Страница 268 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

5.68. Катер от пристани A до пристани B плывёт 10 ч, а обратно — 15 ч (время на остановки не учитывается). За сколько часов от пристани A до пристани B доплывут плоты?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ — расстояние между пристанями $A$ и $B$.
• $v_к$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).
• $v_р$ — скорость течения реки.

Катер плывет от пристани $A$ до пристани $B$ за 10 часов, а обратно — за 15 часов. Поскольку время в пути от $A$ до $B$ меньше, чем от $B$ до $A$, катер плывет по течению из $A$ в $B$ и против течения из $B$ в $A$.

Скорость катера по течению (из $A$ в $B$) равна $v_к + v_р$.
Скорость катера против течения (из $B$ в $A$) равна $v_к - v_р$.

Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$, составим систему уравнений:

$S = (v_к + v_р) \cdot 10$ (путь из $A$ в $B$)
$S = (v_к - v_р) \cdot 15$ (путь из $B$ в $A$)

Из этих уравнений можно выразить скорости:

$v_к + v_р = \frac{S}{10}$ (1)
$v_к - v_р = \frac{S}{15}$ (2)

Плот не имеет собственной скорости и плывет со скоростью течения реки, то есть со скоростью $v_р$. Нам нужно найти время $t_{плота}$, за которое плот проплывет расстояние $S$. Это время равно $t_{плота} = \frac{S}{v_р}$.

Чтобы найти $v_р$, вычтем из первого уравнения системы второе:

$(v_к + v_р) - (v_к - v_р) = \frac{S}{10} - \frac{S}{15}$

Раскроем скобки:

$v_к + v_р - v_к + v_р = \frac{3S - 2S}{30}$

$2v_р = \frac{S}{30}$

Отсюда находим скорость течения реки:

$v_р = \frac{S}{60}$

Теперь мы можем найти время, за которое плоты доплывут от пристани $A$ до пристани $B$:

$t_{плота} = \frac{S}{v_р} = \frac{S}{\frac{S}{60}} = S \cdot \frac{60}{S} = 60$ часов.

Ответ: 60 часов.

5.69. Токарь выполняет задание за 8 ч, а каждый его ученик тратит на выполнение такого же задания в 2 раза больше времени. За сколько часов токарь и два его ученика выполнят то же задание при совместной работе?

Для решения этой задачи необходимо определить производительность каждого работника (какую часть задания он выполняет за 1 час), а затем найти их общую производительность при совместной работе. Примем все задание за 1.

1. Производительность токаря.

Токарь выполняет все задание за 8 часов, следовательно, его производительность $P_Т$ (часть работы в час) составляет:

$P_Т = \frac{1}{8}$ задания в час.

2. Время выполнения и производительность одного ученика.

Каждый ученик тратит на выполнение того же задания в 2 раза больше времени, чем токарь:

$T_У = 8 \text{ ч} \cdot 2 = 16$ часов.

Производительность одного ученика $P_У$ составляет:

$P_У = \frac{1}{16}$ задания в час.

3. Общая производительность токаря и двух учеников.

Чтобы найти общую производительность $P_{общ}$ при совместной работе, нужно сложить производительность токаря и производительности двух учеников:

$P_{общ} = P_Т + P_У + P_У = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}$

Приведем дроби к общему знаменателю (16) и выполним сложение:

$P_{общ} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2+1+1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ задания в час.

4. Время выполнения задания при совместной работе.

Теперь, зная общую производительность, можно найти время $T_{общ}$, за которое они вместе выполнят все задание. Для этого нужно всю работу (1) разделить на общую производительность:

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.

5.70. Два велосипедиста отправились одновременно из пункта A в пункт B. В пункте B они развернулись и поехали обратно. Первый велосипедист всё время ехал с постоянной скоростью, а второй из A в B ехал со скоростью, в 2 раза большей скорости первого велосипедиста, а обратно — со скоростью, в 2 раза меньшей скорости первого велосипедиста. Кто из них первым вернётся в пункт A?

