Страница 279 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

16. Обратите смешанную дробь в обыкновенную дробь:

а) $5\frac{3}{8}$;

б) $9\frac{2}{3}$;

в) $4\frac{3}{5}$;

г) $7\frac{7}{10}$;

д) $5\frac{4}{5}$;

е) $13\frac{19}{20}$;

ж) $8\frac{9}{10}$;

з) $7\frac{1}{100}$;

и) $16\frac{12}{17}$;

к) $17\frac{5}{6}$;

л) $19\frac{99}{100}$;

м) $7\frac{357}{1000}$.

Чтобы преобразовать смешанную дробь в обыкновенную (неправильную), необходимо умножить целую часть дроби на её знаменатель, затем к полученному результату прибавить числитель. Это значение станет новым числителем, а знаменатель останется без изменений. Общая формула выглядит так: $A \frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

а) $5 \frac{3}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{40 + 3}{8} = \frac{43}{8}$.
Ответ: $\frac{43}{8}$.

б) $9 \frac{2}{3} = \frac{9 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{27 + 2}{3} = \frac{29}{3}$.
Ответ: $\frac{29}{3}$.

в) $4 \frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{20 + 3}{5} = \frac{23}{5}$.
Ответ: $\frac{23}{5}$.

г) $7 \frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{70 + 7}{10} = \frac{77}{10}$.
Ответ: $\frac{77}{10}$.

д) $5 \frac{4}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{25 + 4}{5} = \frac{29}{5}$.
Ответ: $\frac{29}{5}$.

е) $13 \frac{19}{20} = \frac{13 \cdot 20 + 19}{20} = \frac{260 + 19}{20} = \frac{279}{20}$.
Ответ: $\frac{279}{20}$.

ж) $8 \frac{9}{10} = \frac{8 \cdot 10 + 9}{10} = \frac{80 + 9}{10} = \frac{89}{10}$.
Ответ: $\frac{89}{10}$.

з) $7 \frac{1}{100} = \frac{7 \cdot 100 + 1}{100} = \frac{700 + 1}{100} = \frac{701}{100}$.
Ответ: $\frac{701}{100}$.

и) $16 \frac{12}{17} = \frac{16 \cdot 17 + 12}{17} = \frac{272 + 12}{17} = \frac{284}{17}$.
Ответ: $\frac{284}{17}$.

к) $17 \frac{5}{6} = \frac{17 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{102 + 5}{6} = \frac{107}{6}$.
Ответ: $\frac{107}{6}$.

л) $19 \frac{99}{100} = \frac{19 \cdot 100 + 99}{100} = \frac{1900 + 99}{100} = \frac{1999}{100}$.
Ответ: $\frac{1999}{100}$.

м) $7 \frac{357}{1000} = \frac{7 \cdot 1000 + 357}{1000} = \frac{7000 + 357}{1000} = \frac{7357}{1000}$.
Ответ: $\frac{7357}{1000}$.

17. Сравните дроби:

а) $\frac{1}{\frac{2}{3}}$ и $\frac{1}{\frac{2}{3}}$;

б) $\frac{\frac{2}{3}}{4}$ и $\frac{4}{\frac{3}{2}}$;

в) $\frac{1}{\frac{2}{3}}$ и $\frac{4}{\frac{3}{2}}$.

а)

Чтобы сравнить данные многоэтажные дроби, необходимо сначала их упростить, то есть превратить в обыкновенные дроби. Многоэтажная дробь является, по сути, операцией деления.

Упростим первую дробь:
$ \frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} $

Упростим вторую дробь:
$ \frac{1}{\frac{2}{3}} = 1 \div \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2} $

Теперь сравним получившиеся дроби: $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{3}{2} $.
Для сравнения приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 2 это 6.
$ \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6} $
Теперь сравним $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{9}{6} $. Поскольку знаменатели равны, сравниваем числители: $ 1 < 9 $.
Следовательно, $ \frac{1}{6} < \frac{9}{6} $, а значит $ \frac{\frac{1}{2}}{3} < \frac{1}{\frac{2}{3}} $.

Ответ: $ \frac{\frac{1}{2}}{3} < \frac{1}{\frac{2}{3}} $

б)

Упростим каждую из дробей.

