Номер 18, страница 279 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Выполните действия (18–21):

18. а) $\frac{2}{9} + \frac{3}{7};$

б) $\frac{7}{8} + \frac{3}{4};$

в) $\frac{5}{24} + \frac{25}{36};$

г) $\frac{59}{60} + \frac{39}{40};$

д) $3\frac{1}{8} + 2\frac{1}{7};$

е) $5\frac{1}{6} + 1\frac{2}{3}.$

а)

Чтобы сложить дроби $\frac{2}{9}$ и $\frac{3}{7}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 7 — это их наименьшее общее кратное (НОК). Так как 9 и 7 — взаимно простые числа, их НОК равно их произведению.

1. Находим общий знаменатель: $НОК(9, 7) = 9 \times 7 = 63$.

2. Находим дополнительные множители для каждой дроби: для первой дроби — $63 / 9 = 7$, для второй — $63 / 7 = 9$.

3. Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{2}{9} = \frac{2 \times 7}{9 \times 7} = \frac{14}{63}$

$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 9}{7 \times 9} = \frac{27}{63}$

4. Складываем полученные дроби:

$\frac{14}{63} + \frac{27}{63} = \frac{14 + 27}{63} = \frac{41}{63}$

Дробь $\frac{41}{63}$ является несократимой, так как 41 — простое число.

Ответ: $\frac{41}{63}$

б)

Чтобы сложить дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{3}{4}$, приведем их к общему знаменателю. $НОК(8, 4) = 8$.

1. Первая дробь $\frac{7}{8}$ уже имеет знаменатель 8.

2. Для второй дроби $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель равен $8 / 4 = 2$.

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$

3. Складываем дроби:

$\frac{7}{8} + \frac{6}{8} = \frac{7 + 6}{8} = \frac{13}{8}$

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$13 \div 8 = 1$ (остаток 5). Значит, $\frac{13}{8} = 1\frac{5}{8}$.

Ответ: $1\frac{5}{8}$

в)

Чтобы сложить дроби $\frac{5}{24}$ и $\frac{25}{36}$, найдем их общий знаменатель. $НОК(24, 36)$.

1. Разложим знаменатели на простые множители:

$24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3$

$36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$

2. $НОК(24, 36) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$.

3. Дополнительные множители: для первой дроби $72 / 24 = 3$, для второй $72 / 36 = 2$.

4. Приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

$\frac{5 \times 3}{24 \times 3} + \frac{25 \times 2}{36 \times 2} = \frac{15}{72} + \frac{50}{72} = \frac{15 + 50}{72} = \frac{65}{72}$

Дробь $\frac{65}{72}$ несократимая.

Ответ: $\frac{65}{72}$

г)

Сложим дроби $\frac{59}{60}$ и $\frac{39}{40}$. Найдем $НОК(60, 40)$.

1. Разложим на простые множители:

$60 = 6 \times 10 = 2 \times 3 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$

$40 = 4 \times 10 = 2^2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$

2. $НОК(60, 40) = 2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.

3. Дополнительные множители: для первой дроби $120 / 60 = 2$, для второй $120 / 40 = 3$.

4. Складываем дроби:

$\frac{59 \times 2}{60 \times 2} + \frac{39 \times 3}{40 \times 3} = \frac{118}{120} + \frac{117}{120} = \frac{118 + 117}{120} = \frac{235}{120}$

5. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{235 \div 5}{120 \div 5} = \frac{47}{24}$

6. Преобразуем в смешанное число:

$47 \div 24 = 1$ (остаток 23). Значит, $\frac{47}{24} = 1\frac{23}{24}$.

Ответ: $1\frac{23}{24}$

д)

Чтобы сложить смешанные числа $3\frac{1}{8}$ и $2\frac{1}{7}$, сложим отдельно их целые и дробные части.

1. Складываем целые части: $3 + 2 = 5$.

2. Складываем дробные части: $\frac{1}{8} + \frac{1}{7}$.

Общий знаменатель для 8 и 7 равен $8 \times 7 = 56$.

$\frac{1 \times 7}{8 \times 7} + \frac{1 \times 8}{7 \times 8} = \frac{7}{56} + \frac{8}{56} = \frac{7 + 8}{56} = \frac{15}{56}$

3. Складываем результат сложения целых и дробных частей:

$5 + \frac{15}{56} = 5\frac{15}{56}$

Ответ: $5\frac{15}{56}$

е)

Складываем смешанные числа $5\frac{1}{6}$ и $1\frac{2}{3}$.

1. Складываем целые части: $5 + 1 = 6$.

2. Складываем дробные части: $\frac{1}{6} + \frac{2}{3}$.

Общий знаменатель для 6 и 3 равен 6.

Приводим дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 6: $\frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$.

$\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{1 + 4}{6} = \frac{5}{6}$

3. Складываем результаты:

$6 + \frac{5}{6} = 6\frac{5}{6}$

Ответ: $6\frac{5}{6}$