Номер 5.79, страница 273 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

5.79 Число книг на первой полке составляло $\frac{3}{4}$ числа книг на второй полке. Три книги переставили со второй полки на первую. Теперь число книг на первой полке составляет $\frac{4}{5}$ числа книг на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — первоначальное количество книг на первой полке, а $y$ — первоначальное количество книг на второй полке.

Из первого условия известно, что число книг на первой полке составляло $\frac{3}{4}$ числа книг на второй. Это можно записать в виде уравнения:

$x = \frac{3}{4}y$

Далее, три книги переставили со второй полки на первую. После этого на первой полке стало $(x + 3)$ книги, а на второй — $(y - 3)$ книги.

Согласно второму условию, новое число книг на первой полке составляет $\frac{4}{5}$ нового числа книг на второй. Получаем второе уравнение:

$x + 3 = \frac{4}{5}(y - 3)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} x = \frac{3}{4}y \\ x + 3 = \frac{4}{5}(y - 3) \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$\frac{3}{4}y + 3 = \frac{4}{5}(y - 3)$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20:

$20 \cdot (\frac{3}{4}y + 3) = 20 \cdot \frac{4}{5}(y - 3)$

$15y + 60 = 16(y - 3)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$15y + 60 = 16y - 48$

Сгруппируем переменные в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$60 + 48 = 16y - 15y$

$108 = y$

Итак, мы нашли, что первоначально на второй полке было 108 книг.

Теперь найдем первоначальное количество книг на первой полке, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = \frac{3}{4} \cdot 108 = 3 \cdot 27 = 81$

На первой полке была 81 книга.

Проверим найденные значения:

1. Первоначальное соотношение: $81 = \frac{3}{4} \cdot 108$, $81 = 81$. Верно.

2. После перемещения: на первой полке стало $81 + 3 = 84$ книги, на второй $108 - 3 = 105$ книг.

3. Новое соотношение: $84 = \frac{4}{5} \cdot 105$, $84 = 4 \cdot 21$, $84 = 84$. Верно.

Ответ: первоначально на первой полке была 81 книга, а на второй — 108 книг.