Страница 259 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

5.38. Как можно вычислить произведение и частное двух десятичных дробей?

Вычисление произведения и частного двух десятичных дробей выполняется по определенным правилам, которые основаны на действиях с натуральными числами.

Произведение

Чтобы умножить две десятичные дроби, необходимо:

1. Выполнить умножение чисел, не обращая внимания на запятые (как будто это натуральные числа).
2. Подсчитать общее количество цифр, стоящих после запятой в обоих множителях.
3. В полученном произведении отделить запятой справа столько же цифр, сколько их в сумме в обоих множителях. Если в произведении окажется меньше цифр, чем необходимо отделить, то слева дописываются нули.

Пример: Вычислим произведение $2.5 \times 1.23$.

1. Умножаем числа 25 и 123, игнорируя запятые: $25 \times 123 = 3075$.
2. В первом множителе (2.5) одна цифра после запятой, во втором (1.23) — две. Всего $1 + 2 = 3$ цифры.
3. В результате 3075 отделяем справа три цифры запятой: $3.075$.

Ответ: Чтобы найти произведение двух десятичных дробей, нужно их перемножить как натуральные числа, а затем в результате отделить запятой столько цифр справа, сколько их было после запятой в обоих множителях вместе.

Частное

Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, необходимо:

1. В делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их стоит после запятой в делителе. Это делается для того, чтобы делитель стал целым числом.
2. Если в делимом не хватает знаков для переноса запятой, то к нему справа дописываются нули.
3. Выполнить деление полученной десятичной дроби (или целого числа) на натуральное число. Деление можно выполнять "в столбик". Запятая в частном ставится в тот момент, когда заканчивается деление целой части делимого.

Пример: Вычислим частное $7.82 \div 2.3$.

1. В делителе (2.3) одна цифра после запятой. Переносим запятую на одну цифру вправо и в делимом, и в делителе. Получаем: $78.2 \div 23$.
2. Выполняем деление столбиком $78.2$ на $23$:
   • $78 \div 23 = 3$ (остаток $9$). Деление целой части закончилось, ставим в частном запятую.
   • Сносим следующую цифру $2$, получаем $92$.
   • $92 \div 23 = 4$.
3. Результат деления: $3.4$.

Ответ: Чтобы найти частное двух десятичных дробей, нужно перенести запятую в делимом и делителе на столько знаков вправо, сколько их в делителе, а затем выполнить деление на получившееся натуральное число.

5.39. Всегда ли можно выразить десятичной дробью:

a) произведение двух десятичных дробей;

б) частное двух десятичных дробей?

а) произведение двух десятичных дробей

Да, всегда. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби, знаменатель которой является степенью числа 10. Пусть даны две десятичные дроби, которые можно записать как $d_1 = \frac{A}{10^n}$ и $d_2 = \frac{B}{10^m}$, где $A$ и $B$ — целые числа, а $n$ и $m$ — целые неотрицательные числа.
Их произведение будет равно:
$d_1 \cdot d_2 = \frac{A}{10^n} \cdot \frac{B}{10^m} = \frac{A \cdot B}{10^{n+m}}$
В полученной дроби числитель $A \cdot B$ является целым числом, а знаменатель $10^{n+m}$ — степенью числа 10. Любая дробь такого вида по определению является конечной десятичной дробью.
Например: $1.2 \cdot 0.25 = \frac{12}{10} \cdot \frac{25}{100} = \frac{300}{1000} = 0.3$.
Ответ: Да, всегда.

б) частное двух десятичных дробей

Нет, не всегда. Частное двух десятичных дробей можно выразить конечной десятичной дробью только в том случае, если после приведения к несократимой обыкновенной дроби ее знаменатель не будет содержать простых множителей, отличных от 2 и 5.
Рассмотрим частное дробей $d_1 = \frac{A}{10^n}$ и $d_2 = \frac{B}{10^m}$ (где $B \neq 0$):
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{A/10^n}{B/10^m} = \frac{A}{B} \cdot \frac{10^m}{10^n}$
Возможность представления этого выражения в виде конечной десятичной дроби полностью зависит от дроби $\frac{A}{B}$. Если в разложении знаменателя $B$ на простые множители (после сокращения дроби) присутствуют числа, отличные от 2 и 5 (например, 3, 7, 11), то результат будет бесконечной периодической десятичной дробью.
Например, разделим 1 на 3 (обе дроби являются десятичными: 1.0 и 3.0):
$1 : 3 = \frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$
Результат является бесконечной периодической дробью, а не конечной десятичной дробью.
Ответ: Нет, не всегда.

