Страница 258 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

5.34. Вычислите периметр треугольника, если:

а) первая его сторона равна 124 см, вторая на 0,3 дм меньше первой, а третья на 0,12 м больше первой стороны треугольника;

б) первая его сторона равна 345 см, вторая на 0,7 дм больше первой, а третья на 0,1 м меньше второй стороны треугольника;

в) первая его сторона равна 124 см, она на 0,3 дм меньше второй и на 0,12 м больше третьей стороны треугольника;

г) первая его сторона равна 345 см, она на 0,3 дм больше второй и на 0,12 м меньше третьей стороны треугольника.

а)

Для вычисления периметра необходимо найти длины всех трех сторон и сложить их. Все измерения удобно привести к одной единице — сантиметрам (см).
1. Переведем единицы измерения:
$0,3 \text{ дм} = 0,3 \times 10 \text{ см} = 3 \text{ см}$
$0,12 \text{ м} = 0,12 \times 100 \text{ см} = 12 \text{ см}$
2. Найдем длины сторон:
- Первая сторона = 124 см.
- Вторая сторона на 3 см меньше первой: $124 - 3 = 121$ см.
- Третья сторона на 12 см больше первой: $124 + 12 = 136$ см.
3. Вычислим периметр (P) как сумму длин всех сторон:
$P = 124 + 121 + 136 = 381$ см.
Ответ: 381 см.

б)

Приведем все величины к сантиметрам и найдем длины сторон.
1. Переведем единицы измерения:
$0,7 \text{ дм} = 0,7 \times 10 \text{ см} = 7 \text{ см}$
$0,1 \text{ м} = 0,1 \times 100 \text{ см} = 10 \text{ см}$
2. Найдем длины сторон:
- Первая сторона = 345 см.
- Вторая сторона на 7 см больше первой: $345 + 7 = 352$ см.
- Третья сторона на 10 см меньше второй: $352 - 10 = 342$ см.
3. Вычислим периметр:
$P = 345 + 352 + 342 = 1039$ см.
Ответ: 1039 см.

в)

Сначала приведем все единицы к сантиметрам, а затем найдем длины второй и третьей сторон относительно первой.
1. Переведем единицы измерения:
$0,3 \text{ дм} = 0,3 \times 10 \text{ см} = 3 \text{ см}$
$0,12 \text{ м} = 0,12 \times 100 \text{ см} = 12 \text{ см}$
2. Найдем длины сторон:
- Первая сторона = 124 см.
- Условие "первая сторона на 0,3 дм меньше второй" означает, что вторая сторона на 3 см больше первой: $124 + 3 = 127$ см.
- Условие "первая сторона на 0,12 м больше третьей" означает, что третья сторона на 12 см меньше первой: $124 - 12 = 112$ см.
3. Вычислим периметр:
$P = 124 + 127 + 112 = 363$ см.
Ответ: 363 см.

г)

Переведем все единицы в сантиметры и определим длины сторон по заданным условиям.
1. Переведем единицы измерения:
$0,3 \text{ дм} = 0,3 \times 10 \text{ см} = 3 \text{ см}$
$0,12 \text{ м} = 0,12 \times 100 \text{ см} = 12 \text{ см}$
2. Найдем длины сторон:
- Первая сторона = 345 см.
- Условие "первая сторона на 0,3 дм больше второй" означает, что вторая сторона на 3 см меньше первой: $345 - 3 = 342$ см.
- Условие "первая сторона на 0,12 м меньше третьей" означает, что третья сторона на 12 см больше первой: $345 + 12 = 357$ см.
3. Вычислим периметр:
$P = 345 + 342 + 357 = 1044$ см.
Ответ: 1044 см.

5.35. Вычислите периметр прямоугольника, если:

a) его длина равна 57 см, а ширина на 0,3 дм меньше длины;

б) его ширина равна 2 м, а длина на 0,6 дм больше ширины;

в) его длина равна 48 см и она на 0,1 дм больше ширины;

г) его ширина равна 48 дм и она на 0,3 м меньше длины.

а) его длина равна 57 см, а ширина на 0,3 дм меньше длины;

Сначала приведем все величины к одной единице измерения, к сантиметрам. Длина прямоугольника известна: $a = 57$ см.

Ширина на 0,3 дм меньше длины. Переведем 0,3 дм в сантиметры, зная, что 1 дм = 10 см:
$0,3 \text{ дм} = 0,3 \times 10 \text{ см} = 3 \text{ см}$.

Теперь найдем ширину $b$ прямоугольника:
$b = 57 \text{ см} - 3 \text{ см} = 54 \text{ см}$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.
$P = 2(57 \text{ см} + 54 \text{ см}) = 2 \times 111 \text{ см} = 222 \text{ см}$.

Ответ: 222 см.

б) его ширина равна 2 м, а длина на 0,6 дм больше ширины;

Приведем все величины к дециметрам. Ширина прямоугольника $b = 2$ м. В одном метре 10 дециметров, значит:
$b = 2 \text{ м} = 2 \times 10 \text{ дм} = 20 \text{ дм}$.

Длина $a$ на 0,6 дм больше ширины. Найдем длину:
$a = 20 \text{ дм} + 0,6 \text{ дм} = 20,6 \text{ дм}$.

Вычислим периметр по формуле $P = 2(a + b)$:
$P = 2(20,6 \text{ дм} + 20 \text{ дм}) = 2 \times 40,6 \text{ дм} = 81,2 \text{ дм}$.

Ответ: 81,2 дм.

в) его длина равна 48 см и она на 0,1 дм больше ширины;

Приведем все величины к сантиметрам. Длина прямоугольника $a = 48$ см.

