Страница 278 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

9. a) $\frac{48 \cdot 35 + 20}{45 \cdot 37 + 35} - \frac{731 : 17 + 2109 : 37}{3942 : 54 + 1755 : 65}$;

б) $\frac{53 \cdot 35 - 221}{646 : 17} - \frac{46 \cdot 64 - 1306}{702 : 18} + \frac{16807 : 7}{343 \cdot 7}$

а) $ \frac{48 \cdot 35 + 20}{45 \cdot 37 + 35} - \frac{731:17 + 2109:37}{3942:54 + 1755:65} $

Решим по действиям. Сначала вычислим значение первой дроби.

1. Вычислим числитель первой дроби: $48 \cdot 35 + 20 = 1680 + 20 = 1700$.

2. Вычислим знаменатель первой дроби: $45 \cdot 37 + 35 = 1665 + 35 = 1700$.

3. Значение первой дроби: $\frac{1700}{1700} = 1$.

Теперь вычислим значение второй дроби.

4. Вычислим числитель второй дроби: $731:17 + 2109:37 = 43 + 57 = 100$.

5. Вычислим знаменатель второй дроби: $3942:54 + 1755:65 = 73 + 27 = 100$.

6. Значение второй дроби: $\frac{100}{100} = 1$.

Теперь выполним вычитание.

7. $1 - 1 = 0$.

Ответ: 0.

б) $ \frac{53 \cdot 35 - 221}{646:17} - \frac{46 \cdot 64 - 1306}{702:18} + \frac{16807:7}{343 \cdot 7} $

Решим по действиям. Сначала вычислим значение первой дроби.

1. Вычислим числитель первой дроби: $53 \cdot 35 - 221 = 1855 - 221 = 1634$.

2. Вычислим знаменатель первой дроби: $646:17 = 38$.

3. Значение первой дроби: $\frac{1634}{38} = 43$.

Теперь вычислим значение второй дроби.

4. Вычислим числитель второй дроби: $46 \cdot 64 - 1306 = 2944 - 1306 = 1638$.

5. Вычислим знаменатель второй дроби: $702:18 = 39$.

6. Значение второй дроби: $\frac{1638}{39} = 42$.

Теперь вычислим значение третьей дроби.

7. Вычислим числитель третьей дроби: $16807:7 = 2401$.

8. Вычислим знаменатель третьей дроби: $343 \cdot 7 = 2401$.

9. Значение третьей дроби: $\frac{2401}{2401} = 1$.

Теперь выполним оставшиеся действия.

10. $43 - 42 + 1 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.

10. Из чисел

325, 729, 256, 428, 720, 1233

выберите числа, кратные:

а) 2;

б) 3;

в) 5;

г) 9;

д) 10.

Чтобы выбрать числа, кратные заданным, нужно использовать признаки делимости.

а) 2:

Число кратно 2, если оно заканчивается на чётную цифру (0, 2, 4, 6, 8). Проверим данные числа:

• 325 – последняя цифра 5 (нечётная).
• 729 – последняя цифра 9 (нечётная).
• 256 – последняя цифра 6 (чётная).
• 428 – последняя цифра 8 (чётная).
• 720 – последняя цифра 0 (чётная).
• 1233 – последняя цифра 3 (нечётная).

Ответ: 256, 428, 720.

б) 3:

Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3. Проверим сумму цифр для каждого числа:

• 325: $3+2+5=10$. 10 не делится на 3.
• 729: $7+2+9=18$. Так как $18 \div 3 = 6$, число кратно 3.
• 256: $2+5+6=13$. 13 не делится на 3.
• 428: $4+2+8=14$. 14 не делится на 3.
• 720: $7+2+0=9$. Так как $9 \div 3 = 3$, число кратно 3.
• 1233: $1+2+3+3=9$. Так как $9 \div 3 = 3$, число кратно 3.

Ответ: 729, 720, 1233.

в) 5:

Число кратно 5, если оно заканчивается на 0 или 5. Проверим данные числа:

• 325 – последняя цифра 5.
• 729 – последняя цифра 9.
• 256 – последняя цифра 6.
• 428 – последняя цифра 8.
• 720 – последняя цифра 0.
• 1233 – последняя цифра 3.