Для решения задачи необходимо сравнить общее время, затраченное каждым велосипедистом на весь путь из пункта А в пункт В и обратно в пункт А.

Введем следующие обозначения:

$S$ – расстояние от пункта А до пункта В.

$v$ – постоянная скорость первого велосипедиста.

Расчет времени для первого велосипедиста

Первый велосипедист едет весь путь с постоянной скоростью $v$. Время, затраченное на путь из А в В, равно $t_{1 \rightarrow} = \frac{S}{v}$. Время на обратный путь из В в А также равно $t_{1 \leftarrow} = \frac{S}{v}$.

Общее время в пути для первого велосипедиста $T_1$ составляет:

$T_1 = t_{1 \rightarrow} + t_{1 \leftarrow} = \frac{S}{v} + \frac{S}{v} = \frac{2S}{v}$

Расчет времени для второго велосипедиста

Второй велосипедист едет из А в В со скоростью, в 2 раза большей скорости первого, то есть $v_{2 \rightarrow} = 2v$. Время, затраченное на этот участок, равно $t_{2 \rightarrow} = \frac{S}{2v}$.

На обратном пути из В в А он едет со скоростью, в 2 раза меньшей скорости первого, то есть $v_{2 \leftarrow} = \frac{v}{2}$. Время, затраченное на обратный путь, равно $t_{2 \leftarrow} = \frac{S}{v/2} = \frac{2S}{v}$.

Общее время в пути для второго велосипедиста $T_2$ составляет:

$T_2 = t_{2 \rightarrow} + t_{2 \leftarrow} = \frac{S}{2v} + \frac{2S}{v}$

Приведем дроби к общему знаменателю $2v$:

$T_2 = \frac{S}{2v} + \frac{4S}{2v} = \frac{S + 4S}{2v} = \frac{5S}{2v}$

Сравнение времени

Теперь сравним общее время в пути для обоих велосипедистов:

Время первого: $T_1 = \frac{2S}{v} = 2 \cdot \frac{S}{v}$

Время второго: $T_2 = \frac{5S}{2v} = 2.5 \cdot \frac{S}{v}$

Поскольку $2.5 > 2$, то $T_2 > T_1$.

Это означает, что второй велосипедист затратит на весь путь больше времени, чем первый. Следовательно, первый велосипедист вернется в пункт А раньше.

Ответ: Первым в пункт А вернется первый велосипедист.

5.71. Два пенсионера любят гулять по аллее парка, длина которой 700 м, их скорости движения равны 3 км/ч и 4 км/ч. Однажды они отправились одновременно навстречу друг другу из разных концов аллеи. Каждый дошёл до противоположного конца аллеи, развернулся и отправился в обратном направлении. Через сколько минут произойдёт их вторая встреча?

Для решения задачи сначала приведем все величины к единым единицам измерения. Удобнее всего использовать метры и минуты.

Длина аллеи: $S = 700$ м.

Скорость первого пенсионера: $v_1 = 3 \text{ км/ч} = \frac{3 \cdot 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = 50 \text{ м/мин}$.

Скорость второго пенсионера: $v_2 = 4 \text{ км/ч} = \frac{4 \cdot 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{400}{6} \text{ м/мин} = \frac{200}{3} \text{ м/мин}$.

Рассмотрим суммарное расстояние, которое пройдут оба пенсионера к моменту их второй встречи.

• До первой встречи они, двигаясь навстречу друг другу, вместе проходят расстояние, равное длине аллеи, то есть $S$.
• После первой встречи каждый из них продолжает движение до противоположного конца аллеи, разворачивается и движется обратно. Для того чтобы они встретились во второй раз, им нужно суммарно преодолеть расстояние, равное двум длинам аллеи, то есть $2S$.

