Страница 273 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

5.76. Число книг на первой полке составляло $ \frac{3}{4} $ числа книг на второй полке. Три книги переставили со второй полки на первую. Книг на двух полках стало поровну. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество книг, которое первоначально стояло на второй полке.

По условию задачи, число книг на первой полке составляло $\frac{3}{4}$ от числа книг на второй полке. Следовательно, на первой полке было $\frac{3}{4}x$ книг.

Затем со второй полки на первую переставили 3 книги. После этого изменения количество книг на полках стало следующим:

• На первой полке: $\frac{3}{4}x + 3$
• На второй полке: $x - 3$

После перестановки книг на обеих полках стало поровну. Это позволяет нам составить уравнение:

$\frac{3}{4}x + 3 = x - 3$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$3 + 3 = x - \frac{3}{4}x$

Выполним вычисления:

$6 = \frac{4}{4}x - \frac{3}{4}x$

$6 = \frac{1}{4}x$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:

$x = 6 \cdot 4$

$x = 24$

Таким образом, первоначально на второй полке было 24 книги.

Теперь найдем первоначальное количество книг на первой полке:

$\frac{3}{4} \cdot 24 = 3 \cdot \frac{24}{4} = 3 \cdot 6 = 18$

На первой полке было 18 книг.

Проверка: Изначально было 18 и 24 книги. После того как 3 книги переставили со второй полки на первую, на первой стало $18 + 3 = 21$ книга, а на второй осталось $24 - 3 = 21$ книга. Количество книг сравнялось, что соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально на первой полке было 18 книг, а на второй — 24 книги.

5.77. У брата и сестры открыток было поровну. Когда брат подарил сестре 4 открытки, то число его открыток составило $\frac{4}{5}$ числа открыток сестры. Сколько открыток было у каждого первоначально?

Пусть первоначально у брата и сестры было по $x$ открыток, так как по условию их количество было равным.

Когда брат подарил сестре 4 открытки, у него стало $(x - 4)$ открытки.

В то же время у сестры стало $(x + 4)$ открытки.

По условию задачи, новое количество открыток у брата составило $\frac{4}{5}$ от нового количества открыток у сестры. На основании этого можно составить уравнение:

$x - 4 = \frac{4}{5}(x + 4)$

Для решения уравнения умножим обе его части на 5, чтобы избавиться от дроби:

$5 \cdot (x - 4) = 4 \cdot (x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5x - 20 = 4x + 16$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки при переносе:

$5x - 4x = 16 + 20$

Приведем подобные слагаемые:

$x = 36$

Таким образом, мы нашли, что первоначально у каждого было по 36 открыток.

Выполним проверку:

Изначально: у брата 36 открыток, у сестры 36 открыток.

После того как брат подарил 4 открытки:

У брата стало: $36 - 4 = 32$ открытки.

У сестры стало: $36 + 4 = 40$ открыток.

Проверим соотношение: $\frac{32}{40} = \frac{8 \cdot 4}{8 \cdot 5} = \frac{4}{5}$. Условие задачи выполняется.

Ответ: первоначально у каждого было по 36 открыток.

5.78. У Алёши и Бори было поровну солдатиков. Когда Алёша подарил Боре 2 солдатика, то число солдатиков Бори составило $\frac{6}{5}$ числа солдатиков Алёши. Сколько солдатиков было у каждого первоначально?

Пусть первоначально у Алёши и у Бори было по $x$ солдатиков.

Когда Алёша подарил Боре 2 солдатика, у Алёши стало $(x - 2)$ солдатика, а у Бори стало $(x + 2)$ солдатика.

По условию задачи, новое число солдатиков Бори составило $\frac{6}{5}$ от нового числа солдатиков Алёши. Можем составить уравнение:

$x + 2 = \frac{6}{5}(x - 2)$

Для решения уравнения умножим обе его части на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$5 \cdot (x + 2) = 5 \cdot \frac{6}{5}(x - 2)$

$5(x + 2) = 6(x - 2)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$5x + 10 = 6x - 12$

Перенесём слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а числовые слагаемые — в левую, чтобы найти значение $x$:

$10 + 12 = 6x - 5x$

$22 = x$

Следовательно, первоначально у каждого мальчика было по 22 солдатика.

Проверка:
Изначально у Алёши и Бори было по 22 солдатика.
Алёша отдал 2, у него осталось: $22 - 2 = 20$ солдатиков.
Боря получил 2, у него стало: $22 + 2 = 24$ солдатика.
Найдём отношение числа солдатиков Бори к числу солдатиков Алёши: $\frac{24}{20} = \frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{6}{5}$.
Соотношение верное, значит, задача решена правильно.

Ответ: первоначально у каждого было по 22 солдатика.

5.79 Число книг на первой полке составляло $\frac{3}{4}$ числа книг на второй полке. Три книги переставили со второй полки на первую. Теперь число книг на первой полке составляет $\frac{4}{5}$ числа книг на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — первоначальное количество книг на первой полке, а $y$ — первоначальное количество книг на второй полке.