Вычислите произведение (5.40—5.43):

5.40. а) $0,7 \cdot 0,2;$

б) $0,07 \cdot 0,2;$

в) $0,7 \cdot 0,02;$

г) $0,07 \cdot 0,02;$

д) $0,9 \cdot 0,8;$

е) $0,09 \cdot 0,8;$

ж) $0,9 \cdot 0,08;$

з) $0,09 \cdot 0,08.$

а) Чтобы умножить десятичные дроби, нужно сначала перемножить их как целые числа, не обращая внимания на запятые. Затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.
Перемножаем 7 и 2: $7 \cdot 2 = 14$.
В числе 0,7 один знак после запятой, в числе 0,2 тоже один. Всего $1 + 1 = 2$ знака.
Отделяем в числе 14 два знака справа, получаем 0,14.
$0,7 \cdot 0,2 = 0,14$.
Ответ: 0,14.

б) Умножаем 7 на 2: $7 \cdot 2 = 14$.
В числе 0,07 два знака после запятой, в числе 0,2 — один. Всего $2 + 1 = 3$ знака.
Отделяем в числе 14 три знака справа. Так как цифр не хватает, дописываем слева нули: 0,014.
$0,07 \cdot 0,2 = 0,014$.
Ответ: 0,014.

в) Умножаем 7 на 2: $7 \cdot 2 = 14$.
В числе 0,7 один знак после запятой, в числе 0,02 — два. Всего $1 + 2 = 3$ знака.
Отделяем в числе 14 три знака справа, добавляя нуль слева: 0,014.
$0,7 \cdot 0,02 = 0,014$.
Ответ: 0,014.

г) Умножаем 7 на 2: $7 \cdot 2 = 14$.
В числе 0,07 два знака после запятой, в числе 0,02 — тоже два. Всего $2 + 2 = 4$ знака.
Отделяем в числе 14 четыре знака справа, добавляя нули слева: 0,0014.
$0,07 \cdot 0,02 = 0,0014$.
Ответ: 0,0014.

д) Умножаем 9 на 8: $9 \cdot 8 = 72$.
В числе 0,9 один знак после запятой, в числе 0,8 — тоже один. Всего $1 + 1 = 2$ знака.
Отделяем в числе 72 два знака справа: 0,72.
$0,9 \cdot 0,8 = 0,72$.
Ответ: 0,72.

е) Умножаем 9 на 8: $9 \cdot 8 = 72$.
В числе 0,09 два знака после запятой, в числе 0,8 — один. Всего $2 + 1 = 3$ знака.
Отделяем в числе 72 три знака справа, добавляя нуль слева: 0,072.
$0,09 \cdot 0,8 = 0,072$.
Ответ: 0,072.

ж) Умножаем 9 на 8: $9 \cdot 8 = 72$.
В числе 0,9 один знак после запятой, в числе 0,08 — два. Всего $1 + 2 = 3$ знака.
Отделяем в числе 72 три знака справа, добавляя нуль слева: 0,072.
$0,9 \cdot 0,08 = 0,072$.
Ответ: 0,072.

з) Умножаем 9 на 8: $9 \cdot 8 = 72$.
В числе 0,09 два знака после запятой, в числе 0,08 — тоже два. Всего $2 + 2 = 4$ знака.
Отделяем в числе 72 четыре знака справа, добавляя нули слева: 0,0072.
$0,09 \cdot 0,08 = 0,0072$.
Ответ: 0,0072.