Первая дробь:
$ \frac{\frac{2}{3}}{4} = \frac{2}{3} \div 4 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $

Вторая дробь:
$ \frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \div \frac{3}{2} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 2}{3} = \frac{8}{3} $

Теперь сравним дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{8}{3} $.
Приведем их к общему знаменателю 6.
$ \frac{8}{3} = \frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{16}{6} $
Сравниваем $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{16}{6} $. Так как $ 1 < 16 $, то $ \frac{1}{6} < \frac{16}{6} $.
Значит, $ \frac{\frac{2}{3}}{4} < \frac{4}{\frac{3}{2}} $.

Ответ: $ \frac{\frac{2}{3}}{4} < \frac{4}{\frac{3}{2}} $

в)

Упростим обе дроби, как и в предыдущих пунктах.

Первая дробь:
$ \frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $

Вторая дробь:
$ \frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \div \frac{3}{2} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3} $

Теперь сравним дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{8}{3} $.
Приведем их к общему знаменателю 6.
$ \frac{8}{3} = \frac{8 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{16}{6} $
Сравниваем $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{16}{6} $. Так как $ 1 < 16 $, то $ \frac{1}{6} < \frac{16}{6} $.
Следовательно, $ \frac{\frac{1}{2}}{3} < \frac{4}{\frac{3}{2}} $.

Ответ: $ \frac{\frac{1}{2}}{3} < \frac{4}{\frac{3}{2}} $

Выполните действия (18–21):

18. а) $\frac{2}{9} + \frac{3}{7};$

б) $\frac{7}{8} + \frac{3}{4};$

в) $\frac{5}{24} + \frac{25}{36};$

г) $\frac{59}{60} + \frac{39}{40};$

д) $3\frac{1}{8} + 2\frac{1}{7};$

е) $5\frac{1}{6} + 1\frac{2}{3}.$

а)

Чтобы сложить дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{3}{7}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 7 — это их наименьшее общее кратное (НОК). Так как 9 и 7 — взаимно простые числа, их НОК равно их произведению.

1. Находим общий знаменатель: $НОК(9, 7) = 9 \times 7 = 63$.

2. Находим дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби — $63 / 9 = 7$, для второй — $63 / 7 = 9$.

3. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{2}{9} = \frac{2 \times 7}{9 \times 7} = \frac{14}{63}$

$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 9}{7 \times 9} = \frac{27}{63}$

4. Складываем полученные дроби:

$\frac{14}{63} + \frac{27}{63} = \frac{14 + 27}{63} = \frac{41}{63}$

Дробь $\frac{41}{63}$ является несократимой, так как 41 — простое число.

Ответ: $\frac{41}{63}$

б)

Чтобы сложить дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{3}{4}$, приведем их к общему знаменателю. $НОК(8, 4) = 8$.

1. Первая дробь $\frac{7}{8}$ уже имеет знаменатель 8.

2. Для второй дроби $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель равен $8 / 4 = 2$.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$

3. Складываем дроби:

$\frac{7}{8} + \frac{6}{8} = \frac{7 + 6}{8} = \frac{13}{8}$

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$13 \div 8 = 1$ (остаток 5). Значит, $\frac{13}{8} = 1\frac{5}{8}$.

Ответ: $1\frac{5}{8}$

в)

Чтобы сложить дроби $\frac{5}{24}$ и $\frac{25}{36}$, найдем их общий знаменатель. $НОК(24, 36)$.

1. Разложим знаменатели на простые множители:

$24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$

$36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$

2. $НОК(24, 36) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$.

3. Дополнительные множители: для первой дроби $72 / 24 = 3$, для второй $72 / 36 = 2$.

4. Приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

$\frac{5 \times 3}{24 \times 3} + \frac{25 \times 2}{36 \times 2} = \frac{15}{72} + \frac{50}{72} = \frac{15 + 50}{72} = \frac{65}{72}$

Дробь $\frac{65}{72}$ несократимая.

Ответ: $\frac{65}{72}$

г)

Сложим дроби $\frac{59}{60}$ и $\frac{39}{40}$. Найдем $НОК(60, 40)$.