Из первого условия известно, что число книг на первой полке составляло $\frac{3}{4}$ числа книг на второй. Это можно записать в виде уравнения:

$x = \frac{3}{4}y$

Далее, три книги переставили со второй полки на первую. После этого на первой полке стало $(x + 3)$ книги, а на второй — $(y - 3)$ книги.

Согласно второму условию, новое число книг на первой полке составляет $\frac{4}{5}$ нового числа книг на второй. Получаем второе уравнение:

$x + 3 = \frac{4}{5}(y - 3)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} x = \frac{3}{4}y \\ x + 3 = \frac{4}{5}(y - 3) \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$\frac{3}{4}y + 3 = \frac{4}{5}(y - 3)$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20:

$20 \cdot (\frac{3}{4}y + 3) = 20 \cdot \frac{4}{5}(y - 3)$

$15y + 60 = 16(y - 3)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$15y + 60 = 16y - 48$

Сгруппируем переменные в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$60 + 48 = 16y - 15y$

$108 = y$

Итак, мы нашли, что первоначально на второй полке было 108 книг.

Теперь найдем первоначальное количество книг на первой полке, подставив значение $y$ в первое уравнение:

$x = \frac{3}{4} \cdot 108 = 3 \cdot 27 = 81$

На первой полке была 81 книга.

Проверим найденные значения:

1. Первоначальное соотношение: $81 = \frac{3}{4} \cdot 108$, $81 = 81$. Верно.

2. После перемещения: на первой полке стало $81 + 3 = 84$ книги, на второй $108 - 3 = 105$ книг.

3. Новое соотношение: $84 = \frac{4}{5} \cdot 105$, $84 = 4 \cdot 21$, $84 = 84$. Верно.

Ответ: первоначально на первой полке была 81 книга, а на второй — 108 книг.

5.80. Количество отсутствующих в классе учащихся составляло $ \frac{1}{6} $ всех учащихся класса. После того как один ученик вышел из класса, количество отсутствующих составило $ \frac{1}{5} $ всех учащихся класса. Сколько всего учащихся в этом классе?

Пусть $x$ — общее количество учащихся в классе.

Согласно первому условию, количество отсутствующих учащихся составляло $\frac{1}{6}$ от общего числа, то есть $\frac{1}{6}x$.

После того как один ученик вышел из класса, он присоединился к группе отсутствующих. Это означает, что количество отсутствующих увеличилось на 1 человека. Новое количество отсутствующих стало $\frac{1}{6}x + 1$.

По второму условию, новое количество отсутствующих составило $\frac{1}{5}$ от общего числа учащихся, то есть $\frac{1}{5}x$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для нового количества отсутствующих:

$\frac{1}{6}x + 1 = \frac{1}{5}x$

Для решения уравнения перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону:

$1 = \frac{1}{5}x - \frac{1}{6}x$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 30:

$1 = \frac{6}{30}x - \frac{5}{30}x$

$1 = \frac{1}{30}x$

Отсюда находим $x$:

$x = 1 \times 30$

$x = 30$

Таким образом, всего в классе 30 учащихся.

Проверка:
Если всего 30 учащихся, то изначально отсутствовало $\frac{1}{6} \times 30 = 5$ учеников.
Присутствовало $30 - 5 = 25$ учеников.
Когда один ученик вышел, число отсутствующих стало $5 + 1 = 6$.
Проверим, составляет ли это $\frac{1}{5}$ от общего числа: $\frac{1}{5} \times 30 = 6$.
Все верно.

Ответ: 30.

5.81. Количество отсутствующих в классе учащихся составило $\frac{1}{6}$ количества присутствующих. После того как один ученик вышел из класса, количество отсутствующих составило $\frac{1}{5}$ количества присутствующих. Сколько всего учащихся в этом классе?

Решение

Пусть $p$ — первоначальное количество присутствующих учеников, а $a$ — первоначальное количество отсутствующих учеников.

Согласно первому условию задачи, количество отсутствующих составляло $\frac{1}{6}$ количества присутствующих. Это можно записать в виде уравнения:

$a = \frac{1}{6}p$

После того как один ученик вышел из класса, количество присутствующих учеников уменьшилось на 1 (стало $p - 1$), а количество отсутствующих учеников увеличилось на 1 (стало $a + 1$).

По новому условию, количество отсутствующих составило $\frac{1}{5}$ количества присутствующих. Запишем второе уравнение:

$a + 1 = \frac{1}{5}(p - 1)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными. Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$\frac{1}{6}p + 1 = \frac{1}{5}(p - 1)$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 5, то есть на 30:

$30 \cdot (\frac{1}{6}p + 1) = 30 \cdot \frac{1}{5}(p - 1)$

$5p + 30 = 6(p - 1)$

$5p + 30 = 6p - 6$

Теперь решим уравнение относительно $p$:

$30 + 6 = 6p - 5p$

$p = 36$

Таким образом, первоначально в классе присутствовало 36 учеников.

