Страница 274 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

5.84. В классе заболели несколько человек. Присутствующих на уроках было в 5 раз больше, чем отсутствующих. Когда заболели ещё 3 человека, то присутствующих на уроках стало в 3 раза больше, чем отсутствующих. Сколько всего учащихся в этом классе?

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнение.

Пусть $x$ — это первоначальное количество отсутствующих (заболевших) учащихся.

Согласно первому условию, присутствующих на уроках было в 5 раз больше, чем отсутствующих. Значит, количество присутствующих было равно $5x$.

Общее количество учащихся в классе является суммой присутствующих и отсутствующих, и оно не меняется: $x + 5x = 6x$.

Далее, заболели ещё 3 человека. Это означает, что:

• Количество отсутствующих увеличилось на 3 и стало равно $x + 3$.
• Количество присутствующих уменьшилось на 3 и стало равно $5x - 3$.

По второму условию, новое количество присутствующих стало в 3 раза больше, чем новое количество отсутствующих. На основе этого составим уравнение:

$5x - 3 = 3(x + 3)$

Теперь решим это уравнение:

1. Раскроем скобки в правой части:

$5x - 3 = 3x + 9$

2. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$5x - 3x = 9 + 3$

3. Упростим обе части уравнения:

$2x = 12$

4. Найдем $x$:

$x = 12 / 2$

$x = 6$

Итак, мы нашли, что первоначально отсутствовало 6 учащихся.

Вопрос задачи — сколько всего учащихся в этом классе. Мы уже определили, что общее количество учащихся равно $6x$. Подставим найденное значение $x=6$:

Всего учащихся = $6 * x = 6 * 6 = 36$.

Проверка:

• Изначально: 6 отсутствовало, $5 * 6 = 30$ присутствовало. Всего: $6 + 30 = 36$. Соотношение $30/6 = 5$. Верно.
• Потом: $6 + 3 = 9$ отсутствовало, $30 - 3 = 27$ присутствовало. Всего: $9 + 27 = 36$. Соотношение $27/9 = 3$. Верно.

Ответ: 36

5.85. В классе заболели несколько человек. Присутствующих на уроках было в 4 раза больше, чем отсутствующих. Когда после болезни вернулись 3 человека, то присутствующих на уроках стало в 9 раз больше, чем отсутствующих. Сколько всего учащихся в этом классе?

Для решения этой задачи составим уравнение.

Пусть $x$ — это количество отсутствующих учеников в классе изначально.

По условию, присутствующих учеников было в 4 раза больше, следовательно, их было $4x$.

Общее количество учеников в классе равно сумме присутствующих и отсутствующих, то есть: $x + 4x = 5x$.

Когда 3 ученика вернулись в класс, количество отсутствующих уменьшилось на 3 и стало равно $x - 3$.

Соответственно, количество присутствующих учеников увеличилось на 3 и стало равно $4x + 3$.

По новому условию, количество присутствующих стало в 9 раз больше, чем количество отсутствующих. Мы можем составить уравнение:

$4x + 3 = 9 \cdot (x - 3)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

Раскроем скобки в правой части:

$4x + 3 = 9x - 27$

Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую.

$3 + 27 = 9x - 4x$

$30 = 5x$

$x = \frac{30}{5}$

$x = 6$

Таким образом, изначально в классе отсутствовало 6 учеников.

Теперь найдем общее количество учащихся в классе, используя формулу, которую мы вывели вначале: $5x$.

Всего учеников = $5 \cdot 6 = 30$.

Проверка:

Изначально: 6 отсутствовало, $4 \cdot 6 = 24$ присутствовало. $24 / 6 = 4$. Верно.

После возвращения 3 человек: $6 - 3 = 3$ отсутствуют, $24 + 3 = 27$ присутствуют. $27 / 3 = 9$. Верно.

Ответ: 30.

5.86. Если из первого кармана переложить 2 р. во второй, то сумма в первом кармане составит $\frac{4}{7}$ от суммы во втором кармане. Если вместо этого из второго кармана переложить 4 р. в первый, то сумма во втором кармане составит $\frac{4}{7}$ от суммы в первом кармане. Сколько рублей было в каждом кармане первоначально?

Пусть $x$ рублей — первоначальная сумма в первом кармане, а $y$ рублей — первоначальная сумма во втором кармане.

Согласно первому условию, если из первого кармана переложить 2 рубля во второй, то в первом кармане станет $x - 2$ рубля, а во втором — $y + 2$ рубля. При этом сумма в первом кармане составит $\frac{4}{7}$ от суммы во втором. Составим первое уравнение:

$x - 2 = \frac{4}{7}(y + 2)$

Согласно второму условию, если из второго кармана переложить 4 рубля в первый, то во втором кармане станет $y - 4$ рубля, а в первом — $x + 4$ рубля. При этом сумма во втором кармане составит $\frac{4}{7}$ от суммы в первом. Составим второе уравнение:

$y - 4 = \frac{4}{7}(x + 4)$

Получим систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x - 2 = \frac{4}{7}(y + 2) \\ y - 4 = \frac{4}{7}(x + 4) \end{cases}$

Упростим каждое уравнение, умножив обе его части на 7, чтобы избавиться от дробей.

Первое уравнение:

$7(x - 2) = 4(y + 2)$

$7x - 14 = 4y + 8$

$7x - 4y = 22$

Второе уравнение:

$7(y - 4) = 4(x + 4)$

$7y - 28 = 4x + 16$

$-4x + 7y = 44$

Теперь решим полученную систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 7x - 4y = 22 \\ -4x + 7y = 44 \end{cases}$

Для решения системы воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 7:

$\begin{cases} 28x - 16y = 88 \\ -28x + 49y = 308 \end{cases}$

Сложим левые и правые части уравнений:

$(28x - 16y) + (-28x + 49y) = 88 + 308$

$33y = 396$

$y = \frac{396}{33}$

$y = 12$

Теперь подставим найденное значение $y = 12$ в первое упрощенное уравнение ($7x - 4y = 22$) для нахождения $x$:

$7x - 4(12) = 22$

$7x - 48 = 22$

$7x = 22 + 48$

$7x = 70$

$x = 10$

Таким образом, первоначально в первом кармане было 10 рублей, а во втором — 12 рублей.

Проверка:

1. Из первого кармана перекладываем 2 р. во второй. В первом становится $10-2=8$ р., во втором $12+2=14$ р. Проверяем отношение: $\frac{8}{14} = \frac{4}{7}$. Условие выполняется.

2. Из второго кармана перекладываем 4 р. в первый. Во втором становится $12-4=8$ р., в первом $10+4=14$ р. Проверяем отношение: $\frac{8}{14} = \frac{4}{7}$. Условие выполняется.

Ответ: первоначально в первом кармане было 10 рублей, а во втором кармане — 12 рублей.