5.41. а) $1,2 \cdot 0,3$;

б) $0,12 \cdot 0,3$;

в) $1,2 \cdot 0,03$;

г) $0,12 \cdot 0,03$;

д) $2,9 \cdot 0,2$;

е) $0,29 \cdot 0,2$;

ж) $2,9 \cdot 0,02$;

з) $0,29 \cdot 0,02$.

а) Чтобы найти произведение $1,2$ и $0,3$, сначала умножим эти числа как целые, игнорируя запятые: $12 \cdot 3 = 36$. Затем посчитаем общее количество цифр после запятой в обоих множителях. В числе $1,2$ одна цифра после запятой, в числе $0,3$ — тоже одна. Суммарно $1+1=2$ цифры. Теперь в результате ($36$) нужно отделить запятой два знака справа. Получаем $0,36$.
Ответ: $0,36$.

б) Умножим $0,12$ на $0,3$. Перемножаем числа без учета запятых: $12 \cdot 3 = 36$. В первом множителе ($0,12$) две цифры после запятой, во втором ($0,3$) — одна. Всего $2+1=3$ цифры. В полученном числе $36$ отделяем три знака справа. Так как цифр всего две, добавляем спереди ноль: $0,036$.
Ответ: $0,036$.

в) Вычислим произведение $1,2$ и $0,03$. Умножаем $12$ на $3$, получаем $36$. В первом множителе ($1,2$) один знак после запятой, во втором ($0,03$) — два знака. Суммарно $1+2=3$ знака. В числе $36$ отделяем три знака справа, добавляя недостающий ноль: $0,036$.
Ответ: $0,036$.

г) Найдем произведение $0,12$ и $0,03$. Умножаем $12$ на $3$, получаем $36$. В обоих множителях по две цифры после запятой, всего $2+2=4$ цифры. В результате $36$ необходимо отделить четыре знака справа. Для этого добавляем спереди два нуля: $0,0036$.
Ответ: $0,0036$.

д) Чтобы умножить $2,9$ на $0,2$, сначала умножим $29$ на $2$, что равно $58$. В каждом из множителей по одной цифре после запятой, значит, в итоге нужно отделить $1+1=2$ цифры. В числе $58$ отделяем два знака справа, получая $0,58$.
Ответ: $0,58$.

е) Вычислим $0,29 \cdot 0,2$. Умножаем $29$ на $2$, получаем $58$. В первом множителе ($0,29$) два знака после запятой, во втором ($0,2$) — один. Всего $2+1=3$ знака. В результате $58$ отделяем три знака справа, добавляя ноль: $0,058$.
Ответ: $0,058$.

ж) Найдем произведение $2,9$ и $0,02$. Умножаем $29$ на $2$, получаем $58$. В первом множителе ($2,9$) один знак после запятой, во втором ($0,02$) — два знака. Всего $1+2=3$ знака. В результате $58$ отделяем три знака справа, добавляя ноль: $0,058$.
Ответ: $0,058$.

з) Умножим $0,29$ на $0,02$. Перемножаем $29$ на $2$, что дает $58$. В каждом из множителей по два знака после запятой, в сумме $2+2=4$ знака. В результате $58$ необходимо отделить четыре знака справа. Добавляем два нуля спереди: $0,0058$.
Ответ: $0,0058$.

5.42. а) $4,4 \cdot 1,3$;

б) $0,44 \cdot 1,3$;

в) $4,4 \cdot 0,13$;

г) $0,44 \cdot 0,13$;

д) $3,5 \cdot 1,2$;

е) $0,35 \cdot 1,2$;

ж) $3,5 \cdot 0,12$;

з) $0,35 \cdot 0,12$.

а) Чтобы умножить 4,4 на 1,3, мы можем сначала умножить их как целые числа, игнорируя десятичные запятые: $44 \times 13$.

$44 \times 13 = 572$.

Теперь посчитаем общее количество знаков после запятой в исходных числах. В числе 4,4 один знак после запятой, и в числе 1,3 тоже один. Всего $1 + 1 = 2$ знака после запятой.

Отделим в произведении 572 два знака справа, получим 5,72.