Ответ: 325, 720.

г) 9:

Число кратно 9, если сумма его цифр делится на 9. Проверим сумму цифр для каждого числа:

• 325: $3+2+5=10$. 10 не делится на 9.
• 729: $7+2+9=18$. Так как $18 \div 9 = 2$, число кратно 9.
• 256: $2+5+6=13$. 13 не делится на 9.
• 428: $4+2+8=14$. 14 не делится на 9.
• 720: $7+2+0=9$. Так как $9 \div 9 = 1$, число кратно 9.
• 1233: $1+2+3+3=9$. Так как $9 \div 9 = 1$, число кратно 9.

Ответ: 729, 720, 1233.

д) 10:

Число кратно 10, если оно заканчивается на 0. Проверим данные числа:

• 325 – последняя цифра 5.
• 729 – последняя цифра 9.
• 256 – последняя цифра 6.
• 428 – последняя цифра 8.
• 720 – последняя цифра 0.
• 1233 – последняя цифра 3.

Ответ: 720.

11. Делится ли сумма:

a) $3295 + 4890$ на 5;

б) $324 + 891$ на 9;

в) $3630 + 336 \cdot 49$ на 3;

г) $17 \cdot 254 + 19 \cdot 132$ на 2?

а) 3295 + 4890 на 5
Для того чтобы определить, делится ли сумма на 5, можно воспользоваться свойством делимости: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.
Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
1. Проверим первое слагаемое, 3295. Его последняя цифра – 5, следовательно, число 3295 делится на 5.
2. Проверим второе слагаемое, 4890. Его последняя цифра – 0, следовательно, число 4890 делится на 5.
Поскольку оба слагаемых делятся на 5, их сумма также делится на 5.
Ответ: да, делится.

б) 324 + 891 на 9
Воспользуемся свойством делимости суммы и признаком делимости на 9.
Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
1. Проверим первое слагаемое, 324. Сумма его цифр: $3 + 2 + 4 = 9$. Так как 9 делится на 9, то и число 324 делится на 9.
2. Проверим второе слагаемое, 891. Сумма его цифр: $8 + 9 + 1 = 18$. Так как 18 делится на 9 ($18 / 9 = 2$), то и число 891 делится на 9.
Поскольку оба слагаемых делятся на 9, их сумма также делится на 9.
Ответ: да, делится.

в) 3630 + 336 ⋅ 49 на 3
Чтобы определить, делится ли данное выражение на 3, проверим делимость на 3 каждого слагаемого: 3630 и $336 \cdot 49$.
Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
1. Проверим первое слагаемое, 3630. Сумма его цифр: $3 + 6 + 3 + 0 = 12$. Так как 12 делится на 3 ($12 / 3 = 4$), то число 3630 делится на 3.
2. Проверим второе слагаемое, $336 \cdot 49$. Чтобы произведение делилось на число, достаточно, чтобы хотя бы один из множителей делился на это число. Проверим множитель 336. Сумма его цифр: $3 + 3 + 6 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и число 336 делится на 3. Следовательно, все произведение $336 \cdot 49$ делится на 3.
Поскольку оба слагаемых ($3630$ и $336 \cdot 49$) делятся на 3, их сумма также делится на 3.
Ответ: да, делится.

г) 17 ⋅ 254 + 19 ⋅ 132 на 2
Чтобы определить, делится ли данное выражение на 2, нужно определить, является ли результат четным числом.
Признак делимости на 2: число делится на 2, если оно четное (оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8).
Рассмотрим каждое слагаемое в сумме.
1. Первое слагаемое: $17 \cdot 254$. Число 17 – нечетное, а 254 – четное. Произведение нечетного и четного чисел всегда является четным числом. Значит, $17 \cdot 254$ – четное.
2. Второе слагаемое: $19 \cdot 132$. Число 19 – нечетное, а 132 – четное. Произведение нечетного и четного чисел всегда является четным числом. Значит, $19 \cdot 132$ – четное.
Сумма двух четных чисел ($17 \cdot 254$ и $19 \cdot 132$) всегда является четным числом. А любое четное число делится на 2.
Ответ: да, делится.

