Страница 287 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

73. На солнышке грелись кошка и несколько котят. У всех у них лап на 24 больше, чем хвостов. Сколько котят было у кошки?

Для решения этой задачи можно использовать два подхода.

1. Сначала выясним, на сколько у одной кошки (или одного котенка) больше лап, чем хвостов. У каждого животного 4 лапы и 1 хвост.

Разница составляет: $4 - 1 = 3$.

2. Каждое животное вносит "излишек" в 3 лапы по сравнению с хвостами. В задаче сказано, что общий "излишек" лап составляет 24.

3. Чтобы найти общее количество животных (кошку и котят вместе), нужно общую разницу разделить на разницу для одного животного.

Общее количество животных: $24 / 3 = 8$.

4. Всего было 8 животных. Из них одна — кошка, а остальные — котята. Найдем количество котят.

Количество котят: $8 - 1 = 7$.

Ответ: у кошки было 7 котят.

1. Пусть $x$ — это количество котят у кошки.

2. Тогда общее количество животных на солнышке: $1$ (кошка) + $x$ (котята) = $1 + x$.

3. Каждое животное имеет 1 хвост, значит, общее количество хвостов равно количеству животных: $1 + x$.

4. Каждое животное имеет 4 лапы, значит, общее количество лап: $4 * (1 + x)$.

5. По условию, лап на 24 больше, чем хвостов. Составим уравнение:

(Количество лап) - (Количество хвостов) = 24

$4 * (1 + x) - (1 + x) = 24$

6. Решим это уравнение:

$4 + 4x - 1 - x = 24$

$3x + 3 = 24$

$3x = 24 - 3$

$3x = 21$

$x = 21 / 3$

$x = 7$

Ответ: у кошки было 7 котят.

74. Несколько торговцев продавали бананы по 48 р. за 1 кг, а один — по 43 р. 20 к. за 1 кг. Когда контролёры проверили его весы, то оказалось, что при весе 800 г они показывали ровно 1 кг. По какой цене за 1 кг на самом деле продавал бананы этот торговец?

Для начала определим, какую сумму платил покупатель и какой реальный вес бананов он за это получал.

Заявленная цена составляет 43 рубля 20 копеек за 1 кг. Переведем копейки в рубли для удобства расчетов: $43 \text{ р. } 20 \text{ к.} = 43.2 \text{ рубля}$

Покупатель, заплатив 43.2 рубля, получал по показаниям весов 1 кг бананов. Однако, фактический вес товара составлял всего 800 граммов. Переведем граммы в килограммы: $800 \text{ г} = 0.8 \text{ кг}$

Таким образом, торговец брал плату в размере 43.2 рубля за 0.8 кг бананов. Чтобы найти реальную цену за 1 кг, нужно разделить стоимость на фактический вес: $ \text{Цена за 1 кг} = \frac{\text{Уплаченная сумма}}{\text{Фактический вес}} = \frac{43.2 \text{ руб.}}{0.8 \text{ кг}} $

Выполним деление: $ \frac{43.2}{0.8} = \frac{432}{8} = 54 $

Получается, что реальная цена одного килограмма бананов у этого торговца была 54 рубля.

Ответ: 54 рубля.

75. Из двух городов, расстояние между которыми 400 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста. Определите их скорости, если известно, что они встретились через 4 ч и что скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого.

Пусть скорость одного мотоциклиста равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость второго мотоциклиста, который едет на 10 км/ч быстрее, равна $(x + 10)$ км/ч.

Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения, равна сумме их скоростей. Скорость сближения мотоциклистов составляет:
$v_{сбл} = x + (x + 10) = 2x + 10$ км/ч.

Известно, что мотоциклисты встретились через время $t = 4$ часа, преодолев общее расстояние $S = 400$ км. Воспользуемся формулой расстояния: $S = v \cdot t$.

Составим и решим уравнение, подставив известные величины:
$(2x + 10) \cdot 4 = 400$
Разделим обе части уравнения на 4:
$2x + 10 = \frac{400}{4}$
$2x + 10 = 100$
Перенесем 10 в правую часть уравнения:
$2x = 100 - 10$
$2x = 90$
Найдем $x$:
$x = \frac{90}{2}$
$x = 45$

Таким образом, скорость первого мотоциклиста составляет 45 км/ч.
Теперь найдем скорость второго мотоциклиста:
$x + 10 = 45 + 10 = 55$ км/ч.
Ответ: скорость одного мотоциклиста 45 км/ч, скорость другого — 55 км/ч.

76. а) Два пешехода вышли из одного пункта в противоположных направлениях со скоростями 4 км/ч и 5 км/ч. Через сколько часов между ними будет 45 км?

б) Расстояние между городами равно 510 км. Два поезда вышли из этих городов одновременно навстречу друг другу со скоростями 80 км/ч и 90 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

в) Через сколько часов после начала движения расстояние между поездами в предыдущей задаче составит 170 км?

