Номер 5.75, страница 268 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

5.75 Резина на передних колёсах автомобиля изнашивается через 135 тыс. км пробега, а на задних колёсах — через 90 тыс. км пробега. На изношенной («лысой») резине ездить запрещено, шины надо менять. На автомобиле установлен комплект новой резины и в багажнике лежит новое запасное колесо.

Какое наибольшее расстояние можно проехать на этой резине, если догадаться вовремя менять колёса?

Какое наименьшее число раз надо менять колёса?

Через сколько тысяч километров это надо делать?

Какое наибольшее расстояние можно проехать на этой резине, если догадаться вовремя менять колёса?

Чтобы проехать максимальное расстояние, необходимо, чтобы все 5 колёс (4 установленных и 1 запасное) износились полностью и одновременно. Этого можно достичь, если периодически менять колёса местами, чтобы каждое из них провело определённую часть времени на передней оси, на задней оси и в качестве запасного.

Обозначим скорость износа шины на передней оси как $v_п$ и на задней оси как $v_з$. Полный ресурс шины (100% износа) примем за 1. Тогда:

• Скорость износа на передних колёсах: $v_п = \frac{1}{135}$ ресурса на тысячу км.
• Скорость износа на задних колёсах: $v_з = \frac{1}{90}$ ресурса на тысячу км.

За каждый километр пробега на автомобиле изнашиваются 2 передних и 2 задних колеса. Суммарный износ ресурса всех 4-х используемых колёс за 1 тыс. км пробега равен: $V_{общ} = 2 \cdot v_п + 2 \cdot v_з = 2 \cdot \frac{1}{135} + 2 \cdot \frac{1}{90}$

Приведём дроби к общему знаменателю 270: $V_{общ} = \frac{2 \cdot 2}{270} + \frac{2 \cdot 3}{270} = \frac{4}{270} + \frac{6}{270} = \frac{10}{270} = \frac{1}{27}$ ресурса на тыс. км.

Это суммарный износ, который распределяется по 4 работающим колёсам. Чтобы износ всех 5 колёс был равномерным, этот общий износ за весь пробег должен быть равен общему доступному ресурсу. У нас есть 5 новых колёс, что составляет 5 единиц общего ресурса.

Пусть $L$ — максимальное расстояние в тыс. км. Тогда общий износ за всё расстояние $L$ должен быть равен общему доступному ресурсу: $L \cdot V_{общ} = 5$ $L \cdot \frac{1}{27} = 5$ $L = 5 \cdot 27 = 135$ тыс. км.

Ответ: 135 тыс. км.

Какое наименьшее число раз надо менять колёса?

Чтобы все 5 колёс износились равномерно, каждое из них должно провести одинаковое время в каждой из 5 «позиций»: переднее левое, переднее правое, заднее левое, заднее правое и запасное. Для этого нужно разделить весь путь на 5 равных этапов и в конце каждого этапа производить полную ротацию всех 5 колёс (например, по круговой схеме).

Это означает, что перестановки нужно делать в конце 1-го, 2-го, 3-го и 4-го этапов. В конце 5-го этапа путь будет завершён, и замена не потребуется. Таким образом, минимальное количество замен — 4.

Ответ: 4 раза.

Через сколько тысяч километров это надо делать?

Как было определено выше, для равномерного износа весь путь в 135 тыс. км необходимо разделить на 5 равных этапов. Длительность одного этапа, после которого нужно производить замену, составляет: $L_{этапа} = \frac{L_{общ}}{5} = \frac{135}{5} = 27$ тыс. км.

Таким образом, менять колёса местами нужно через каждые 27 тысяч километров.

Ответ: 27 тыс. км.