12. Делится ли разность:

а) $3210 - 1230$ на 3;

б) $7470 - 333$ на 9;

в) $14900 \cdot 17 - 2586$ на 2;

г) $4258 \cdot 125 - 350 \cdot 729$ на 10?

а) 3210 – 1230 на 3;

Для того чтобы определить, делится ли разность на 3, можно использовать свойство делимости: если уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то и их разность делится на это число.

Проверим, делится ли каждое число на 3, используя признак делимости на 3 (число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3).

1. Для числа 3210: сумма цифр равна $3 + 2 + 1 + 0 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и 3210 делится на 3.

2. Для числа 1230: сумма цифр равна $1 + 2 + 3 + 0 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и 1230 делится на 3.

Поскольку и уменьшаемое (3210), и вычитаемое (1230) делятся на 3, их разность также делится на 3.

Ответ: да, делится.

б) 7470 – 333 на 9;

Воспользуемся свойством делимости разности. Проверим, делятся ли уменьшаемое и вычитаемое на 9.

Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

1. Для числа 7470: сумма цифр равна $7 + 4 + 7 + 0 = 18$. Так как 18 делится на 9 ($18 \div 9 = 2$), то и 7470 делится на 9.

2. Для числа 333: сумма цифр равна $3 + 3 + 3 = 9$. Так как 9 делится на 9, то и 333 делится на 9.

Так как оба числа, 7470 и 333, делятся на 9, их разность также будет делиться на 9.

Ответ: да, делится.

в) 14 900 · 17 – 2586 на 2;

Чтобы определить, делится ли разность на 2, нужно проверить четность уменьшаемого и вычитаемого. Число делится на 2, если оно четное (оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8).

1. Рассмотрим уменьшаемое $14 900 \cdot 17$.

Число 14 900 является четным, так как оканчивается на 0. Произведение четного числа на любое целое число всегда является четным. Следовательно, $14 900 \cdot 17$ — четное число.

2. Рассмотрим вычитаемое 2586.

Число 2586 является четным, так как оканчивается на 6.

Разность двух четных чисел всегда является четным числом. Так как и уменьшаемое, и вычитаемое — четные числа, их разность будет четной, а значит, будет делиться на 2.

Ответ: да, делится.

г) 4258 · 125 – 350 · 729 на 10?

Чтобы определить, делится ли разность на 10, нужно проверить, оканчиваются ли уменьшаемое и вычитаемое на 0. Число делится на 10, если его последняя цифра — 0.

1. Рассмотрим уменьшаемое $4258 \cdot 125$.

Последняя цифра произведения определяется последними цифрами множителей. У числа 4258 последняя цифра 8, у числа 125 — 5. Произведение последних цифр: $8 \cdot 5 = 40$. Значит, последняя цифра произведения $4258 \cdot 125$ будет 0.

2. Рассмотрим вычитаемое $350 \cdot 729$.

Один из множителей, 350, оканчивается на 0. Произведение любого целого числа на число, оканчивающееся на 0, также будет оканчиваться на 0.

Оба члена выражения, $4258 \cdot 125$ и $350 \cdot 729$, оканчиваются на 0. Разность двух чисел, оканчивающихся на 0, также будет оканчиваться на 0. Следовательно, вся разность делится на 10.

Ответ: да, делится.

ДОКАЗЫВАЕМ

13. Докажите, что выражение:

а) $45 \cdot 38 + 45 \cdot 11$ делится на 49;

б) $48 \cdot 56 - 48 \cdot 39$ делится на 17;

в) $725 \cdot 47 - 47 \cdot 701$ делится на 12;

г) $289 \cdot 376 - 289 \cdot 327$ делится на 7;

д) $17 \cdot 386 - 17 \cdot 254 + 17 \cdot 138$ делится на 10.