1. Разложим на простые множители:

$60 = 6 \times 10 = 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$

$40 = 4 \times 10 = 2^2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$

2. $НОК(60, 40) = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.

3. Дополнительные множители: для первой дроби $120 / 60 = 2$, для второй $120 / 40 = 3$.

4. Складываем дроби:

$\frac{59 \times 2}{60 \times 2} + \frac{39 \times 3}{40 \times 3} = \frac{118}{120} + \frac{117}{120} = \frac{118 + 117}{120} = \frac{235}{120}$

5. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{235 \div 5}{120 \div 5} = \frac{47}{24}$

6. Преобразуем в смешанное число:

$47 \div 24 = 1$ (остаток 23). Значит, $\frac{47}{24} = 1\frac{23}{24}$.

Ответ: $1\frac{23}{24}$

д)

Чтобы сложить смешанные числа $3\frac{1}{8}$ и $2\frac{1}{7}$, сложим отдельно их целые и дробные части.

1. Складываем целые части: $3 + 2 = 5$.

2. Складываем дробные части: $\frac{1}{8} + \frac{1}{7}$.

Общий знаменатель для 8 и 7 равен $8 \times 7 = 56$.

$\frac{1 \times 7}{8 \times 7} + \frac{1 \times 8}{7 \times 8} = \frac{7}{56} + \frac{8}{56} = \frac{7 + 8}{56} = \frac{15}{56}$

3. Складываем результат сложения целых и дробных частей:

$5 + \frac{15}{56} = 5\frac{15}{56}$

Ответ: $5\frac{15}{56}$

е)

Складываем смешанные числа $5\frac{1}{6}$ и $1\frac{2}{3}$.

1. Складываем целые части: $5 + 1 = 6$.

2. Складываем дробные части: $\frac{1}{6} + \frac{2}{3}$.

Общий знаменатель для 6 и 3 равен 6.

Приводим дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 6: $\frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$.

$\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{1 + 4}{6} = \frac{5}{6}$

3. Складываем результаты:

$6 + \frac{5}{6} = 6\frac{5}{6}$

Ответ: $6\frac{5}{6}$

19. а) $\frac{3}{5} - \frac{1}{7}$;

б) $\frac{5}{3} - \frac{4}{9}$;

в) $\frac{24}{25} - \frac{7}{15}$;

г) $\frac{11}{80} - \frac{11}{90}$;

д) $5 - 2\frac{1}{13}$;

е) $8\frac{1}{7} - 3\frac{1}{9}$.

а) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 7 — это их произведение, так как они взаимно простые: $5 \times 7 = 35$.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, а второй — на 5:
$\frac{3}{5} - \frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} - \frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{21}{35} - \frac{5}{35} = \frac{21 - 5}{35} = \frac{16}{35}$.
Ответ: $\frac{16}{35}$

б) Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 9 — это 9.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3:
$\frac{5}{3} - \frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{4}{9} = \frac{15}{9} - \frac{4}{9} = \frac{15 - 4}{9} = \frac{11}{9}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{11}{9} = 1\frac{2}{9}$.
Ответ: $1\frac{2}{9}$

в) Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для чисел 25 и 15. Для этого разложим их на простые множители:
$25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
$15 = 3 \cdot 5$
$НОЗ(25, 15) = 3 \cdot 5^2 = 75$.
Приведем дроби к знаменателю 75:
$\frac{24}{25} - \frac{7}{15} = \frac{24 \cdot 3}{25 \cdot 3} - \frac{7 \cdot 5}{15 \cdot 5} = \frac{72}{75} - \frac{35}{75} = \frac{72 - 35}{75} = \frac{37}{75}$.
Ответ: $\frac{37}{75}$

г) Найдем наименьший общий знаменатель для 80 и 90.
$НОЗ(80, 90) = НОЗ(8 \cdot 10, 9 \cdot 10) = 10 \cdot НОЗ(8, 9) = 10 \cdot 72 = 720$.
Приведем дроби к знаменателю 720:
$\frac{11}{80} - \frac{11}{90} = \frac{11 \cdot 9}{80 \cdot 9} - \frac{11 \cdot 8}{90 \cdot 8} = \frac{99}{720} - \frac{88}{720} = \frac{99 - 88}{720} = \frac{11}{720}$.
Ответ: $\frac{11}{720}$

