Страница 267 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

5.60. В школьной театральной студии девочек в 4 раза больше, чем мальчиков. Какую часть от числа всех студийцев составляют мальчики?

Для решения этой задачи можно рассуждать по частям или использовать переменные.

Способ 1: Решение по частям

1. Примем количество мальчиков за 1 часть.

2. Поскольку девочек в 4 раза больше, то количество девочек составляет $1 \cdot 4 = 4$ части.

3. Найдем общее количество частей, соответствующее всем студийцам. Для этого сложим части, которые составляют мальчики и девочки: $1 + 4 = 5$ частей.

4. Всего в студии 5 частей, из которых 1 часть приходится на мальчиков. Следовательно, мальчики составляют $\frac{1}{5}$ от общего числа студийцев.

Способ 2: Решение с помощью переменной

1. Пусть $x$ — это количество мальчиков в студии.

2. По условию, девочек в 4 раза больше, значит, их количество равно $4x$.

3. Общее количество всех студийцев равно сумме количества мальчиков и девочек: $x + 4x = 5x$.

4. Чтобы найти, какую часть от общего числа студийцев составляют мальчики, нужно разделить количество мальчиков на общее число студийцев:

$\frac{\text{количество мальчиков}}{\text{общее количество студийцев}} = \frac{x}{5x}$

5. Сократим полученную дробь на $x$:

$\frac{x}{5x} = \frac{1}{5}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

5.61. В копилке у Антона была некоторая сумма денег. Он планировал каждый день класть в копилку по 10 р., чтобы за несколько дней увеличить сумму до 1000 р. Но вместо этого он столько же дней забирал из копилки по 30 р., и копилка опустела. Сколько рублей было в копилке Антона первоначально?

Для решения задачи введем две переменные. Пусть $x$ — это первоначальная сумма денег в копилке в рублях, а $n$ — это количество дней.

По первому условию, Антон планировал каждый день класть по 10 рублей, чтобы через $n$ дней сумма стала равна 1000 рублей. Это можно выразить уравнением:
$x + 10 \cdot n = 1000$

По второму условию, он столько же дней ($n$) забирал по 30 рублей, после чего копилка опустела (сумма стала равна 0). Это можно выразить вторым уравнением:
$x - 30 \cdot n = 0$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} x + 10n = 1000 \\ x - 30n = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения легко выразить $x$:
$x = 30n$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение, чтобы найти количество дней $n$:
$(30n) + 10n = 1000$
$40n = 1000$
$n = \frac{1000}{40}$
$n = 25$
Таким образом, все действия происходили в течение 25 дней.

Зная $n$, мы можем найти первоначальную сумму $x$, подставив значение $n$ в любое из уравнений. Воспользуемся выражением $x = 30n$:
$x = 30 \cdot 25$
$x = 750$
Следовательно, первоначально в копилке было 750 рублей.

Ответ: 750 рублей.

5.62. В копилке у Миши была некоторая сумма денег. Он планировал каждый день класть в копилку по 20 р., чтобы за несколько дней увеличить сумму в копилке до 1000 р. Но вместо этого он столько же дней забирал из копилки по 30 р., и копилка опустела. Сколько рублей было в копилке первоначально?

Обозначим начальную сумму денег в копилке как $x$ рублей, а количество дней, в течение которых происходили операции с деньгами, как $d$.

Согласно первому сценарию (план Миши), если бы он каждый день добавлял по 20 рублей в течение $d$ дней, то начальная сумма $x$ увеличилась бы до 1000 рублей. Это можно записать в виде уравнения:
$x + 20d = 1000$

Согласно второму, реальному сценарию, Миша в течение того же количества дней $d$ забирал из копилки по 30 рублей, и в итоге она опустела (сумма стала равна 0). Это можно записать в виде второго уравнения:
$x - 30d = 0$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} x + 20d = 1000 \\ x - 30d = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения системы выразим $x$ через $d$:
$x = 30d$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$(30d) + 20d = 1000$

Решим полученное уравнение относительно $d$:
$50d = 1000$
$d = \frac{1000}{50}$
$d = 20$
Значит, Миша планировал пополнять копилку (а в итоге забирал деньги) в течение 20 дней.