Таким образом, общее расстояние, пройденное обоими пенсионерами с момента старта до второй встречи, составляет $S_{общ} = S + 2S = 3S$.

Вычислим это расстояние: $S_{общ} = 3 \cdot 700 \text{ м} = 2100 \text{ м}$.

Время движения до второй встречи можно найти, разделив общее пройденное расстояние на их суммарную скорость (скорость сближения). Суммарная скорость равна $v_{общ} = v_1 + v_2$.

$v_{общ} = 50 + \frac{200}{3} = \frac{150}{3} + \frac{200}{3} = \frac{350}{3} \text{ м/мин}$.

Теперь найдем искомое время $t$:

$t = \frac{S_{общ}}{v_{общ}} = \frac{2100}{\frac{350}{3}} = \frac{2100 \cdot 3}{350}$

Так как $2100 / 350 = 6$, получаем:

$t = 6 \cdot 3 = 18$ минут.

Ответ: 18 минут.

5.72. На птицеферме гусей было в 2 раза меньше, чем уток. На один день гусям и уткам выдают столько корма, сколько требуется одному гусю на 56 дней или одной утке на 84 дня. Сколько на птицеферме уток?

Обозначим количество уток на птицеферме через $U$, а количество гусей – через $G$.

Согласно условию, гусей было в 2 раза меньше, чем уток, что можно записать в виде уравнения:

$G = \frac{U}{2}$

Пусть общее количество корма, выдаваемого всем птицам на один день, равно $K$. Из условия известно, что этого количества корма хватит одному гусю на 56 дней или одной утке на 84 дня. Это позволяет нам определить, какую часть от общего дневного корма $K$ съедает одна птица за день.

Дневная норма корма для одного гуся составляет $\frac{K}{56}$.

Дневная норма корма для одной утки составляет $\frac{K}{84}$.

Общее количество корма, которое съедают все птицы за один день, складывается из корма для всех гусей и корма для всех уток. Это можно выразить уравнением:

$K = G \cdot (\text{дневная норма гуся}) + U \cdot (\text{дневная норма утки})$

Подставим в это уравнение известные нам выражения:

$K = G \cdot \frac{K}{56} + U \cdot \frac{K}{84}$

Теперь заменим количество гусей $G$ через количество уток $U$, используя соотношение $G = \frac{U}{2}$:

$K = \frac{U}{2} \cdot \frac{K}{56} + U \cdot \frac{K}{84}$

Поскольку количество корма $K$ не равно нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $K$:

$1 = \frac{U}{2 \cdot 56} + \frac{U}{84}$

$1 = \frac{U}{112} + \frac{U}{84}$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 112 и 84 — это 336. Домножим первую дробь на 3, а вторую на 4:

$1 = \frac{3 \cdot U}{336} + \frac{4 \cdot U}{336}$

$1 = \frac{3U + 4U}{336}$

$1 = \frac{7U}{336}$

Из этого уравнения находим $U$:

$7U = 336$

$U = \frac{336}{7}$

$U = 48$

Ответ: на птицеферме 48 уток.

5.73. Запаса топлива в баке моторной лодки хватает, чтобы проплыть 28 км по течению реки или 21 км против течения реки. На какое наибольшее расстояние может отплыть рыбак на этой лодке по течению реки, чтобы топлива хватило на обратный путь (чтобы ему не пришлось идти на вёслах)?

Примем весь запас топлива в баке за 1 условную единицу.

Из условия следует, что на 28 км по течению реки расходуется весь бак. Значит, на 1 км пути по течению лодка тратит $\frac{1}{28}$ часть всего топлива.

Аналогично, на 21 км против течения также расходуется весь бак. Следовательно, на 1 км пути против течения лодка тратит $\frac{1}{21}$ часть всего топлива.

Пусть $S$ – искомое наибольшее расстояние (в км), на которое рыбак может отплыть по течению, чтобы ему хватило топлива на обратный путь.