Ответ: 5,72

б) Умножим 0,44 на 1,3. Сначала перемножим числа 44 и 13, не обращая внимания на запятые.

$44 \times 13 = 572$.

В первом множителе (0,44) два знака после запятой, а во втором (1,3) — один. Суммарное количество знаков после запятой: $2 + 1 = 3$.

В результате 572 нужно отделить три знака справа. Получаем 0,572.

Ответ: 0,572

в) для вычисления произведения 4,4 и 0,13, умножим 44 на 13.

$44 \times 13 = 572$.

В числе 4,4 один знак после запятой, а в числе 0,13 — два. Всего $1 + 2 = 3$ знака.

Отделим в результате 572 три знака запятой, что дает нам 0,572.

Ответ: 0,572

г) Чтобы найти произведение 0,44 на 0,13, сначала умножим 44 на 13.

$44 \times 13 = 572$.

В обоих множителях (0,44 и 0,13) по два знака после запятой. Общее количество знаков: $2 + 2 = 4$.

В ответе 572 нужно отделить четыре знака. Так как цифр не хватает, добавляем спереди ноль: 0,0572.

Ответ: 0,0572

д) Умножим 3,5 на 1,2. Для этого сначала перемножим целые числа 35 и 12.

$35 \times 12 = 420$.

В каждом из множителей по одному знаку после запятой. В сумме это $1 + 1 = 2$ знака.

Отделим в результате 420 два знака справа, получим 4,20. Конечный ноль можно отбросить.

Ответ: 4,2

е) Вычислим произведение 0,35 на 1,2. Умножим 35 на 12.

$35 \times 12 = 420$.

В первом множителе (0,35) два знака после запятой, во втором (1,2) — один. Всего $2 + 1 = 3$ знака.

В результате 420 отделяем три знака справа: 0,420. Убираем незначащий ноль в конце.

Ответ: 0,42

ж) Найдем произведение 3,5 на 0,12. Умножим 35 на 12.

$35 \times 12 = 420$.

В числе 3,5 один знак после запятой, а в числе 0,12 — два. Общее количество знаков: $1 + 2 = 3$.

Отделим в числе 420 три знака запятой: 0,420. Ноль в конце можно опустить.

Ответ: 0,42

з) Чтобы умножить 0,35 на 0,12, перемножим 35 на 12.

$35 \times 12 = 420$.

В каждом множителе (0,35 и 0,12) по два знака после запятой. Суммарное количество знаков: $2 + 2 = 4$.

В результате 420 нужно отделить четыре знака справа. Добавляем спереди ноль, чтобы получить нужное количество знаков: 0,0420. Конечный ноль отбрасываем.

Ответ: 0,042

5.43. а) $1,234 \cdot 10;$

б) $1,234 \cdot 100;$

в) $1,234 \cdot 1000;$

г) $1,234 \cdot 10000;$

д) $0,5678 \cdot 10;$

е) $0,5678 \cdot 100;$

ж) $0,5678 \cdot 1000;$

з) $0,5678 \cdot 10000.$

а) Чтобы умножить десятичную дробь на число вида 10, 100, 1000 и так далее, необходимо перенести запятую в этой дроби вправо на столько знаков, сколько нулей содержится в множителе. В данном случае множитель 10 содержит один ноль, поэтому переносим запятую на один знак вправо.

$1,234 \cdot 10 = 12,34$

Ответ: 12,34

б) Множитель 100 содержит два нуля, поэтому переносим запятую на два знака вправо.

$1,234 \cdot 100 = 123,4$

Ответ: 123,4

в) Множитель 1000 содержит три нуля, поэтому переносим запятую на три знака вправо. В результате получаем целое число.

$1,234 \cdot 1000 = 1234$

Ответ: 1234

г) Множитель 10 000 содержит четыре нуля, поэтому переносим запятую на четыре знака вправо. Поскольку в дробной части числа 1,234 всего три цифры, недостающий знак мы заменяем нулём, который дописываем в конце.

$1,234 \cdot 10000 = 12340$

Ответ: 12340

д) Множитель 10 содержит один ноль, поэтому переносим запятую на один знак вправо.

