Страница 260 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

5.48. (Новгород, XV в.). Одна бочка и 20 вёдер кваса уравниваются с тремя бочками кваса, а 19 бочек, одна насадка и 15,5 ведра уравниваются с двадцатью бочками и восьмью вёдрами. Сколько насадок содержится в бочке? (Бочка, насадка, ведро — меры объёма жидкостей.)

$B + 20V = 3B$

$19B + N + 15.5V = 20B + 8V$

Для решения задачи введем переменные, обозначающие объемы старинных мер жидкости:
Б – объем одной бочки,
Н – объем одной насадки,
В – объем одного ведра.

Исходя из условия задачи, составим два уравнения.

1. «Одна бочка и 20 вёдер кваса уравниваются с тремя бочками кваса».
Это можно записать в виде уравнения:
$1 \cdot Б + 20 \cdot В = 3 \cdot Б$

Упростим это уравнение, чтобы найти соотношение между бочкой и ведром:
$20 \cdot В = 3 \cdot Б - 1 \cdot Б$
$20 \cdot В = 2 \cdot Б$
Разделим обе части на 2:
$10 \cdot В = 1 \cdot Б$
Таким образом, одна бочка вмещает в себя 10 вёдер.

2. «19 бочек, одна насадка и 15,5 ведра уравниваются с двадцатью бочками и восьмью вёдрами».
Запишем второе уравнение:
$19 \cdot Б + 1 \cdot Н + 15,5 \cdot В = 20 \cdot Б + 8 \cdot В$

Упростим это уравнение, выразив объем насадки (Н) через объемы бочки (Б) и ведра (В). Для этого перенесем все члены, кроме Н, в правую часть уравнения:
$1 \cdot Н = 20 \cdot Б - 19 \cdot Б + 8 \cdot В - 15,5 \cdot В$
$1 \cdot Н = 1 \cdot Б - 7,5 \cdot В$

Теперь у нас есть два соотношения:
1) $Б = 10 \cdot В$
2) $Н = Б - 7,5 \cdot В$

Чтобы найти, сколько насадок содержится в бочке, нам нужно выразить объем бочки через объем насадки. Для этого подставим в второе уравнение выражение для ведра (В) из первого уравнения. Из $Б = 10 \cdot В$ следует, что $В = Б / 10$.
Подставляем это в уравнение для Н:
$Н = Б - 7,5 \cdot (Б / 10)$
$Н = Б - 0,75 \cdot Б$
$Н = 0,25 \cdot Б$

Это равенство означает, что одна насадка составляет 0,25 (или 1/4) от одной бочки. Следовательно, чтобы узнать, сколько насадок в одной бочке, нужно разделить объем бочки на объем насадки:
$Б / Н = Б / (0,25 \cdot Б) = 1 / 0,25 = 4$

Ответ: в одной бочке содержится 4 насадки.