Страница 284 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

57. Древнекитайская задача. В клетке сидят фазаны и кролики. У них вместе 35 голов и 94 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?

Для решения этой задачи введем переменные:

• Пусть $x$ — количество фазанов в клетке.
• Пусть $y$ — количество кроликов в клетке.

Поскольку у каждого животного одна голова, а всего голов 35, можно составить первое уравнение:

$x + y = 35$

У фазана 2 ноги, а у кролика — 4. Всего ног 94, поэтому можно составить второе уравнение:

$2x + 4y = 94$

Получаем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$:

$x = 35 - y$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(35 - y) + 4y = 94$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$70 - 2y + 4y = 94$

$70 + 2y = 94$

$2y = 94 - 70$

$2y = 24$

$y = 12$

Таким образом, в клетке 12 кроликов. Теперь найдем количество фазанов, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 35 - 12$

$x = 23$

Следовательно, в клетке 23 фазана.

Проверим полученные результаты:

• Всего голов: $23$ (фазаны) $+ 12$ (кролики) $= 35$.
• Всего ног: $2 \times 23$ (ноги фазанов) $+ 4 \times 12$ (ноги кроликов) $= 46 + 48 = 94$.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: в клетке 23 фазана и 12 кроликов.

58. У юного биолога в аквариуме жили жуки и пауки. Всего их было 5, и у них было 34 ноги. Сколько жуков было в аквариуме?

Для решения этой задачи необходимо знать, сколько ног у жука и у паука. У жука, как у насекомого, 6 ног. У паука, как у представителя паукообразных, 8 ног.

Пусть $x$ – это количество жуков, а $y$ – количество пауков.

Исходя из условия, что всего в аквариуме было 5 животных, можно составить первое уравнение:

$x + y = 5$

Также известно, что общее количество ног у всех животных равно 34. У $x$ жуков будет $6x$ ног, а у $y$ пауков – $8y$ ног. Составим второе уравнение:

$6x + 8y = 34$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 5 \\ 6x + 8y = 34 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 5 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$6x + 8(5 - x) = 34$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Сначала раскроем скобки:

$6x + 40 - 8x = 34$

Приведем подобные слагаемые:

$40 - 2x = 34$

Перенесем 40 в правую часть уравнения:

$-2x = 34 - 40$

$-2x = -6$

Найдем $x$:

$x = \frac{-6}{-2}$

$x = 3$

Мы нашли, что количество жуков в аквариуме равно 3. Для проверки найдем количество пауков:

$y = 5 - 3 = 2$

Проверим общее количество ног: $3 \text{ жука} \times 6 \text{ ног} + 2 \text{ паука} \times 8 \text{ ног} = 18 + 16 = 34 \text{ ноги}$. Все сходится с условием задачи.

Ответ: в аквариуме было 3 жука.

59. а) Крестьянин хочет купить лошадь и для этого продаёт рожь. Если он продаст 15 ц ржи, то ему не хватит для покупки лошади 80 р., а если он продаст 20 ц ржи, то после покупки лошади у него останется 110 р. Сколько стоит лошадь?

б) Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек, то не хватило полтора рубля с гривною. Сколько денег было у человека?

а)

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $L$ — стоимость лошади в рублях, а $R$ — цена одного центнера (ц) ржи в рублях.

Из первого условия известно, что если крестьянин продаст 15 ц ржи, ему не хватит 80 рублей на покупку лошади. Это можно записать в виде уравнения:

$15 \cdot R = L - 80$

Отсюда стоимость лошади можно выразить как:

$L = 15 \cdot R + 80$

Из второго условия известно, что если он продаст 20 ц ржи, то после покупки лошади у него останется 110 рублей. Это можно записать в виде второго уравнения:

$20 \cdot R = L + 110$

Отсюда стоимость лошади также можно выразить как:

$L = 20 \cdot R - 110$

Теперь у нас есть два выражения для стоимости лошади $L$. Приравняем их, чтобы найти цену ржи $R$:

$15 \cdot R + 80 = 20 \cdot R - 110$

Перенесем слагаемые с $R$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$80 + 110 = 20 \cdot R - 15 \cdot R$

$190 = 5 \cdot R$

$R = \frac{190}{5} = 38$

Итак, цена одного центнера ржи составляет 38 рублей. Теперь подставим это значение в любое из уравнений для $L$, чтобы найти стоимость лошади. Воспользуемся первым:

$L = 15 \cdot 38 + 80$

$L = 570 + 80$

$L = 650$

Проверим по второму уравнению:

$L = 20 \cdot 38 - 110 = 760 - 110 = 650$

Оба результата совпадают. Таким образом, стоимость лошади составляет 650 рублей.