а) Чтобы доказать, что выражение $45 \cdot 38 + 45 \cdot 11$ делится на 49, воспользуемся распределительным свойством умножения. Вынесем общий множитель 45 за скобки:

$45 \cdot 38 + 45 \cdot 11 = 45 \cdot (38 + 11)$

Вычислим сумму в скобках:

$38 + 11 = 49$

Тогда исходное выражение равно:

$45 \cdot 49$

Поскольку один из множителей (49) делится на 49, то и все произведение делится на 49, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

б) Чтобы доказать, что выражение $48 \cdot 56 - 48 \cdot 39$ делится на 17, вынесем общий множитель 48 за скобки:

$48 \cdot 56 - 48 \cdot 39 = 48 \cdot (56 - 39)$

Вычислим разность в скобках:

$56 - 39 = 17$

Тогда исходное выражение равно:

$48 \cdot 17$

Так как один из множителей (17) делится на 17, то и все произведение делится на 17, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

в) Чтобы доказать, что выражение $725 \cdot 47 - 47 \cdot 701$ делится на 12, вынесем общий множитель 47 за скобки:

$725 \cdot 47 - 47 \cdot 701 = 47 \cdot (725 - 701)$

Вычислим разность в скобках:

$725 - 701 = 24$

Тогда исходное выражение равно:

$47 \cdot 24$

Число 24 делится на 12, так как $24 = 2 \cdot 12$. Следовательно, произведение $47 \cdot 24$ также делится на 12, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

г) Чтобы доказать, что выражение $289 \cdot 376 - 289 \cdot 327$ делится на 7, вынесем общий множитель 289 за скобки:

$289 \cdot 376 - 289 \cdot 327 = 289 \cdot (376 - 327)$

Вычислим разность в скобках:

$376 - 327 = 49$

Тогда исходное выражение равно:

$289 \cdot 49$

Число 49 делится на 7, так как $49 = 7 \cdot 7$. Следовательно, произведение $289 \cdot 49$ также делится на 7, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

д) Чтобы доказать, что выражение $17 \cdot 386 - 17 \cdot 254 + 17 \cdot 138$ делится на 10, вынесем общий множитель 17 за скобки:

$17 \cdot 386 - 17 \cdot 254 + 17 \cdot 138 = 17 \cdot (386 - 254 + 138)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$386 - 254 + 138 = 132 + 138 = 270$

Тогда исходное выражение равно:

$17 \cdot 270$

Число 270 оканчивается на 0, значит, оно делится на 10 ($270 = 27 \cdot 10$). Следовательно, произведение $17 \cdot 270$ также делится на 10, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

14. Сократите дробь:

а) $\frac{48}{96}$;

б) $\frac{160}{240}$;

в) $\frac{64}{128}$;

г) $\frac{75}{225}$;

д) $\frac{80}{100}$;

е) $\frac{384}{640}$;

ж) $\frac{385}{440}$;

з) $\frac{204}{225}$;

и) $\frac{182}{208}$;

к) $\frac{304}{380}$;

л) $\frac{750}{1875}$;

м) $\frac{2688}{3456}$.

а) Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Заметим, что знаменатель 96 ровно в два раза больше числителя 48 ($96 = 2 \times 48$). Следовательно, дробь можно сократить на 48.
$ \frac{48}{96} = \frac{48 \div 48}{96 \div 48} = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

б) Числитель 160 и знаменатель 240 оканчиваются на 0, поэтому их можно сократить на 10, получив дробь $ \frac{16}{24} $. Наибольший общий делитель для 16 и 24 равен 8. Сократим дробь на 8.
$ \frac{160}{240} = \frac{16}{24} = \frac{16 \div 8}{24 \div 8} = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $.

в) Знаменатель 128 ровно в два раза больше числителя 64 ($128 = 2 \times 64$). Сократим дробь на 64.
$ \frac{64}{128} = \frac{64 \div 64}{128 \div 64} = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

г) Заметим, что знаменатель 225 в три раза больше числителя 75 ($225 = 3 \times 75$). Таким образом, мы можем сократить дробь на 75.
$ \frac{75}{225} = \frac{75 \div 75}{225 \div 75} = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

д) Наибольший общий делитель для 80 и 100 равен 20. Разделим числитель и знаменатель на 20.
$ \frac{80}{100} = \frac{80 \div 20}{100 \div 20} = \frac{4}{5} $.
Ответ: $ \frac{4}{5} $.