д) Чтобы вычесть из целого числа смешанное число, представим целое число 5 в виде смешанного числа. "Займем" единицу у 5 и представим ее в виде дроби со знаменателем 13:
$5 = 4 + 1 = 4\frac{13}{13}$.
Теперь выполним вычитание:
$5 - 2\frac{1}{13} = 4\frac{13}{13} - 2\frac{1}{13} = (4-2) + (\frac{13}{13} - \frac{1}{13}) = 2 + \frac{12}{13} = 2\frac{12}{13}$.
Ответ: $2\frac{12}{13}$

е) Для вычитания смешанных чисел сначала вычтем целые части, а затем дробные. Дробные части нужно привести к общему знаменателю.
Общий знаменатель для 7 и 9 равен $7 \times 9 = 63$.
$8\frac{1}{7} - 3\frac{1}{9} = 8\frac{1 \cdot 9}{7 \cdot 9} - 3\frac{1 \cdot 7}{9 \cdot 7} = 8\frac{9}{63} - 3\frac{7}{63}$.
Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{9}{63}$) больше дробной части вычитаемого ($\frac{7}{63}$), можно вычитать по частям:
$8 - 3 = 5$
$\frac{9}{63} - \frac{7}{63} = \frac{2}{63}$
Совместим результаты: $5\frac{2}{63}$.
Ответ: $5\frac{2}{63}$

20. a) $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7}$;

б) $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{27}$;

в) $\frac{15}{16} \cdot \frac{8}{9}$;

г) $5 \cdot \frac{2}{11}$;

д) $\frac{3}{5} \cdot 1\frac{2}{3}$;

е) $3\frac{1}{2} \cdot 1\frac{3}{7}$.

а) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели. В данном случае общих делителей у числителей и знаменателей нет, поэтому просто выполняем умножение:
$ \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35} $
Ответ: $ \frac{6}{35} $.

б) Перемножаем числители и знаменатели. Перед умножением можно сократить числитель первой дроби (3) и знаменатель второй дроби (27) на их общий делитель 3:
$ \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{27} = \frac{\cancel{3}^1}{5} \cdot \frac{2}{\cancel{27}^9} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 9} = \frac{2}{45} $
Ответ: $ \frac{2}{45} $.

в) Перед умножением сократим дроби. Числитель 15 и знаменатель 9 делятся на 3. Числитель 8 и знаменатель 16 делятся на 8:
$ \frac{15}{16} \cdot \frac{8}{9} = \frac{\cancel{15}^5}{\cancel{16}^2} \cdot \frac{\cancel{8}^1}{\cancel{9}^3} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} $
Ответ: $ \frac{5}{6} $.

г) Чтобы умножить целое число на дробь, нужно представить целое число в виде дроби со знаменателем 1 и затем перемножить дроби. Умножаем числитель на целое число, а знаменатель оставляем без изменений:
$ 5 \cdot \frac{2}{11} = \frac{5}{1} \cdot \frac{2}{11} = \frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 11} = \frac{10}{11} $
Ответ: $ \frac{10}{11} $.

д) Сначала преобразуем смешанное число $ 1\frac{2}{3} $ в неправильную дробь: $ 1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3} $. Затем выполним умножение, сократив дроби:
$ \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{\cancel{3}^1}{\cancel{5}^1} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{3}^1} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 1 $
Ответ: $ 1 $.

е) Преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби:
$ 3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2} $
$ 1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7} $
Теперь умножим полученные дроби, предварительно сократив их (7 и 7 сокращаются на 7; 10 и 2 сокращаются на 2):
$ \frac{7}{2} \cdot \frac{10}{7} = \frac{\cancel{7}^1}{\cancel{2}^1} \cdot \frac{\cancel{10}^5}{\cancel{7}^1} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 1} = 5 $
Ответ: $ 5 $.

21. а) $ \frac{4}{5} : \frac{3}{7}; $

б) $ \frac{45}{46} : \frac{15}{23}; $

в) $ 8 : \frac{5}{7}; $

г) $ \frac{3}{11} : 9; $

д) $ 8 \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{9}; $

е) $ 3 \frac{1}{2} : 2 \frac{1}{3} $

Из «Сборника арифметических задач и численных примеров»
В. А. Евтушевского.

а) Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно делимое (первую дробь) умножить на число, обратное делителю (второй дроби). Для этого мы "переворачиваем" вторую дробь и заменяем знак деления на знак умножения.

$ \frac{4}{5} : \frac{3}{7} = \frac{4}{5} \cdot \frac{7}{3} = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 3} = \frac{28}{15} $

Результат — неправильная дробь (числитель больше знаменателя). Выделим целую часть:

$ \frac{28}{15} = 1 \frac{13}{15} $

Ответ: $ 1 \frac{13}{15} $

б) Применяем то же правило деления дробей. Умножаем первую дробь на обратную ко второй.

$ \frac{45}{46} : \frac{15}{23} = \frac{45}{46} \cdot \frac{23}{15} $

Перед умножением можно сократить дроби для упрощения вычислений. Сокращаем 45 и 15 на 15 ($45 \div 15 = 3$, $15 \div 15 = 1$). Сокращаем 46 и 23 на 23 ($46 \div 23 = 2$, $23 \div 23 = 1$).

$ \frac{45^{3}}{46_{2}} \cdot \frac{23^{1}}{15_{1}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{3}{2} $

Выделим целую часть:

$ \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2} $

Ответ: $ 1 \frac{1}{2} $

в) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно представить целое число в виде дроби со знаменателем 1 и затем применить правило деления дробей.

$ 8 : \frac{5}{7} = \frac{8}{1} : \frac{5}{7} = \frac{8}{1} \cdot \frac{7}{5} = \frac{8 \cdot 7}{1 \cdot 5} = \frac{56}{5} $

Выделим целую часть:

$ \frac{56}{5} = 11 \frac{1}{5} $

Ответ: $ 11 \frac{1}{5} $

г) Чтобы разделить дробь на целое число, нужно представить целое число в виде дроби со знаменателем 1 и применить правило деления.

$ \frac{3}{11} : 9 = \frac{3}{11} : \frac{9}{1} = \frac{3}{11} \cdot \frac{1}{9} $

Сократим 3 и 9 на 3.

$ \frac{3^{1}}{11} \cdot \frac{1}{9_{3}} = \frac{1 \cdot 1}{11 \cdot 3} = \frac{1}{33} $

Ответ: $ \frac{1}{33} $

д) Для деления смешанного числа на дробь, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$ 8 \frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{25}{3} $

Теперь выполним деление:

$ \frac{25}{3} : \frac{5}{9} = \frac{25}{3} \cdot \frac{9}{5} $

Сократим 25 и 5 на 5, а 9 и 3 на 3.

$ \frac{25^{5}}{3_{1}} \cdot \frac{9^{3}}{5_{1}} = \frac{5}{1} \cdot \frac{3}{1} = 15 $

Ответ: 15

е) Для деления одного смешанного числа на другое, сначала преобразуем оба числа в неправильные дроби.

$ 3 \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2} $

$ 2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} $

Теперь выполним деление полученных дробей:

$ \frac{7}{2} : \frac{7}{3} = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{7} $

Сократим дроби на 7.

$ \frac{7^{1}}{2} \cdot \frac{3}{7_{1}} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} $

Выделим целую часть:

$ \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2} $

Ответ: $ 1 \frac{1}{2} $

Выполните действия (22–42):

22.$\frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - \left(\frac{53}{60} - \frac{37}{84}\right) - \left(\frac{3}{14} + \frac{12}{35}\right).$

Для решения данного выражения выполним действия по порядку: сначала в скобках, а затем остальные операции сложения и вычитания.

Исходное выражение:

$$ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - \left(\frac{53}{60} - \frac{37}{84}\right) - \left(\frac{3}{14} + \frac{12}{35}\right) $$

1. Выполним вычитание в первых скобках:

$$ \frac{53}{60} - \frac{37}{84} $$

Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 60 и 84.

