Номер 14, страница 278 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

14. Сократите дробь:

а) $\frac{48}{96}$;

б) $\frac{160}{240}$;

в) $\frac{64}{128}$;

г) $\frac{75}{225}$;

д) $\frac{80}{100}$;

е) $\frac{384}{640}$;

ж) $\frac{385}{440}$;

з) $\frac{204}{225}$;

и) $\frac{182}{208}$;

к) $\frac{304}{380}$;

л) $\frac{750}{1875}$;

м) $\frac{2688}{3456}$.

а) Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Заметим, что знаменатель 96 ровно в два раза больше числителя 48 ($96 = 2 \times 48$). Следовательно, дробь можно сократить на 48.
$ \frac{48}{96} = \frac{48 \div 48}{96 \div 48} = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

б) Числитель 160 и знаменатель 240 оканчиваются на 0, поэтому их можно сократить на 10, получив дробь $ \frac{16}{24} $. Наибольший общий делитель для 16 и 24 равен 8. Сократим дробь на 8.
$ \frac{160}{240} = \frac{16}{24} = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $.

в) Знаменатель 128 ровно в два раза больше числителя 64 ($128 = 2 \times 64$). Сократим дробь на 64.
$ \frac{64}{128} = \frac{64 \div 64}{128 \div 64} = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

г) Заметим, что знаменатель 225 в три раза больше числителя 75 ($225 = 3 \times 75$). Таким образом, мы можем сократить дробь на 75.
$ \frac{75}{225} = \frac{75 \div 75}{225 \div 75} = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

д) Наибольший общий делитель для 80 и 100 равен 20. Разделим числитель и знаменатель на 20.
$ \frac{80}{100} = \frac{80 \div 20}{100 \div 20} = \frac{4}{5} $.
Ответ: $ \frac{4}{5} $.

е) Для сокращения этой дроби будем последовательно делить числитель и знаменатель на их общие делители. Оба числа чётные, поэтому можно делить на 2.
$ \frac{384}{640} = \frac{192}{320} = \frac{96}{160} = \frac{48}{80} = \frac{24}{40} = \frac{12}{20} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} $.

ж) Числитель 385 оканчивается на 5, а знаменатель 440 на 0, значит оба числа делятся на 5.
$ \frac{385}{440} = \frac{385 \div 5}{440 \div 5} = \frac{77}{88} $.
Теперь видно, что 77 и 88 делятся на 11.
$ \frac{77}{88} = \frac{77 \div 11}{88 \div 11} = \frac{7}{8} $.
Ответ: $ \frac{7}{8} $.

з) Проверим делимость на 3 по сумме цифр. Для 204: $2+0+4=6$ (делится на 3). Для 225: $2+2+5=9$ (делится на 3). Сократим дробь на 3.
$ \frac{204}{225} = \frac{204 \div 3}{225 \div 3} = \frac{68}{75} $.
Разложим 68 и 75 на простые множители: $68 = 2^2 \times 17$ и $75 = 3 \times 5^2$. Общих множителей у них нет, значит дробь $ \frac{68}{75} $ несократимая.
Ответ: $ \frac{68}{75} $.

и) Оба числа, 182 и 208, чётные, сократим на 2.
$ \frac{182}{208} = \frac{182 \div 2}{208 \div 2} = \frac{91}{104} $.
Чтобы сократить дробь $ \frac{91}{104} $, найдем их общие делители. $91 = 7 \times 13$, $104 = 8 \times 13$. Общий делитель - 13.
$ \frac{91}{104} = \frac{91 \div 13}{104 \div 13} = \frac{7}{8} $.
Ответ: $ \frac{7}{8} $.

к) Числитель 304 и знаменатель 380 делятся на 4.
$ \frac{304}{380} = \frac{304 \div 4}{380 \div 4} = \frac{76}{95} $.
Теперь заметим, что $95 = 5 \times 19$. Проверим, делится ли 76 на 19: $76 = 4 \times 19$. Сократим дробь на 19.
$ \frac{76}{95} = \frac{76 \div 19}{95 \div 19} = \frac{4}{5} $.
Ответ: $ \frac{4}{5} $.

л) Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 750 и 1875 разложим их на простые множители.
$ 750 = 75 \times 10 = (3 \times 5^2) \times (2 \times 5) = 2 \times 3 \times 5^3 $.
$ 1875 = 3 \times 625 = 3 \times 5^4 $.
НОД(750, 1875) = $ 3 \times 5^3 = 3 \times 125 = 375 $.
Сократим дробь на 375.
$ \frac{750}{1875} = \frac{750 \div 375}{1875 \div 375} = \frac{2}{5} $.
Ответ: $ \frac{2}{5} $.

м) Для нахождения НОД больших чисел 2688 и 3456 воспользуемся алгоритмом Евклида.
$3456 = 1 \times 2688 + 768$
$2688 = 3 \times 768 + 384$
$768 = 2 \times 384 + 0$
НОД(2688, 3456) = 384.
Теперь разделим числитель и знаменатель на 384.
$ \frac{2688}{3456} = \frac{2688 \div 384}{3456 \div 384} = \frac{7}{9} $.
Ответ: $ \frac{7}{9} $.