Ответ: 650 р.

б)

Для решения этой задачи необходимо сначала разобраться в старинных денежных единицах и перевести все в одну, например, в копейки. В те времена использовались следующие соотношения:

• 1 рубль = 100 копеек
• 1 гривна (гривенник) = 10 копеек
• 1 алтын = 3 копейки

Теперь переведем остаток и нехватку денег в копейки:

Остаток: 20 алтын. $20 \cdot 3 = 60$ копеек.

Нехватка: полтора рубля с гривною. Полтора рубля — это 1 рубль 50 копеек, или 150 копеек. Гривна — это 10 копеек. Итого нехватка составляет $150 + 10 = 160$ копеек.

Теперь введем переменные. Пусть $M$ — количество денег, которое было у человека (в копейках), а $B$ — цена одной бочки масла (в копейках).

Из первого условия (покупка 8 бочек) следует, что имеющаяся сумма денег равна стоимости 8 бочек плюс остаток:

$M = 8 \cdot B + 60$

Из второго условия (попытка купить 9 бочек) следует, что имеющаяся сумма денег равна стоимости 9 бочек минус нехватка:

$M = 9 \cdot B - 160$

Приравняем два выражения для $M$:

$8 \cdot B + 60 = 9 \cdot B - 160$

Решим уравнение относительно $B$:

$60 + 160 = 9 \cdot B - 8 \cdot B$

$B = 220$

Цена одной бочки масла — 220 копеек. Теперь найдем, сколько денег было у человека, подставив значение $B$ в любое из уравнений для $M$:

$M = 8 \cdot 220 + 60 = 1760 + 60 = 1820$

У человека было 1820 копеек. Переведем эту сумму в рубли и копейки: 18 рублей 20 копеек.

Ответ: 18 рублей 20 копеек.

60. а) Старинная задача. За 1000 р. я купил 44 коровы — по 18 р. и по 26 р. Сколько тех и других?

б) Из рассказа А. П. Чехова «Репетитор». Купец купил 138 аршин чёрного и синего сукна за 540 р. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а чёрное — 3 р.

а)

Это задача на составление системы линейных уравнений. Обозначим количество коров по 18 р. как $x$, а количество коров по 26 р. как $y$.
Исходя из условия, мы можем составить два уравнения:
1. Уравнение по общему количеству коров: $x + y = 44$.
2. Уравнение по общей стоимости коров: $18x + 26y = 1000$.

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 44 - y$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $y$:
$18(44 - y) + 26y = 1000$
$792 - 18y + 26y = 1000$
$8y = 1000 - 792$
$8y = 208$
$y = \frac{208}{8}$
$y = 26$

Итак, мы нашли, что было куплено 26 коров по 26 р. Теперь найдём количество коров по 18 р., подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 44 - 26 = 18$

Проверим полученные результаты:
Общее количество коров: $18 + 26 = 44$.
Общая стоимость: $18 \cdot 18 + 26 \cdot 26 = 324 + 676 = 1000$ р.
Все условия задачи выполняются.

Ответ: было куплено 18 коров по 18 р. и 26 коров по 26 р.

б)

Обозначим количество аршин чёрного сукна через $x$, а количество аршин синего сукна — через $y$.
Составим систему уравнений по условиям задачи:
1. Общая длина купленного сукна: $x + y = 138$.
2. Общая стоимость покупки: $3x + 5y = 540$ (поскольку аршин чёрного сукна стоит 3 р., а синего — 5 р.).

Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 138 - y$

Подставим полученное выражение во второе уравнение:
$3(138 - y) + 5y = 540$
$414 - 3y + 5y = 540$
$2y = 540 - 414$
$2y = 126$
$y = \frac{126}{2}$
$y = 63$

Таким образом, купец купил 63 аршина синего сукна. Теперь найдем, сколько аршин чёрного сукна он купил:
$x = 138 - 63 = 75$

Проверим:
Общая длина: $75 + 63 = 138$ аршин.
Общая стоимость: $3 \cdot 75 + 5 \cdot 63 = 225 + 315 = 540$ р.
Решение верное.

Ответ: купец купил 75 аршин чёрного сукна и 63 аршина синего сукна.

61. Из «Арифметики» А. П. Киселёва.

а) Смешано три сорта муки: 15 фунтов по 8 к., 20 фунтов по 7 к. и 25 фунтов по 4 к. за фунт. Сколько стоит фунт смеси?

б) Из двух сортов чаю составлено 32 фунта смеси; фунт первого сорта стоит 3 р., фунт второго сорта — 2 р. 40 к. Сколько фунтов взято от того и другого сорта, если фунт смешанного чаю стоит 2 р. 85 к.?

Чтобы найти стоимость одного фунта смеси, нужно общую стоимость всей муки разделить на ее общий вес.

1. Вычислим стоимость каждого сорта муки:

• Стоимость первого сорта: $15 \text{ фунтов} \times 8 \text{ к.} = 120 \text{ к.}$
• Стоимость второго сорта: $20 \text{ фунтов} \times 7 \text{ к.} = 140 \text{ к.}$
• Стоимость третьего сорта: $25 \text{ фунтов} \times 4 \text{ к.} = 100 \text{ к.}$

2. Найдем общую стоимость всей муки:

$120 \text{ к.} + 140 \text{ к.} + 100 \text{ к.} = 360 \text{ к.}$

3. Найдем общий вес смеси:

$15 \text{ фунтов} + 20 \text{ фунтов} + 25 \text{ фунтов} = 60 \text{ фунтов}$

4. Разделим общую стоимость на общий вес, чтобы найти цену за один фунт смеси:

$\frac{360 \text{ к.}}{60 \text{ фунтов}} = 6 \text{ к.}$

Ответ: фунт смеси стоит 6 копеек.

Для решения задачи составим систему уравнений. Сначала переведем все цены в копейки (в 1 рубле 100 копеек):

• Цена первого сорта чая: $3 \text{ р.} = 300 \text{ к.}$
• Цена второго сорта чая: $2 \text{ р. } 40 \text{ к.} = 2 \times 100 + 40 = 240 \text{ к.}$
• Цена смешанного чая: $2 \text{ р. } 85 \text{ к.} = 2 \times 100 + 85 = 285 \text{ к.}$

Пусть $x$ — количество фунтов чая первого сорта, а $y$ — количество фунтов чая второго сорта.

1. Составим первое уравнение, исходя из общего веса смеси:

$x + y = 32$

2. Составим второе уравнение, исходя из общей стоимости смеси. Общая стоимость равна сумме стоимостей каждого сорта чая в отдельности.

Стоимость чая первого сорта: $300x$ копеек.

Стоимость чая второго сорта: $240y$ копеек.

Стоимость всей смеси: $32 \text{ фунта} \times 285 \text{ к./фунт} = 9120 \text{ к.}$

Получаем уравнение:

$300x + 240y = 9120$

3. Теперь решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 32 \\ 300x + 240y = 9120 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 32 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$300x + 240(32 - x) = 9120$

Раскроем скобки:

$300x + 240 \times 32 - 240x = 9120$

$300x + 7680 - 240x = 9120$

Приведем подобные слагаемые:

$60x = 9120 - 7680$

$60x = 1440$

$x = \frac{1440}{60} = 24$

Итак, было взято 24 фунта чая первого сорта.

4. Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в первое уравнение:

$y = 32 - x = 32 - 24 = 8$

Следовательно, было взято 8 фунтов чая второго сорта.

Ответ: взято 24 фунта чая первого сорта и 8 фунтов чая второго сорта.

62. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некто купил 112 баранов старых и молодых, дал 49 рублей и 20 алтын. За старого он платил по 15 алтын и по 2 деньги, а за молодого — по 10 алтын; узнайте, сколько старых и сколько молодых баранов купил он.

Для решения этой задачи из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого необходимо сначала привести все денежные единицы к одной общей единице. В задаче упоминаются рубли, алтыны и деньги. Наименьшей единицей является деньга, поэтому удобно все расчеты производить в ней. Воспользуемся историческими соотношениями этих денежных единиц:

• 1 рубль = 200 денег
• 1 алтын = 6 денег

1. Переведем общую уплаченную сумму в деньги.
Покупатель заплатил 49 рублей и 20 алтын.
49 рублей = $49 \times 200 = 9800$ денег.
20 алтын = $20 \times 6 = 120$ денег.
Общая сумма покупки составляет: $9800 + 120 = 9920$ денег.

2. Определим цену каждого барана в деньгах.
Цена за старого барана составляла 15 алтын и 2 деньги.
Переведем в деньги: $(15 \times 6) + 2 = 90 + 2 = 92$ деньги.
Цена за молодого барана составляла 10 алтын.
Переведем в деньги: $10 \times 6 = 60$ денег.

3. Составим и решим систему уравнений.
Пусть $x$ — количество старых баранов, а $y$ — количество молодых баранов.
Всего было куплено 112 баранов, что дает нам первое уравнение:
$x + y = 112$
Общая стоимость всех баранов составила 9920 денег, что дает нам второе уравнение:
$92x + 60y = 9920$
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} x + y = 112 \\ 92x + 60y = 9920\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 112 - x$
Подставим это выражение во второе уравнение и решим его:
$92x + 60(112 - x) = 9920$
$92x + 6720 - 60x = 9920$
$32x = 9920 - 6720$
$32x = 3200$
$x = \frac{3200}{32}$
$x = 100$
Таким образом, было куплено 100 старых баранов.
Теперь найдем количество молодых баранов:
$y = 112 - 100 = 12$
Следовательно, было куплено 12 молодых баранов.

Проверим правильность решения:
Стоимость старых баранов: $100 \times 92 = 9200$ денег.
Стоимость молодых баранов: $12 \times 60 = 720$ денег.
Общая стоимость: $9200 + 720 = 9920$ денег.
Всего баранов: $100 + 12 = 112$.
Расчеты верны и соответствуют условию задачи.
Ответ: было куплено 100 старых и 12 молодых баранов.

63. Купец купил 110 фунтов табака. 50 фунтов оказались подмо- ченными, и купец продал их на 2 р. дешевле за 1 фунт, чем заплатил сам. Остальной табак он продал на 3 р. дороже за 1 фунт, чем уплатил сам. Подсчи- тайте прибыль купца.

Для решения задачи нет необходимости знать исходную цену, по которой купец покупал табак. Общую прибыль можно вычислить, посчитав убытки и прибыли от каждой части товара отдельно.

1. Сначала рассчитаем убыток от продажи подмоченного табака. Купец продал 50 фунтов на 2 рубля дешевле за фунт, чем купил. Убыток от этой продажи составил:

$50 \text{ фунтов} \times 2 \frac{\text{рубля}}{\text{фунт}} = 100 \text{ рублей}$

2. Далее определим, сколько качественного табака осталось для продажи. Изначально было 110 фунтов:

$110 \text{ фунтов} - 50 \text{ фунтов} = 60 \text{ фунтов}$

3. Теперь рассчитаем прибыль от продажи оставшегося табака. Эти 60 фунтов были проданы на 3 рубля дороже за фунт, чем закупочная цена. Прибыль от этой продажи составила:

$60 \text{ фунтов} \times 3 \frac{\text{рубля}}{\text{фунт}} = 180 \text{ рублей}$

4. Итоговая прибыль купца — это разница между прибылью, полученной от продажи качественного табака, и убытком от продажи подмоченного табака:

$180 \text{ рублей} - 100 \text{ рублей} = 80 \text{ рублей}$

Ответ: 80 рублей.