Теперь найдем первоначальное количество отсутствующих учеников, используя первое уравнение:

$a = \frac{1}{6} \cdot 36 = 6$

Итак, первоначально отсутствовало 6 учеников.

Общее количество учащихся в классе равно сумме присутствующих и отсутствующих. Это число не меняется.

Всего учеников = $p + a = 36 + 6 = 42$

Проверим:
Изначально: присутствующих 36, отсутствующих 6. $6 = \frac{1}{6} \cdot 36$. Верно.
После ухода одного ученика: присутствующих 35, отсутствующих 7. $7 = \frac{1}{5} \cdot 35$. Верно.

Ответ: 42.

5.82. В начале урока в классе отсутствовала $\frac{1}{9}$ всех учащихся класса. После того как опоздавшие Вася и Коля вошли в класс, в классе отсутствовала $\frac{1}{18}$ всех учащихся класса. Сколько всего учащихся в этом классе?

Пусть $x$ — это общее количество учащихся в классе.
В начале урока в классе отсутствовало $\frac{1}{9}$ всех учащихся, что составляет $\frac{1}{9}x$ человек.
После того как Вася и Коля, опоздавшие на урок, вошли в класс (2 человека), количество отсутствующих уменьшилось. Новое количество отсутствующих составило $\frac{1}{18}$ всех учащихся, то есть $\frac{1}{18}x$ человек.
Разница между количеством отсутствующих в начале урока и после прихода двух учеников составляет как раз этих двух учеников.
Можем составить уравнение:
$\frac{1}{9}x - \frac{1}{18}x = 2$
Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю 18:
$\frac{2}{18}x - \frac{1}{18}x = 2$
Выполним вычитание в левой части уравнения:
$(\frac{2-1}{18})x = 2$
$\frac{1}{18}x = 2$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 18:
$x = 2 \times 18$
$x = 36$
Таким образом, всего в классе 36 учащихся.

Проверка:
Всего учащихся: 36.
В начале отсутствовало: $36 \times \frac{1}{9} = 4$ ученика.
Пришли 2 ученика, значит, отсутствующих стало: $4 - 2 = 2$ ученика.
Доля отсутствующих стала: $\frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ от всех учащихся. Это соответствует условию задачи.
Ответ: 36

5.83. В начале урока в классе отсутствовала $\frac{1}{7}$ от всех присутствующих в классе. После того как опоздавшие Маша и Даша вошли в класс, в классе отсутствовала $\frac{1}{15}$ от всех присутствующих в классе. Сколько всего учащихся в этом классе?

Обозначим общее количество учащихся в классе через $N$.

В начале урока количество отсутствующих составляло $\frac{1}{7}$ от количества присутствующих. Это означает, что на каждого отсутствующего приходилось 7 присутствующих. Если принять количество отсутствующих за 1 часть, то количество присутствующих будет 7 таких же частей. Тогда общее количество учеников в классе составляет $1 + 7 = 8$ частей. Следовательно, количество отсутствующих в начале урока составляло $\frac{1}{8}$ от общего числа всех учащихся в классе, то есть $A_1 = \frac{1}{8}N$.

После того как опоздавшие Маша и Даша (2 человека) вошли в класс, количество отсутствующих уменьшилось на 2, а присутствующих увеличилось на 2. Новое соотношение отсутствующих к присутствующим стало $\frac{1}{15}$. Это означает, что на 1 отсутствующего теперь приходится 15 присутствующих. Общее количество учеников теперь можно представить как $1 + 15 = 16$ частей. Следовательно, новое количество отсутствующих составляет $\frac{1}{16}$ от общего числа учащихся, то есть $A_2 = \frac{1}{16}N$.

Разница между количеством отсутствующих в начале урока и после прихода Маши и Даши равна 2 человека. Можем составить уравнение:

$A_1 - A_2 = 2$

Подставим в уравнение выражения для $A_1$ и $A_2$ через $N$:

$\frac{1}{8}N - \frac{1}{16}N = 2$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю 16:

$\frac{2}{16}N - \frac{1}{16}N = 2$

$\frac{1}{16}N = 2$

Теперь найдем общее количество учащихся в классе $N$:

$N = 2 \times 16 = 32$

Выполним проверку.
Всего в классе 32 ученика.
В начале урока отсутствовало: $\frac{1}{8} \times 32 = 4$ ученика. Присутствовало: $32 - 4 = 28$ учеников. Проверяем соотношение: $\frac{4}{28} = \frac{1}{7}$. Условие выполнено.
После того как 2 ученицы пришли, отсутствующих стало: $4 - 2 = 2$ ученика. Присутствующих стало: $28 + 2 = 30$ учеников. Проверяем новое соотношение: $\frac{2}{30} = \frac{1}{15}$. Условие также выполнено.

Ответ: 32.