$0,5678 \cdot 10 = 5,678$

Ответ: 5,678

е) Множитель 100 содержит два нуля, поэтому переносим запятую на два знака вправо.

$0,5678 \cdot 100 = 56,78$

Ответ: 56,78

ж) Множитель 1000 содержит три нуля, поэтому переносим запятую на три знака вправо.

$0,5678 \cdot 1000 = 567,8$

Ответ: 567,8

з) Множитель 10 000 содержит четыре нуля, поэтому переносим запятую на четыре знака вправо. В результате получаем целое число.

$0,5678 \cdot 10000 = 5678$

Ответ: 5678

Вычислите частное (5.44–5.47):

5.44. а) $0.7 \div 0.2$;

б) $0.07 \div 0.2$;

в) $0.7 \div 0.02$;

г) $0.07 \div 0.02$;

д) $0.9 \div 0.8$;

е) $0.09 \div 0.8$;

ж) $0.9 \div 0.08$;

з) $0.09 \div 0.08$.

а) Для того чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, нужно сделать делитель целым числом. Для этого умножим и делимое, и делитель на 10.
$0,7 : 0,2 = (0,7 \cdot 10) : (0,2 \cdot 10) = 7 : 2$.
Теперь выполним деление: $7 : 2 = 3,5$.
Ответ: $3,5$.

б) Чтобы делитель $0,2$ стал целым числом, умножим и делимое, и делитель на 10.
$0,07 : 0,2 = (0,07 \cdot 10) : (0,2 \cdot 10) = 0,7 : 2$.
Выполним деление: $0,7 : 2 = 0,35$.
Ответ: $0,35$.

в) Чтобы делитель $0,02$ стал целым числом, умножим и делимое, и делитель на 100.
$0,7 : 0,02 = (0,7 \cdot 100) : (0,02 \cdot 100) = 70 : 2$.
Выполним деление: $70 : 2 = 35$.
Ответ: $35$.

г) Умножим и делимое, и делитель на 100, чтобы делитель $0,02$ стал целым числом.
$0,07 : 0,02 = (0,07 \cdot 100) : (0,02 \cdot 100) = 7 : 2$.
Выполним деление: $7 : 2 = 3,5$.
Ответ: $3,5$.

д) Умножим и делимое, и делитель на 10, чтобы делитель стал целым числом.
$0,9 : 0,8 = (0,9 \cdot 10) : (0,8 \cdot 10) = 9 : 8$.
Выполним деление: $9 : 8 = 1,125$.
Ответ: $1,125$.

е) Умножим и делимое, и делитель на 10.
$0,09 : 0,8 = (0,09 \cdot 10) : (0,8 \cdot 10) = 0,9 : 8$.
Выполним деление: $0,9 : 8 = 0,1125$.
Ответ: $0,1125$.

ж) Умножим и делимое, и делитель на 100.
$0,9 : 0,08 = (0,9 \cdot 100) : (0,08 \cdot 100) = 90 : 8$.
Выполним деление: $90 : 8 = 11,25$.
Ответ: $11,25$.

з) Умножим и делимое, и делитель на 100.
$0,09 : 0,08 = (0,09 \cdot 100) : (0,08 \cdot 100) = 9 : 8$.
Выполним деление: $9 : 8 = 1,125$.
Ответ: $1,125$.

5.45. а) $1.2 : 0.3$;

б) $0.12 : 0.3$;

в) $1.2 : 0.03$;

г) $0.12 : 0.03$;

д) $2.9 : 0.2$;

е) $0.29 : 0.2$;

ж) $2.9 : 0.02$;

з) $0.29 : 0.02$.

