Страница 261 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

5.49. Что показывает знак «$ \approx $»? Как читают запись $a \approx a_1$?

Что показывает знак «≈»?

Знак «≈» — это математический символ, который обозначает приближенное равенство. Он используется для того, чтобы показать, что два числа или выражения очень близки по значению, но не обязательно в точности равны друг другу. Этот знак находит широкое применение в различных ситуациях, когда точное равенство невозможно или не требуется.

Основные случаи использования знака «≈»:

• Округление чисел. Особенно часто это применяется к иррациональным числам, которые имеют бесконечную непериодическую десятичную часть. Например, число Пи ($ \pi $) часто округляют до двух знаков после запятой: $ \pi \approx 3,14 $.

• Результаты измерений. Любое физическое измерение (длины, массы, времени и т.д.) имеет погрешность, связанную с точностью измерительного прибора. Поэтому результаты измерений являются приближенными. Например, если измерение длины карандаша дало результат 17,5 см, можно записать $ l \approx 17,5 $ см.

• Оценочные вычисления. Когда нужно быстро прикинуть результат вычислений, числа заменяют на близкие к ним "круглые" числа. Например, чтобы оценить произведение $ 98 \times 10,2 $, можно записать: $ 98 \times 10,2 \approx 100 \times 10 = 1000 $.

Ответ: Знак «≈» показывает, что два числа или величины являются приблизительно равными.

Как читают запись a ≈ a₁?

Математическая запись $ a \approx a_1 $ читается следующим образом: «а приблизительно равно а один».

Эта фраза означает, что значение, обозначенное переменной $ a $, очень близко к значению, обозначенному переменной $ a_1 $, и для практических целей их можно считать равными, помня о небольшой разнице. Иногда также используются синонимичные выражения, например: «а примерно равно а один».

Ответ: Запись $ a \approx a_1 $ читают: «а приблизительно равно а один».

5.50. Назовите приближение числа 1,2935:

а) с точностью до одной десятой с недостатком;

б) с точностью до одной десятой с избытком;

в) с точностью до одной десятой с округлением.

а) с точностью до одной десятой с недостатком;

Приближение с недостатком (или округление вниз) до определённого разряда означает, что мы отбрасываем все цифры справа от этого разряда.
В числе $1,2935$ разряд десятых занимает цифра $2$. Чтобы найти приближение с недостатком до десятых, мы отбрасываем все цифры после неё: $9$, $3$ и $5$.
В результате получаем $1,2$.
Ответ: $1,2$.

б) с точностью до одной десятой с избытком;

Приближение с избытком (или округление вверх) до определённого разряда означает, что мы увеличиваем цифру в этом разряде на единицу, а все цифры справа отбрасываем. Это правило применяется, если отбрасываемая часть не равна нулю.
В числе $1,2935$ цифра в разряде десятых — $2$. Отбрасываемая часть ($0,0935$) не равна нулю, поэтому мы увеличиваем цифру $2$ на $1$, получая $3$.
В результате получаем $1,3$.
Ответ: $1,3$.

в) с точностью до одной десятой с округлением.

При стандартном округлении до определённого разряда мы смотрим на следующую цифру справа. Если она $5$ или больше, мы увеличиваем цифру в округляемом разряде на $1$. Если она меньше $5$, оставляем цифру без изменений. Все последующие цифры отбрасываются.
В числе $1,2935$ мы округляем до десятых (цифра $2$). Следующая цифра — $9$ (в разряде сотых).
Так как $9 \geq 5$, мы увеличиваем цифру в разряде десятых на единицу: $2 + 1 = 3$.
В результате получаем $1,3$.
Ответ: $1,3$.

5.51. Найдите приближение числа $a$ с недостатком с точностью до единицы третьего разряда после запятой, если:

а) $a = 3.9481$;

б) $a = 3.9489$;

в) $a = 3.9480$;

г) $a = 3.9485$.

Чтобы найти приближение числа а с недостатком с точностью до единицы третьего разряда после запятой (то есть, до 0,001), необходимо отбросить все цифры, стоящие правее третьего знака после запятой. Иными словами, мы просто "обрубаем" число после третьей цифры после запятой, не применяя правила математического округления.

а) Дано число $a = 3,9481$.
Третий разряд после запятой — это цифра 8. Отбрасываем все цифры, следующие за ней (в данном случае, цифру 1).
Приближенное значение с недостатком равно $3,948$.
Проверим, что $3,948 \le 3,9481$. Это верно.
Ответ: 3,948

б) Дано число $a = 3,9489$.
Третий разряд после запятой — это 8. Отбрасываем цифру 9, которая следует за ней.
Приближенное значение с недостатком равно $3,948$.
Проверим, что $3,948 \le 3,9489$. Это верно.
Ответ: 3,948

в) Дано число $a = 3,9480$.
Третий разряд после запятой — это 8. Отбрасываем цифру 0, которая следует за ней.
Приближенное значение с недостатком равно $3,948$.
Проверим, что $3,948 \le 3,9480$. Это верно, так как $3,948 = 3,9480$.
Ответ: 3,948

г) Дано число $a = 3,9485$.
Третий разряд после запятой — это 8. Отбрасываем цифру 5, которая следует за ней.
Приближенное значение с недостатком равно $3,948$.
Проверим, что $3,948 \le 3,9485$. Это верно.
Ответ: 3,948

5.52. Найдите приближение числа $a$ с избытком с точностью до единицы третьего разряда после запятой, если:

а) $a = 3,9481$;

б) $a = 3,9489$;

в) $a = 3,9480$;

г) $a = 3,9485$.