е) Для сокращения этой дроби будем последовательно делить числитель и знаменатель на их общие делители. Оба числа чётные, поэтому можно делить на 2.
$ \frac{384}{640} = \frac{192}{320} = \frac{96}{160} = \frac{48}{80} = \frac{24}{40} = \frac{12}{20} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} $.

ж) Числитель 385 оканчивается на 5, а знаменатель 440 на 0, значит оба числа делятся на 5.
$ \frac{385}{440} = \frac{385 \div 5}{440 \div 5} = \frac{77}{88} $.
Теперь видно, что 77 и 88 делятся на 11.
$ \frac{77}{88} = \frac{77 \div 11}{88 \div 11} = \frac{7}{8} $.
Ответ: $ \frac{7}{8} $.

з) Проверим делимость на 3 по сумме цифр. Для 204: $2+0+4=6$ (делится на 3). Для 225: $2+2+5=9$ (делится на 3). Сократим дробь на 3.
$ \frac{204}{225} = \frac{204 \div 3}{225 \div 3} = \frac{68}{75} $.
Разложим 68 и 75 на простые множители: $68 = 2^2 \times 17$ и $75 = 3 \times 5^2$. Общих множителей у них нет, значит дробь $ \frac{68}{75} $ несократимая.
Ответ: $ \frac{68}{75} $.

и) Оба числа, 182 и 208, чётные, сократим на 2.
$ \frac{182}{208} = \frac{182 \div 2}{208 \div 2} = \frac{91}{104} $.
Чтобы сократить дробь $ \frac{91}{104} $, найдем их общие делители. $91 = 7 \times 13$, $104 = 8 \times 13$. Общий делитель - 13.
$ \frac{91}{104} = \frac{91 \div 13}{104 \div 13} = \frac{7}{8} $.
Ответ: $ \frac{7}{8} $.

к) Числитель 304 и знаменатель 380 делятся на 4.
$ \frac{304}{380} = \frac{304 \div 4}{380 \div 4} = \frac{76}{95} $.
Теперь заметим, что $95 = 5 \times 19$. Проверим, делится ли 76 на 19: $76 = 4 \times 19$. Сократим дробь на 19.
$ \frac{76}{95} = \frac{76 \div 19}{95 \div 19} = \frac{4}{5} $.
Ответ: $ \frac{4}{5} $.

л) Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел 750 и 1875 разложим их на простые множители.
$ 750 = 75 \times 10 = (3 \times 5^2) \times (2 \times 5) = 2 \times 3 \times 5^3 $.
$ 1875 = 3 \times 625 = 3 \times 5^4 $.
НОД(750, 1875) = $ 3 \times 5^3 = 3 \times 125 = 375 $.
Сократим дробь на 375.
$ \frac{750}{1875} = \frac{750 \div 375}{1875 \div 375} = \frac{2}{5} $.
Ответ: $ \frac{2}{5} $.

м) Для нахождения НОД больших чисел 2688 и 3456 воспользуемся алгоритмом Евклида.
$3456 = 1 \times 2688 + 768$
$2688 = 3 \times 768 + 384$
$768 = 2 \times 384 + 0$
НОД(2688, 3456) = 384.
Теперь разделим числитель и знаменатель на 384.
$ \frac{2688}{3456} = \frac{2688 \div 384}{3456 \div 384} = \frac{7}{9} $.
Ответ: $ \frac{7}{9} $.

15. Найдите целую часть дроби:

а) $ \frac{15}{3} $;

б) $ \frac{75}{5} $;

в) $ \frac{89}{16} $;

г) $ \frac{98}{13} $;

д) $ \frac{124}{11} $;

е) $ \frac{123}{15} $;

ж) $ \frac{404}{45} $;

з) $ \frac{459}{45} $;

и) $ \frac{459}{54} $;

к) $ \frac{363}{22} $;

л) $ \frac{125}{19} $;

м) $ \frac{856}{41} $.