а) Для того чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делителе так, чтобы он стал целым числом, и на столько же знаков перенести запятую в делимом. В выражении $1,2 \div 0,3$ в делителе $0,3$ один знак после запятой. Переносим запятую на один знак вправо и в делимом, и в делителе. Получаем деление целых чисел: $12 \div 3 = 4$.
Ответ: 4

б) В выражении $0,12 \div 0,3$ переносим запятую на один знак вправо в обоих числах. Получаем выражение $1,2 \div 3$. Выполняем деление: $1,2 \div 3 = 0,4$.
Ответ: 0,4

в) В выражении $1,2 \div 0,03$ в делителе $0,03$ два знака после запятой. Переносим запятую на два знака вправо в обоих числах. В делимом $1,2$ для этого нужно дописать ноль, получится $120$. Делитель станет равен $3$. Выполняем деление: $120 \div 3 = 40$.
Ответ: 40

г) В выражении $0,12 \div 0,03$ переносим запятую на два знака вправо в обоих числах, так как в делителе два знака после запятой. Получаем деление целых чисел: $12 \div 3 = 4$.
Ответ: 4

д) В выражении $2,9 \div 0,2$ переносим запятую на один знак вправо в делимом и делителе. Получаем выражение $29 \div 2$. Выполняем деление: $29 \div 2 = 14,5$.
Ответ: 14,5

е) В выражении $0,29 \div 0,2$ переносим запятую на один знак вправо в обоих числах. Получаем выражение $2,9 \div 2$. Выполняем деление: $2,9 \div 2 = 1,45$.
Ответ: 1,45

ж) В выражении $2,9 \div 0,02$ переносим запятую на два знака вправо в обоих числах. В делимом $2,9$ дописываем ноль, получаем $290$. Делитель становится $2$. Выполняем деление: $290 \div 2 = 145$.
Ответ: 145

з) В выражении $0,29 \div 0,02$ переносим запятую на два знака вправо в обоих числах. Получаем деление целых чисел: $29 \div 2$. Выполняем деление: $29 \div 2 = 14,5$.
Ответ: 14,5

5.46. а) $4,4 : 1,3$;

б) $0,44 : 1,3$;

в) $4,4 : 0,13$;

г) $0,44 : 0,13$;

д) $3,5 : 1,2$;

е) $0,35 : 1,2$;

ж) $3,5 : 0,12$;

з) $0,35 : 0,12$.

а)

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, нужно перенести запятую в делителе и делимом на столько знаков вправо, сколько их после запятой в делителе. В данном случае в делителе 1,3 один знак после запятой, поэтому переносим запятую на один знак вправо в обоих числах.

$4,4 : 1,3 = 44 : 13$

Выполним деление и представим результат в виде смешанного числа. Разделим 44 на 13 с остатком:

$44 \div 13 = 3$ (остаток $44 - 13 \times 3 = 44 - 39 = 5$)

Таким образом, частное равно $3 \frac{5}{13}$.

Ответ: $3 \frac{5}{13}$

б)

Перенесем запятую в делимом 0,44 и делителе 1,3 на один знак вправо, чтобы делитель стал целым числом.

$0,44 : 1,3 = 4,4 : 13$

Представим это деление в виде обыкновенной дроби и избавимся от запятой в числителе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$\frac{4,4}{13} = \frac{4,4 \times 10}{13 \times 10} = \frac{44}{130}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:

$\frac{44 \div 2}{130 \div 2} = \frac{22}{65}$

Ответ: $\frac{22}{65}$

в)

В делителе 0,13 два знака после запятой. Перенесем запятую в делимом 4,4 и делителе 0,13 на два знака вправо.

$4,4 : 0,13 = 440 : 13$

Разделим 440 на 13 с остатком, чтобы найти целую часть:

$440 \div 13 = 33$ (остаток $440 - 13 \times 33 = 440 - 429 = 11$)

Таким образом, результат равен $33 \frac{11}{13}$.

Ответ: $33 \frac{11}{13}$

г)

В делителе 0,13 два знака после запятой, поэтому переносим запятую на два знака вправо в обоих числах.

$0,44 : 0,13 = 44 : 13$

Это выражение совпадает с примером 'а'. Выполним деление с остатком:

$44 \div 13 = 3$ (остаток 5)

Результат в виде смешанного числа: $3 \frac{5}{13}$.

Ответ: $3 \frac{5}{13}$

д)

В делителе 1,2 один знак после запятой. Перенесем запятую на один знак вправо в обоих числах.