Известно, что длина на 0,1 дм больше ширины. Переведем 0,1 дм в сантиметры:
$0,1 \text{ дм} = 0,1 \times 10 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

Следовательно, ширина $b$ на 1 см меньше длины:
$b = 48 \text{ см} - 1 \text{ см} = 47 \text{ см}$.

Найдем периметр по формуле $P = 2(a + b)$:
$P = 2(48 \text{ см} + 47 \text{ см}) = 2 \times 95 \text{ см} = 190 \text{ см}$.

Ответ: 190 см.

г) его ширина равна 48 дм и она на 0,3 м меньше длины.

Приведем все величины к дециметрам. Ширина прямоугольника $b = 48$ дм.

Известно, что ширина на 0,3 м меньше длины. Переведем 0,3 м в дециметры, зная, что 1 м = 10 дм:
$0,3 \text{ м} = 0,3 \times 10 \text{ дм} = 3 \text{ дм}$.

Следовательно, длина $a$ на 3 дм больше ширины:
$a = 48 \text{ дм} + 3 \text{ дм} = 51 \text{ дм}$.

Вычислим периметр по формуле $P = 2(a + b)$:
$P = 2(51 \text{ дм} + 48 \text{ дм}) = 2 \times 99 \text{ дм} = 198 \text{ дм}$.

Ответ: 198 дм.

5.36. Найдите два числа, если:

а) их сумма равна $5,4$, а разность $3,4$;

б) их сумма равна $24,7$, а разность $2,7$.

а)

Пусть первое число — это $x$, а второе — $y$. Согласно условию задачи, мы можем составить систему из двух линейных уравнений:

1. Сумма чисел равна 5,4: $x + y = 5,4$

2. Разность чисел равна 3,4: $x - y = 3,4$

Получаем систему:

$\begin{cases} x + y = 5,4 \\ x - y = 3,4 \end{cases}$

Сложим первое уравнение со вторым. Это позволит нам исключить переменную $y$ и найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 5,4 + 3,4$

$2x = 8,8$

Теперь найдем $x$:

$x = 8,8 \div 2$

$x = 4,4$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$4,4 + y = 5,4$

$y = 5,4 - 4,4$

$y = 1$

Проведем проверку:

Сумма: $4,4 + 1 = 5,4$ (верно)

Разность: $4,4 - 1 = 3,4$ (верно)

Следовательно, искомые числа — 4,4 и 1.

Ответ: 4,4 и 1.

б)

Аналогично предыдущему пункту, обозначим числа как $x$ и $y$. Составим систему уравнений на основе условий задачи:

1. Сумма чисел равна 24,7: $x + y = 24,7$

2. Разность чисел равна 2,7: $x - y = 2,7$

Система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} x + y = 24,7 \\ x - y = 2,7 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 24,7 + 2,7$

$2x = 27,4$

Найдем $x$:

$x = 27,4 \div 2$

$x = 13,7$

Теперь подставим значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$13,7 + y = 24,7$

$y = 24,7 - 13,7$

$y = 11$

Проведем проверку:

Сумма: $13,7 + 11 = 24,7$ (верно)

Разность: $13,7 - 11 = 2,7$ (верно)

Следовательно, искомые числа — 13,7 и 11.

Ответ: 13,7 и 11.

5.37. a) Скорость лодки по течению 7,8 км/ч, а против течения 3,8 км/ч. Найдите скорость течения и собственную скорость лодки.

б) Скорость лодки по течению 9,5 км/ч, а против течения 5,5 км/ч. Найдите скорость течения и собственную скорость лодки.

а)

Обозначим собственную скорость лодки (скорость в стоячей воде) как $V_{соб}$, а скорость течения реки как $V_{теч}$. Когда лодка движется по течению, ее скорость складывается со скоростью течения: $V_{по\;теч} = V_{соб} + V_{теч}$. Когда лодка движется против течения, скорость течения вычитается из ее собственной скорости: $V_{пр\;теч} = V_{соб} - V_{теч}$.

Исходя из условия задачи, мы можем составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$V_{соб} + V_{теч} = 7,8$
$V_{соб} - V_{теч} = 3,8$

Чтобы найти собственную скорость лодки, сложим эти два уравнения:
$(V_{соб} + V_{теч}) + (V_{соб} - V_{теч}) = 7,8 + 3,8$
$2 \cdot V_{соб} = 11,6$
$V_{соб} = \frac{11,6}{2} = 5,8$ км/ч.

Чтобы найти скорость течения, вычтем из первого уравнения второе:
$(V_{соб} + V_{теч}) - (V_{соб} - V_{теч}) = 7,8 - 3,8$
$2 \cdot V_{теч} = 4,0$
$V_{теч} = \frac{4,0}{2} = 2,0$ км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки 5,8 км/ч, скорость течения 2 км/ч.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту, используя новые данные. Составим систему уравнений:
$V_{соб} + V_{теч} = 9,5$
$V_{соб} - V_{теч} = 5,5$

Найдём собственную скорость лодки, сложив уравнения:
$(V_{соб} + V_{теч}) + (V_{соб} - V_{теч}) = 9,5 + 5,5$
$2 \cdot V_{соб} = 15,0$
$V_{соб} = \frac{15,0}{2} = 7,5$ км/ч.

Найдём скорость течения, вычтя второе уравнение из первого:
$(V_{соб} + V_{теч}) - (V_{соб} - V_{теч}) = 9,5 - 5,5$
$2 \cdot V_{теч} = 4,0$
$V_{теч} = \frac{4,0}{2} = 2,0$ км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки 7,5 км/ч, скорость течения 2 км/ч.