Зная количество дней, мы можем найти первоначальную сумму в копилке ($x$), подставив значение $d = 20$ в любое из уравнений. Удобнее всего использовать выражение $x = 30d$:
$x = 30 \cdot 20$
$x = 600$

Следовательно, первоначально в копилке было 600 рублей.
Ответ: 600 рублей.

5.63. На двух полках стояло 24 книги. Когда с первой полки на вторую переставили 3 книги, то книг на первой полке стало в 2 раза меньше, чем на второй. Сколько книг стояло на первой полке первоначально?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество книг, которое стояло на первой полке первоначально. Поскольку всего на двух полках было 24 книги, то на второй полке первоначально стояло $(24 - x)$ книг.

Когда с первой полки на вторую переставили 3 книги, то количество книг на полках изменилось:

• на первой полке стало: $(x - 3)$ книг;
• на второй полке стало: $(24 - x) + 3 = (27 - x)$ книг.

По условию задачи, после этих изменений количество книг на первой полке стало в 2 раза меньше, чем на второй. Это можно выразить уравнением, где удвоенное количество книг на первой полке равно количеству книг на второй:

$2 \cdot (x - 3) = 27 - x$

Теперь решим это линейное уравнение, чтобы найти $x$:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

$2x - 6 = 27 - x$

2. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный:

$2x + x = 27 + 6$

3. Упростим обе части уравнения:

$3x = 33$

4. Найдем $x$, разделив обе части на 3:

$x = \frac{33}{3}$

$x = 11$

Таким образом, мы нашли, что первоначально на первой полке было 11 книг.

Выполним проверку:

Если на первой полке было 11 книг, то на второй было $24 - 11 = 13$ книг.

После того, как с первой полки переставили 3 книги на вторую:

• на первой полке стало $11 - 3 = 8$ книг;
• на второй полке стало $13 + 3 = 16$ книг.

Проверим, стало ли на первой полке в 2 раза меньше книг, чем на второй: $16 \div 8 = 2$. Условие выполняется, значит, задача решена верно.

Ответ: 11 книг.

5.64. В двух карманах было 120 р. Когда из первого кармана переложили во второй 15 р., то во втором кармане стало в 3 раза больше денег, чем в первом. Сколько денег было в первом кармане первоначально?

Решение:

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это первоначальная сумма денег в первом кармане (в рублях), а $y$ — первоначальная сумма денег во втором кармане (в рублях).

Согласно условию, в двух карманах вместе было 120 рублей. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y = 120$

Далее, из первого кармана переложили во второй 15 рублей. После этого в первом кармане стало $(x - 15)$ рублей, а во втором — $(y + 15)$ рублей.

По условию, после перекладывания денег во втором кармане стало в 3 раза больше, чем в первом. Составим второе уравнение на основе этого условия:

$y + 15 = 3 \cdot (x - 15)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Для ее решения выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 120 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$(120 - x) + 15 = 3(x - 15)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала упростим левую часть:

$135 - x = 3(x - 15)$

Раскроем скобки в правой части:

$135 - x = 3x - 45$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$135 + 45 = 3x + x$

$180 = 4x$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{180}{4}$

$x = 45$

Следовательно, первоначально в первом кармане было 45 рублей.

Ответ: 45 рублей.

5.65. Саше было 6 лет, когда папе исполнилось 30 лет, а сейчас папа в 3 раза старше Саши. Сколько лет Саше сейчас?

Для решения задачи сначала найдем постоянную разницу в возрасте между папой и Сашей.

Когда Саше было 6 лет, папе было 30 лет. Разница в возрасте составляет:
$30 - 6 = 24$ года.

Это означает, что папа всегда на 24 года старше Саши.

Теперь обозначим текущий возраст Саши за $x$ лет. Согласно условию, сейчас папа в 3 раза старше Саши, значит, возраст папы сейчас можно выразить как $3x$ лет.

С другой стороны, мы знаем, что папа на 24 года старше Саши, поэтому его возраст также равен $x + 24$ лет.