г) Скорость моторной лодки по течению 38 км/ч, а против течения — 33 км/ч. Какова скорость течения реки?

д) Расстояние между пристанями, равное 40 км, моторная лодка прошла по течению за $2\frac{1}{2}$ ч, против течения — за 4 ч. Какова скорость течения реки?

а) Два пешехода движутся в противоположных направлениях, поэтому для нахождения времени, через которое расстояние между ними станет 45 км, нужно использовать скорость удаления, которая равна сумме их скоростей.

1. Найдем скорость удаления пешеходов: $v_{уд} = 4 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$.

2. Найдем время, разделив необходимое расстояние на скорость удаления: $t = \frac{S}{v_{уд}} = \frac{45 \text{ км}}{9 \text{ км/ч}} = 5 \text{ ч}$.

Ответ: 5 часов.

б) Два поезда движутся навстречу друг другу. Чтобы найти время до их встречи, нужно использовать скорость сближения, которая равна сумме их скоростей.

1. Найдем скорость сближения поездов: $v_{сбл} = 80 \text{ км/ч} + 90 \text{ км/ч} = 170 \text{ км/ч}$.

2. Найдем время до встречи, разделив расстояние между городами на скорость сближения: $t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{510 \text{ км}}{170 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$.

Ответ: 3 часа.

в) Эта задача является продолжением предыдущей. Нужно найти время, когда расстояние между поездами сократится до 170 км.

1. Определим, какое расстояние поезда должны проехать вместе, чтобы между ними осталось 170 км. Это разница между начальным расстоянием и конечным: $S_{пройд} = 510 \text{ км} - 170 \text{ км} = 340 \text{ км}$.

2. Скорость сближения поездов известна из предыдущей задачи: $v_{сбл} = 170 \text{ км/ч}$.

3. Найдем время, разделив пройденное расстояние на скорость сближения: $t = \frac{S_{пройд}}{v_{сбл}} = \frac{340 \text{ км}}{170 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$.

Ответ: 2 часа.

г) Обозначим собственную скорость лодки как $v_л$, а скорость течения реки — как $v_т$. Скорость по течению равна $v_л + v_т$, а против течения — $v_л - v_т$.

1. Составим систему из двух уравнений:

$v_л + v_т = 38$

$v_л - v_т = 33$

2. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти удвоенную скорость течения:

$(v_л + v_т) - (v_л - v_т) = 38 - 33$

$2v_т = 5$

3. Найдем скорость течения: $v_т = \frac{5}{2} = 2,5 \text{ км/ч}$.

Ответ: 2,5 км/ч.

д) Сначала необходимо рассчитать скорость лодки по течению и против течения, используя данные о расстоянии (40 км) и времени.

1. Рассчитаем скорость по течению, учитывая, что время в пути составило $2\frac{1}{2}$ часа, или 2,5 часа:

$v_{по} = \frac{S}{t_{по}} = \frac{40 \text{ км}}{2,5 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч}$.

2. Рассчитаем скорость против течения, время в пути — 4 часа:

$v_{пр} = \frac{S}{t_{пр}} = \frac{40 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$.

3. Как и в предыдущей задаче, составим систему уравнений ($v_л$ — собственная скорость, $v_т$ — скорость течения):

$v_л + v_т = 16$

$v_л - v_т = 10$

4. Вычтем второе уравнение из первого:

$(v_л + v_т) - (v_л - v_т) = 16 - 10$

$2v_т = 6$

5. Найдем скорость течения: $v_т = \frac{6}{2} = 3 \text{ км/ч}$.

Ответ: 3 км/ч.

77. а) В классе 32 учащихся, $\frac{3}{4}$ их числа учатся на «4» и «5». Сколько учащихся учится на «4» и «5»?

б) В классе 18 человек учатся без троек — это составляет $\frac{3}{5}$ всех учащихся класса. Сколько учащихся в классе?

в) В классе 12 девочек и 16 мальчиков. Какую часть класса составляют девочки? Какую — мальчики?

а)

Чтобы найти, сколько учащихся учатся на «4» и «5», нужно общее количество учащихся умножить на соответствующую долю. По условию, всего в классе 32 учащихся, а доля тех, кто учится на «4» и «5», составляет $\frac{3}{4}$.

Выполним вычисление:

$32 \cdot \frac{3}{4} = \frac{32 \cdot 3}{4} = \frac{96}{4} = 24$ (учащихся).

Можно также сначала разделить общее число учащихся на знаменатель дроби, а затем умножить на числитель:

$(32 \div 4) \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$ (учащихся).

Ответ: 24 учащихся учатся на «4» и «5».