Путь туда (по течению) на расстояние $S$ потребует $S \cdot \frac{1}{28} = \frac{S}{28}$ часть топлива.
Обратный путь (против течения) на расстояние $S$ потребует $S \cdot \frac{1}{21} = \frac{S}{21}$ часть топлива.

Чтобы топлива хватило на весь маршрут, суммарный расход на путь туда и обратно должен быть равен всему запасу в баке, то есть 1. Составим и решим уравнение:
$\frac{S}{28} + \frac{S}{21} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 28 и 21 это 84.
$\frac{3S}{84} + \frac{4S}{84} = 1$
$\frac{3S + 4S}{84} = 1$
$\frac{7S}{84} = 1$

Сократим дробь в левой части на 7:
$\frac{S}{12} = 1$

Отсюда находим $S$:
$S = 12$

Таким образом, наибольшее расстояние, на которое рыбак может отплыть по течению, чтобы вернуться обратно, составляет 12 км.

Ответ: 12 км.

5.74 Резина на передних колёсах автомобиля изнашивается через 135 тыс. км пробега, а на задних колёсах — через 90 тыс. км пробега. На изношенной («лысой») резине ездить запрещено, шины надо менять. На автомобиле установлен комплект новой резины. Какое наибольшее расстояние можно проехать на этой резине, если догадаться вовремя поменять передние колёса с задними? Через сколько тысяч километров это надо сделать?

Для решения задачи введем понятие скорости износа шины. Если шина полностью изнашивается за определенный пробег, то скорость ее износа — это доля износа на 1 тысячу километров. Полный износ примем за 1.

Скорость износа на передних колесах: $V_п = \frac{1}{135}$ (тыс. км)⁻¹.

Скорость износа на задних колесах: $V_з = \frac{1}{90}$ (тыс. км)⁻¹.

Чтобы максимизировать пробег, необходимо, чтобы все четыре шины износились одновременно. Это означает, что к концу эксплуатации суммарный износ каждой шины должен быть равен 1.

Пусть $x$ — это пробег (в тыс. км) до перестановки колес, а $y$ — пробег (в тыс. км) после перестановки. Общий пробег будет $S = x + y$.

Рассмотрим износ двух комплектов шин:

1. Шины, которые начали на передней оси, а закончили на задней.
   Их суммарный износ: $x \cdot V_п + y \cdot V_з = 1$.
   Подставив значения, получим уравнение: $\frac{x}{135} + \frac{y}{90} = 1$.

2. Шины, которые начали на задней оси, а закончили на передней.
   Их суммарный износ: $x \cdot V_з + y \cdot V_п = 1$.
   Подставив значения, получим уравнение: $\frac{x}{90} + \frac{y}{135} = 1$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \frac{x}{135} + \frac{y}{90} = 1 \\ \frac{x}{90} + \frac{y}{135} = 1 \end{cases} $

Поскольку правые части уравнений равны, приравняем и левые:

$\frac{x}{135} + \frac{y}{90} = \frac{x}{90} + \frac{y}{135}$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а с $y$ — в другую:

$\frac{y}{90} - \frac{y}{135} = \frac{x}{90} - \frac{x}{135}$

$y(\frac{1}{90} - \frac{1}{135}) = x(\frac{1}{90} - \frac{1}{135})$

Отсюда следует, что $x = y$. Это означает, что перестановку колес нужно сделать ровно на середине общего пути.

Теперь подставим $y = x$ в любое из уравнений системы, например, в первое:

$\frac{x}{135} + \frac{x}{90} = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 135 и 90 — это 270.

$\frac{2x}{270} + \frac{3x}{270} = 1$

$\frac{5x}{270} = 1$

$5x = 270$

$x = \frac{270}{5} = 54$ (тыс. км)

Поскольку $x = 54$ тыс. км и $y = x$, то $y = 54$ тыс. км. Наибольшее расстояние $S = x + y = 54 + 54 = 108$ тыс. км.