Приравняем два выражения для возраста папы, чтобы найти возраст Саши:

$3x = x + 24$

Перенесем $x$ в левую часть уравнения:

$3x - x = 24$

$2x = 24$

Теперь найдем $x$:

$x = 24 / 2$

$x = 12$

Таким образом, сейчас Саше 12 лет.

Проверим: если Саше 12 лет, то папе $12 \times 3 = 36$ лет. Разница в возрасте: $36 - 12 = 24$ года. Это соответствует первоначальным данным.

Ответ: 12 лет.

5.66. На двух полках стояло 24 книги. Сначала с первой полки переставили $ \frac{1}{4} $ стоявших на ней книг на вторую полку. Потом со второй полки переставили $ \frac{1}{3} $ стоявших на ней на первую полку. В результате книг на полках стало поровну. Сколько книг стояло на первой полке первоначально?

Для решения этой задачи будем рассуждать с конца.

1. В самом конце на обеих полках книг стало поровну. Поскольку общее количество книг не менялось и равно 24, то на каждой полке оказалось по $24 \div 2 = 12$ книг.

2. Последним действием было перемещение книг со второй полки на первую. Со второй полки переставили $\frac{1}{3}$ стоявших на ней книг. Это означает, что 12 книг, которые остались на второй полке после этого действия, составляют $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ от количества книг, которое было на ней до этого. Найдем, сколько книг было на второй полке до этого перемещения:$12 \div \frac{2}{3} = 12 \times \frac{3}{2} = 18$ книг.

Соответственно, на первой полке в тот момент было $24 - 18 = 6$ книг.

3. Теперь рассмотрим первое действие в обратном порядке. До того, как на первой полке оказалось 6 книг, с нее переставили на вторую $\frac{1}{4}$ стоявших на ней книг. Следовательно, 6 книг, которые остались на первой полке, составляют $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ от первоначального количества книг на ней. Найдем, сколько книг было на первой полке изначально:$6 \div \frac{3}{4} = 6 \times \frac{4}{3} = 8$ книг.

Проверим решение с самого начала:

• Изначально на первой полке было 8 книг, а на второй $24 - 8 = 16$ книг.
• С первой полки переставили на вторую $\frac{1}{4}$ своих книг: $8 \times \frac{1}{4} = 2$ книги. На первой полке осталось $8 - 2 = 6$ книг, а на второй стало $16 + 2 = 18$ книг.
• Затем со второй полки переставили на первую $\frac{1}{3}$ своих книг: $18 \times \frac{1}{3} = 6$ книг. На второй полке осталось $18 - 6 = 12$ книг, а на первой стало $6 + 6 = 12$ книг.

В результате на полках стало по 12 книг, то есть поровну, что соответствует условию задачи.

Ответ: 8.

5.67 Мотоциклист сначала некоторое время ехал со скоростью $40 \, \text{км/ч}$, потом такое же время — со скоростью $50 \, \text{км/ч}$. Какова средняя скорость движения мотоциклиста на всём пути?

Средняя скорость движения определяется как отношение всего пройденного пути ко всему времени, затраченному на этот путь.

Формула для вычисления средней скорости ($v_{ср}$) выглядит так:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

где $S_{общ}$ — это общий пройденный путь, а $t_{общ}$ — общее время движения.

Пусть мотоциклист ехал на первом участке в течение времени $t$ со скоростью $v_1 = 40$ км/ч. Тогда расстояние, которое он проехал на этом участке, равно:

$S_1 = v_1 \cdot t = 40t$

По условию, на втором участке он ехал такое же время $t$ со скоростью $v_2 = 50$ км/ч. Расстояние, пройденное на втором участке, равно:

$S_2 = v_2 \cdot t = 50t$

Теперь найдем общий путь и общее время:

Общий путь: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 40t + 50t = 90t$

Общее время: $t_{общ} = t + t = 2t$

Подставим эти значения в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{90t}{2t}$

Время $t$ в числителе и знаменателе сокращается, и мы получаем:

$v_{ср} = \frac{90}{2} = 45$ км/ч.

Таким образом, средняя скорость движения мотоциклиста на всём пути составляет 45 км/ч. Это также является средним арифметическим двух скоростей, поскольку время движения с каждой из них было одинаковым.

Ответ: 45 км/ч.