Приближение числа с избытком с точностью до определённого разряда — это наименьшее число с заданным или меньшим количеством знаков после запятой, которое больше или равно исходному числу.

Для нахождения приближения числа с избытком до третьего разряда после запятой (до тысячных), необходимо выполнить следующие действия:

1. Если число имеет три или менее знаков после запятой, оно уже является своим приближением с избытком.
2. Если число имеет более трёх знаков после запятой, и хотя бы одна из цифр после третьего знака не равна нулю, то все цифры после третьего знака отбрасываются, а цифра в третьем разряде после запятой увеличивается на 1.
3. Если все цифры после третьего знака равны нулю, то они просто отбрасываются, а число не изменяется.

а) $a = 3,9481$
Данное число имеет четыре знака после запятой. Третья цифра после запятой — 8. После неё стоит цифра 1, которая не равна нулю. Следовательно, мы отбрасываем цифру 1 и увеличиваем предыдущую цифру (8) на единицу.
$3,948 + 0,001 = 3,949$.
Ответ: 3,949.

б) $a = 3,9489$
Данное число имеет четыре знака после запятой. Третья цифра после запятой — 8. После неё стоит цифра 9, которая не равна нулю. Отбрасываем 9 и увеличиваем 8 на единицу.
$3,948 + 0,001 = 3,949$.
Ответ: 3,949.

в) $a = 3,9480$
Данное число можно записать как $3,948$. Оно уже имеет три знака после запятой. Все цифры после третьего разряда равны нулю. В этом случае приближение с избытком совпадает с самим числом, округлённым до этого разряда.
Ответ: 3,948.

г) $a = 3,9485$
Данное число имеет четыре знака после запятой. Третья цифра после запятой — 8. После неё стоит цифра 5, которая не равна нулю. Отбрасываем 5 и увеличиваем 8 на единицу.
$3,948 + 0,001 = 3,949$.
Ответ: 3,949.

5.53. Округлите число $a$ с точностью до $0,01$, если:

а) $a = 0,2948$;

б) $a = 4,1992$;

в) $a = 7,0974$;

г) $a = 8,2955$.

а) Чтобы округлить число $a = 0,2948$ до сотых (с точностью до 0,01), необходимо посмотреть на цифру, следующую за разрядом сотых, то есть на цифру в разряде тысячных. В этом числе это цифра 4.
Правило округления гласит: если следующая цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру оставляем без изменений, а все последующие отбрасываем.
Так как 4 < 5, цифру в разряде сотых (9) оставляем без изменений.
Следовательно, $a = 0,2948 \approx 0,29$.
Ответ: 0,29.

б) Чтобы округлить число $a = 4,1992$ до сотых, смотрим на цифру в разряде тысячных. Это цифра 9.
Правило округления гласит: если следующая цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.
Так как 9 ≥ 5, мы должны увеличить цифру в разряде сотых (9) на 1. При этом происходит переход через разряд: $19 + 1 = 20$.
Следовательно, $a = 4,1992 \approx 4,20$.
Ответ: 4,20.

в) Чтобы округлить число $a = 7,0974$ до сотых, смотрим на цифру в разряде тысячных. Это цифра 7.
Так как 7 ≥ 5, мы должны увеличить цифру в разряде сотых (9) на 1. При этом происходит переход через разряд: $09 + 1 = 10$.
Следовательно, $a = 7,0974 \approx 7,10$.
Ответ: 7,10.

г) Чтобы округлить число $a = 8,2955$ до сотых, смотрим на цифру в разряде тысячных. Это цифра 5.
Так как 5 ≥ 5, мы должны увеличить цифру в разряде сотых (9) на 1. При этом происходит переход через разряд: $29 + 1 = 30$.
Следовательно, $a = 8,2955 \approx 8,30$.
Ответ: 8,30.

5.54. Округлите число a с точностью до 0,001, если:

а) $a = 0,2948$;

б) $a = 4,1992$;

в) $a = 7,0974$;

г) $a = 8,2955$.

Чтобы округлить число с точностью до 0,001, необходимо округлить его до разряда тысячных. Для этого нужно посмотреть на цифру в следующем разряде (в разряде десятитысячных). Если эта цифра от 5 до 9, то цифру в разряде тысячных нужно увеличить на 1, а все последующие цифры отбросить. Если же цифра в разряде десятитысячных от 0 до 4, то цифру в разряде тысячных оставляем без изменений, а все последующие цифры отбрасываем.

а) В числе $a = 0,2948$ в разряде тысячных стоит цифра 4, а в разряде десятитысячных — 8. Так как $8 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных увеличиваем на 1: $4 + 1 = 5$. Получаем $0,295$.
$a = 0,2948 \approx 0,295$.
Ответ: 0,295.

б) В числе $a = 4,1992$ в разряде тысячных стоит цифра 9, а в разряде десятитысячных — 2. Так как $2 < 5$, то цифру в разряде тысячных оставляем без изменений. Получаем $4,199$.
$a = 4,1992 \approx 4,199$.
Ответ: 4,199.

в) В числе $a = 7,0974$ в разряде тысячных стоит цифра 7, а в разряде десятитысячных — 4. Так как $4 < 5$, то цифру в разряде тысячных оставляем без изменений. Получаем $7,097$.
$a = 7,0974 \approx 7,097$.
Ответ: 7,097.

г) В числе $a = 8,2955$ в разряде тысячных стоит цифра 5, а в разряде десятитысячных — 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде тысячных увеличиваем на 1: $5 + 1 = 6$. Получаем $8,296$.
$a = 8,2955 \approx 8,296$.
Ответ: 8,296.