$3,5 : 1,2 = 35 : 12$

Выделим целую часть, разделив 35 на 12 с остатком:

$35 \div 12 = 2$ (остаток $35 - 12 \times 2 = 35 - 24 = 11$)

Получаем смешанное число $2 \frac{11}{12}$.

Ответ: $2 \frac{11}{12}$

е)

Перенесем запятую в делимом 0,35 и делителе 1,2 на один знак вправо.

$0,35 : 1,2 = 3,5 : 12$

Представим деление в виде дроби и преобразуем ее, чтобы в числителе и знаменателе были целые числа:

$\frac{3,5}{12} = \frac{3,5 \times 10}{12 \times 10} = \frac{35}{120}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{35 \div 5}{120 \div 5} = \frac{7}{24}$

Ответ: $\frac{7}{24}$

ж)

В делителе 0,12 два знака после запятой. Перенесем запятую на два знака вправо в обоих числах.

$3,5 : 0,12 = 350 : 12$

Представим в виде дроби и сократим ее, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{350}{12} = \frac{175}{6}$

Выделим целую часть:

$175 \div 6 = 29$ (остаток $175 - 6 \times 29 = 175 - 174 = 1$)

Получаем смешанное число $29 \frac{1}{6}$.

Ответ: $29 \frac{1}{6}$

з)

В делителе 0,12 два знака после запятой, поэтому переносим запятую на два знака вправо в обоих числах.

$0,35 : 0,12 = 35 : 12$

Это выражение совпадает с примером 'д'. Выполним деление с остатком:

$35 \div 12 = 2$ (остаток 11)

Результат в виде смешанного числа: $2 \frac{11}{12}$.

Ответ: $2 \frac{11}{12}$

5.47. а) $1,234 : 10$;

б) $1,234 : 100$;

в) $1,234 : 1000$;

г) $1,234 : 10000$;

д) $0,5678 : 10$;

е) $0,5678 : 100$;

ж) $0,5678 : 1000$;

з) $0,5678 : 10000$.

а) Чтобы разделить десятичную дробь на $10$, $100$, $1000$ и т.д., нужно перенести запятую в этой дроби влево на столько знаков, сколько нулей стоит в делителе после единицы.

При делении $1,234$ на $10$, мы переносим запятую на один знак влево, так как в числе $10$ один ноль.

$1,234 : 10 = 0,1234$

Ответ: $0,1234$

б) При делении $1,234$ на $100$, мы переносим запятую на два знака влево, так как в числе $100$ два ноля. Поскольку слева от запятой только одна цифра, необходимо добавить один ноль перед ней.

$1,234 : 100 = 0,01234$

Ответ: $0,01234$

в) При делении $1,234$ на $1000$, мы переносим запятую на три знака влево, так как в числе $1000$ три ноля. Для этого добавляем два ноля перед числом.

$1,234 : 1000 = 0,001234$

Ответ: $0,001234$

г) При делении $1,234$ на $10\;000$, мы переносим запятую на четыре знака влево, так как в числе $10\;000$ четыре ноля. Для этого добавляем три ноля перед числом.

$1,234 : 10\;000 = 0,0001234$

Ответ: $0,0001234$

д) При делении $0,5678$ на $10$, мы переносим запятую на один знак влево, так как в числе $10$ один ноль.

$0,5678 : 10 = 0,05678$

Ответ: $0,05678$

е) При делении $0,5678$ на $100$, мы переносим запятую на два знака влево, так как в числе $100$ два ноля. Добавляем один ноль после запятой.

$0,5678 : 100 = 0,005678$

Ответ: $0,005678$

ж) При делении $0,5678$ на $1000$, мы переносим запятую на три знака влево, так как в числе $1000$ три ноля. Добавляем два ноля после запятой.

$0,5678 : 1000 = 0,0005678$

Ответ: $0,0005678$

з) При делении $0,5678$ на $10\;000$, мы переносим запятую на четыре знака влево, так как в числе $10\;000$ четыре ноля. Добавляем три ноля после запятой.

$0,5678 : 10\;000 = 0,00005678$

Ответ: $0,00005678$