Разложим числа на простые множители:
$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
$84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$
НОЗ(60, 84) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{53 \cdot 7}{60 \cdot 7} - \frac{37 \cdot 5}{84 \cdot 5} = \frac{371}{420} - \frac{185}{420} = \frac{371 - 185}{420} = \frac{186}{420} $$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 6:

$$ \frac{186 \div 6}{420 \div 6} = \frac{31}{70} $$

2. Выполним сложение во вторых скобках:

$$ \frac{3}{14} + \frac{12}{35} $$

Найдем НОЗ для 14 и 35.

Разложим числа на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$35 = 5 \cdot 7$
НОЗ(14, 35) = $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{3 \cdot 5}{14 \cdot 5} + \frac{12 \cdot 2}{35 \cdot 2} = \frac{15}{70} + \frac{24}{70} = \frac{15 + 24}{70} = \frac{39}{70} $$

3. Подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$$ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - \frac{31}{70} - \frac{39}{70} $$

Сгруппируем и вычтем последние две дроби:

$$ - \frac{31}{70} - \frac{39}{70} = -\left(\frac{31}{70} + \frac{39}{70}\right) = -\frac{31 + 39}{70} = -\frac{70}{70} = -1 $$

Теперь выражение принимает вид:

$$ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - 1 $$

4. Найдем сумму оставшихся дробей:

$$ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} $$

Найдем НОЗ для знаменателей 567, 42, 54 и 81.

Разложим числа на простые множители:
$567 = 7 \cdot 81 = 7 \cdot 3^4$
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$
$81 = 3^4$
НОЗ(567, 42, 54, 81) = $2 \cdot 3^4 \cdot 7 = 1134$.

Приведем дроби к общему знаменателю 1134:

$$ \frac{340 \cdot 2}{567 \cdot 2} + \frac{29 \cdot 27}{42 \cdot 27} + \frac{43 \cdot 21}{54 \cdot 21} + \frac{74 \cdot 14}{81 \cdot 14} = \frac{680}{1134} + \frac{783}{1134} + \frac{903}{1134} + \frac{1036}{1134} $$

Сложим числители:

$$ \frac{680 + 783 + 903 + 1036}{1134} = \frac{3402}{1134} $$

Разделим числитель на знаменатель:

$$ 3402 \div 1134 = 3 $$

5. Завершим вычисление:

Мы нашли, что сумма первых четырех дробей равна 3. Подставим это значение в упрощенное на шаге 3 выражение:

$$ 3 - 1 = 2 $$

Ответ: 2.

23. $ ( \frac{5}{6} - \frac{3}{8} ) : \frac{3}{4} - ( \frac{3}{8} + \frac{7}{20} ) : 1 \frac{9}{20} $

Для решения примера необходимо выполнить действия в определенном порядке: сначала действия в скобках, затем деление и в конце вычитание. Решим по действиям.

1) Выполним вычитание в первых скобках. Для этого приведем дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{8}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 8 — это 24.
$\frac{5}{6} - \frac{3}{8} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{20 - 9}{24} = \frac{11}{24}$.
Ответ: $\frac{11}{24}$.

2) Разделим результат первого действия на $\frac{3}{4}$. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь.
$\frac{11}{24} : \frac{3}{4} = \frac{11}{24} \cdot \frac{4}{3} = \frac{11 \cdot 4}{24 \cdot 3} = \frac{11 \cdot 1}{6 \cdot 3} = \frac{11}{18}$.
Ответ: $\frac{11}{18}$.

3) Выполним сложение во вторых скобках. Общий знаменатель для 8 и 20 — это 40.
$\frac{3}{8} + \frac{7}{20} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} + \frac{7 \cdot 2}{20 \cdot 2} = \frac{15}{40} + \frac{14}{40} = \frac{15 + 14}{40} = \frac{29}{40}$.
Ответ: $\frac{29}{40}$.

4) Разделим результат третьего действия на смешанное число $1\frac{9}{20}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{9}{20} = \frac{1 \cdot 20 + 9}{20} = \frac{29}{20}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{29}{40} : \frac{29}{20} = \frac{29}{40} \cdot \frac{20}{29} = \frac{29 \cdot 20}{40 \cdot 29} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

5) Выполним вычитание: из результата второго действия вычтем результат четвертого. Общий знаменатель равен 18.
$\frac{11}{18} - \frac{1}{2} = \frac{11}{18} - \frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{11}{18} - \frac{9}{18} = \frac{11 - 9}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.