Номер 5.86, страница 274 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

5.86. Если из первого кармана переложить 2 р. во второй, то сумма в первом кармане составит $\frac{4}{7}$ от суммы во втором кармане. Если вместо этого из второго кармана переложить 4 р. в первый, то сумма во втором кармане составит $\frac{4}{7}$ от суммы в первом кармане. Сколько рублей было в каждом кармане первоначально?

Пусть $x$ рублей — первоначальная сумма в первом кармане, а $y$ рублей — первоначальная сумма во втором кармане.

Согласно первому условию, если из первого кармана переложить 2 рубля во второй, то в первом кармане станет $x - 2$ рубля, а во втором — $y + 2$ рубля. При этом сумма в первом кармане составит $\frac{4}{7}$ от суммы во втором. Составим первое уравнение:

$x - 2 = \frac{4}{7}(y + 2)$

Согласно второму условию, если из второго кармана переложить 4 рубля в первый, то во втором кармане станет $y - 4$ рубля, а в первом — $x + 4$ рубля. При этом сумма во втором кармане составит $\frac{4}{7}$ от суммы в первом. Составим второе уравнение:

$y - 4 = \frac{4}{7}(x + 4)$

Получим систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x - 2 = \frac{4}{7}(y + 2) \\ y - 4 = \frac{4}{7}(x + 4) \end{cases}$

Упростим каждое уравнение, умножив обе его части на 7, чтобы избавиться от дробей.

Первое уравнение:

$7(x - 2) = 4(y + 2)$

$7x - 14 = 4y + 8$

$7x - 4y = 22$

Второе уравнение:

$7(y - 4) = 4(x + 4)$

$7y - 28 = 4x + 16$

$-4x + 7y = 44$

Теперь решим полученную систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 7x - 4y = 22 \\ -4x + 7y = 44 \end{cases}$

Для решения системы воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 7:

$\begin{cases} 28x - 16y = 88 \\ -28x + 49y = 308 \end{cases}$

Сложим левые и правые части уравнений:

$(28x - 16y) + (-28x + 49y) = 88 + 308$

$33y = 396$

$y = \frac{396}{33}$

$y = 12$

Теперь подставим найденное значение $y = 12$ в первое упрощенное уравнение ($7x - 4y = 22$) для нахождения $x$:

$7x - 4(12) = 22$

$7x - 48 = 22$

$7x = 22 + 48$

$7x = 70$

$x = 10$

Таким образом, первоначально в первом кармане было 10 рублей, а во втором — 12 рублей.

Проверка:

1. Из первого кармана перекладываем 2 р. во второй. В первом становится $10-2=8$ р., во втором $12+2=14$ р. Проверяем отношение: $\frac{8}{14} = \frac{4}{7}$. Условие выполняется.

2. Из второго кармана перекладываем 4 р. в первый. Во втором становится $12-4=8$ р., в первом $10+4=14$ р. Проверяем отношение: $\frac{8}{14} = \frac{4}{7}$. Условие выполняется.

Ответ: первоначально в первом кармане было 10 рублей, а во втором кармане — 12 рублей.