадцать тысячных; $5.112$

г) три целых, двенадцать тысячных; $3.012$

д) девять целых, десять тысячных; $9.010$

е) две целых, одна тысячная. $2.001$

а) тридцать шесть целых, шесть десятых

Целая часть числа — «тридцать шесть», что записывается цифрами как 36. Дробная часть — «шесть десятых», что означает $ \frac{6}{10} $. В десятичной записи это 0,6. Соединяя целую и дробную части, получаем число 36,6.

Ответ: 36,6

б) две целых, двенадцать сотых

Целая часть числа — «две», что записывается цифрой 2. Дробная часть — «двенадцать сотых», что означает $ \frac{12}{100} $. В десятичной записи это 0,12. Соединяя целую и дробную части, получаем число 2,12.

Ответ: 2,12

в) пять целых, сто двенадцать тысячных

Целая часть числа — «пять», что записывается цифрой 5. Дробная часть — «сто двенадцать тысячных», что означает $ \frac{112}{1000} $. В десятичной записи это 0,112. Соединяя целую и дробную части, получаем число 5,112.

Ответ: 5,112

г) три целых, двенадцать тысячных

Целая часть числа — «три», что записывается цифрой 3. Дробная часть — «двенадцать тысячных», что означает $ \frac{12}{1000} $. Чтобы записать 12 тысячных, нужно, чтобы после запятой было три цифры. Поэтому мы добавляем ноль перед числом 12. В десятичной записи это 0,012. Соединяя целую и дробную части, получаем число 3,012.

Ответ: 3,012

д) девять целых, десять тысячных

Целая часть числа — «девять», что записывается цифрой 9. Дробная часть — «десять тысячных», что означает $ \frac{10}{1000} $. Для записи тысячных долей необходимо три знака после запятой. Поэтому «десять тысячных» записывается как 0,010. Соединяя целую и дробную части, получаем число 9,010.

Ответ: 9,010

е) две целых, одна тысячная

Целая часть числа — «две», что записывается цифрой 2. Дробная часть — «одна тысячная», что означает $ \frac{1}{1000} $. Для записи тысячных долей необходимо три знака после запятой. Поэтому «одна тысячная» записывается как 0,001. Соединяя целую и дробную части, получаем число 2,001.

Ответ: 2,001

5.6. Выразите в метрах и дециметрах по образцу:

a) $2,1 \text{ м} = 2 \text{ м } 1 \text{ дм};$

б) $3,5 \text{ м};$

в) $4,2 \text{ м}.$

б) 3,5 м;
Чтобы выразить десятичную дробь в метрах и дециметрах, нужно использовать соотношение: $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Число 3,5 м можно представить как сумму целой и дробной частей: $3,5 \text{ м} = 3 \text{ м} + 0,5 \text{ м}$.
Целая часть, равная 3, обозначает количество полных метров.
Дробную часть, 0,5 м, необходимо перевести в дециметры. Для этого умножим её на 10:
$0,5 \times 10 = 5 \text{ дм}$.
Таким образом, 3,5 м состоят из 3 метров и 5 дециметров.
Ответ: 3 м 5 дм.

в) 4,2 м.
Действуем по аналогии с предыдущим примером, используя соотношение $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$.
Разложим 4,2 м на целую и дробную части: $4,2 \text{ м} = 4 \text{ м} + 0,2 \text{ м}$.
Целая часть (4) — это количество метров.
Дробную часть (0,2 м) переведем в дециметры:
$0,2 \times 10 = 2 \text{ дм}$.
Следовательно, 4,2 м — это 4 метра и 2 дециметра.
Ответ: 4 м 2 дм.

5.7. Выразите в метрах и сантиметрах по образцу:

а) $5,13 \text{ м} = 5 \text{ м } 13 \text{ см};$

б) $6,41 \text{ м};$

в) $7,09 \text{ м}.$

б) 6,41 м

Чтобы выразить десятичную дробь, выраженную в метрах, в метрах и сантиметрах, необходимо выделить целую часть и дробную часть. Целая часть числа будет обозначать количество полных метров. Дробную часть нужно перевести в сантиметры.
Мы знаем, что в одном метре 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
В числе 6,41 м целая часть равна 6, а дробная — 0,41.
Целая часть: $6 \text{ м}$.
Дробную часть переводим в сантиметры, умножая на 100:
$0,41 \times 100 = 41 \text{ см}$.
Складываем полученные значения: $6 \text{ м} + 41 \text{ см} = 6 \text{ м} \ 41 \text{ см}$.
Ответ: 6 м 41 см.

в) 7,09 м

Действуем по тому же принципу. В числе 7,09 м целая часть равна 7, а дробная — 0,09.
Целая часть: $7 \text{ м}$.
Дробную часть переводим в сантиметры:
$0,09 \times 100 = 9 \text{ см}$.
Складываем полученные значения: $7 \text{ м} + 9 \text{ см} = 7 \text{ м} \ 9 \text{ см}$.
Ответ: 7 м 9 см.

5.8. Выразите в рублях и копейках по образцу:

а) $12,25 \text{ р.} = 12 \text{ р. } 25 \text{ к.}$;

б) $6,09 \text{ р.}$;

в) $6,90 \text{ р.}$

Для того чтобы выразить сумму в рублях, представленную десятичной дробью, в рублях и копейках, нужно помнить, что в одном рубле 100 копеек ($1 \text{ р.} = 100 \text{ к.}$). Целая часть десятичной дроби соответствует количеству рублей, а дробная часть, умноженная на 100, соответствует количеству копеек.

б) Рассмотрим 6,09 р.
Целая часть числа — это 6. Следовательно, это 6 рублей.
Дробная часть числа — это 0,09. Чтобы найти количество копеек, умножим эту часть на 100:
$0,09 \times 100 = 9$ к.
Следовательно, 6,09 р. — это 6 рублей 9 копеек.
Ответ: 6 р. 9 к.

в) Рассмотрим 6,90 р.
Целая часть числа — это 6. Следовательно, это 6 рублей.
Дробная часть числа — это 0,90. Чтобы найти количество копеек, умножим эту часть на 100:
$0,90 \times 100 = 90$ к.
Следовательно, 6,90 р. — это 6 рублей 90 копеек.
Ответ: 6 р. 90 к.