Ответ: 108 тысяч километров.

Перестановку колес необходимо сделать после того, как автомобиль проедет расстояние $x$. Как мы вычислили, $x = 54$ тыс. км.

Ответ: через 54 тысячи километров.

5.75 Резина на передних колёсах автомобиля изнашивается через 135 тыс. км пробега, а на задних колёсах — через 90 тыс. км пробега. На изношенной («лысой») резине ездить запрещено, шины надо менять. На автомобиле установлен комплект новой резины и в багажнике лежит новое запасное колесо.

Какое наибольшее расстояние можно проехать на этой резине, если догадаться вовремя менять колёса?

Какое наименьшее число раз надо менять колёса?

Через сколько тысяч километров это надо делать?

Какое наибольшее расстояние можно проехать на этой резине, если догадаться вовремя менять колёса?

Чтобы проехать максимальное расстояние, необходимо, чтобы все 5 колёс (4 установленных и 1 запасное) износились полностью и одновременно. Этого можно достичь, если периодически менять колёса местами, чтобы каждое из них провело определённую часть времени на передней оси, на задней оси и в качестве запасного.

Обозначим скорость износа шины на передней оси как $v_п$ и на задней оси как $v_з$. Полный ресурс шины (100% износа) примем за 1. Тогда:

• Скорость износа на передних колёсах: $v_п = \frac{1}{135}$ ресурса на тысячу км.
• Скорость износа на задних колёсах: $v_з = \frac{1}{90}$ ресурса на тысячу км.

За каждый километр пробега на автомобиле изнашиваются 2 передних и 2 задних колеса. Суммарный износ ресурса всех 4-х используемых колёс за 1 тыс. км пробега равен: $V_{общ} = 2 \cdot v_п + 2 \cdot v_з = 2 \cdot \frac{1}{135} + 2 \cdot \frac{1}{90}$

Приведём дроби к общему знаменателю 270: $V_{общ} = \frac{2 \cdot 2}{270} + \frac{2 \cdot 3}{270} = \frac{4}{270} + \frac{6}{270} = \frac{10}{270} = \frac{1}{27}$ ресурса на тыс. км.

Это суммарный износ, который распределяется по 4 работающим колёсам. Чтобы износ всех 5 колёс был равномерным, этот общий износ за весь пробег должен быть равен общему доступному ресурсу. У нас есть 5 новых колёс, что составляет 5 единиц общего ресурса.

Пусть $L$ — максимальное расстояние в тыс. км. Тогда общий износ за всё расстояние $L$ должен быть равен общему доступному ресурсу: $L \cdot V_{общ} = 5$ $L \cdot \frac{1}{27} = 5$ $L = 5 \cdot 27 = 135$ тыс. км.

Ответ: 135 тыс. км.

Какое наименьшее число раз надо менять колёса?

Чтобы все 5 колёс износились равномерно, каждое из них должно провести одинаковое время в каждой из 5 «позиций»: переднее левое, переднее правое, заднее левое, заднее правое и запасное. Для этого нужно разделить весь путь на 5 равных этапов и в конце каждого этапа производить полную ротацию всех 5 колёс (например, по круговой схеме).

Это означает, что перестановки нужно делать в конце 1-го, 2-го, 3-го и 4-го этапов. В конце 5-го этапа путь будет завершён, и замена не потребуется. Таким образом, минимальное количество замен — 4.

Ответ: 4 раза.

Через сколько тысяч километров это надо делать?

Как было определено выше, для равномерного износа весь путь в 135 тыс. км необходимо разделить на 5 равных этапов. Длительность одного этапа, после которого нужно производить замену, составляет: $L_{этапа} = \frac{L_{общ}}{5} = \frac{135}{5} = 27$ тыс. км.

Таким образом, менять колёса местами нужно через каждые 27 тысяч километров.

Ответ: 27 тыс. км.