б)

В этой задаче известно, что 18 человек составляют $\frac{3}{5}$ от общего числа учащихся. Чтобы найти общее число учащихся (целое по его части), нужно известное количество человек разделить на долю, которую они составляют.

Выполним вычисление:

$18 \div \frac{3}{5} = 18 \cdot \frac{5}{3} = \frac{18 \cdot 5}{3} = 6 \cdot 5 = 30$ (учащихся).

Таким образом, в классе всего 30 учащихся.

Ответ: 30 учащихся.

в)

Сначала найдем общее количество учащихся в классе, сложив количество девочек и мальчиков.

$12 + 16 = 28$ (учащихся) — всего в классе.

Теперь найдем, какую часть класса составляют девочки. Для этого разделим количество девочек на общее количество учащихся и, если возможно, сократим полученную дробь.

Часть девочек: $\frac{12}{28}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{12 \div 4}{28 \div 4} = \frac{3}{7}$.

Аналогично найдем, какую часть класса составляют мальчики. Разделим количество мальчиков на общее количество учащихся.

Часть мальчиков: $\frac{16}{28}$.

Сократим дробь на 4:

$\frac{16 \div 4}{28 \div 4} = \frac{4}{7}$.

Ответ: девочки составляют $\frac{3}{7}$ класса, а мальчики — $\frac{4}{7}$ класса.

78. a) Первое слагаемое составляет $\frac{2}{3}$ второго, а их сумма равна 45. Найдите слагаемые.

б) Первое слагаемое составляет $\frac{2}{3}$ суммы и на 45 больше второго слагаемого. Найдите слагаемые.

в) Первое слагаемое равно 45, а второе составляет $\frac{2}{3}$ суммы двух слагаемых. Найдите сумму.

г) Вычитаемое составляет $\frac{2}{3}$ уменьшаемого, а их разность равна 45. Найдите уменьшаемое и вычитаемое.

а) Пусть второе слагаемое равно $x$. Тогда первое слагаемое, которое составляет $\frac{2}{3}$ от второго, будет равно $\frac{2}{3}x$. Их сумма равна 45. Составим уравнение:
$x + \frac{2}{3}x = 45$
$\frac{3x + 2x}{3} = 45$
$\frac{5}{3}x = 45$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{3}{5}$:
$x = 45 \cdot \frac{3}{5} = 9 \cdot 3 = 27$.
Второе слагаемое равно 27.
Теперь найдем первое слагаемое:
$\frac{2}{3} \cdot 27 = 2 \cdot 9 = 18$.
Ответ: первое слагаемое 18, второе слагаемое 27.

б) Пусть первое слагаемое – $x$, а второе – $y$. Их сумма $S = x+y$.
Из условия задачи имеем систему уравнений:
1) Первое слагаемое составляет $\frac{2}{3}$ суммы: $x = \frac{2}{3}S$ или $x = \frac{2}{3}(x+y)$.
2) Первое слагаемое на 45 больше второго: $x = y + 45$.
Из второго уравнения выразим $y$: $y = x - 45$.
Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:
$x = \frac{2}{3}(x + (x - 45))$
$x = \frac{2}{3}(2x - 45)$
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:
$3x = 2(2x - 45)$
$3x = 4x - 90$
$4x - 3x = 90$
$x = 90$.
Первое слагаемое равно 90.
Найдем второе слагаемое: $y = 90 - 45 = 45$.
Ответ: первое слагаемое 90, второе слагаемое 45.

в) Пусть первое слагаемое $a_1 = 45$, второе слагаемое – $a_2$, а их сумма – $S$.
По условию, второе слагаемое составляет $\frac{2}{3}$ суммы: $a_2 = \frac{2}{3}S$.
Сумма определяется как $S = a_1 + a_2$.
Подставим известные значения в эту формулу:
$S = 45 + \frac{2}{3}S$
Перенесем $\frac{2}{3}S$ в левую часть уравнения, изменив знак:
$S - \frac{2}{3}S = 45$
$\frac{3}{3}S - \frac{2}{3}S = 45$
$\frac{1}{3}S = 45$
Чтобы найти $S$, умножим обе части на 3:
$S = 45 \cdot 3 = 135$.
Ответ: сумма равна 135.

г) Пусть уменьшаемое – $x$, а вычитаемое – $y$.
По условию, вычитаемое составляет $\frac{2}{3}$ уменьшаемого: $y = \frac{2}{3}x$.
Разность равна 45: $x - y = 45$.
Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x - \frac{2}{3}x = 45$
$\frac{3}{3}x - \frac{2}{3}x = 45$
$\frac{1}{3}x = 45$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на 3:
$x = 45 \cdot 3 = 135$.
Уменьшаемое равно 135.
Теперь найдем вычитаемое:
$y = \frac{2}{3} \cdot 135 = 2 \cdot 45 = 90$.
Ответ: уменьшаемое 135, вычитаемое 90.