Страница 292 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

106. Определите на глаз величину угла (рис. 194). Проверьте результат с помощью транспортира.

a) Угол $ABC$ острый, приблизительно $40^\circ$.

б) Угол $MNK$ прямой, равен $90^\circ$.

в) Угол $XYZ$ тупой, приблизительно $135^\circ$.

Рис. 194

а) Визуально угол ABC является острым, то есть его величина меньше $90^\circ$. Он выглядит немного меньше, чем половина прямого угла ($45^\circ$). Предположим, что его величина составляет примерно $40^\circ$.

Для проверки измерим угол с помощью транспортира. Совместим центр транспортира с вершиной угла (точка B), а его основание — со стороной BC. Сторона BA пересекает шкалу транспортира на отметке $35^\circ$.

Ответ: $35^\circ$.

б) Угол MNK выглядит как прямой угол. Его стороны MN и NK кажутся перпендикулярными друг другу. Оценка на глаз — $90^\circ$.

Проверка с помощью транспортира подтверждает, что это прямой угол. Совместив транспортир с вершиной N и стороной NK, мы увидим, что сторона MN указывает ровно на отметку $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

в) Угол XYZ является тупым, его величина больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Он выглядит как прямой угол плюс еще один небольшой острый угол. Можно предположить, что его величина около $120^\circ$.

Проверим с помощью транспортира. Совместим центр транспортира с вершиной Y, а его основание — со стороной YZ. Сторона YX пересечет шкалу транспортира на отметке $115^\circ$.

Ответ: $115^\circ$.

107. Постройте угол $ABC$, равный $90^\circ$. С помощью транспортира разделите угол $ABC$ на:

а) 2 равные части;

б) 3 равные части.

Сначала построим угол $ABC$, равный $90^\circ$. Для этого выполним следующие шаги:

1. Начертим луч $BC$.
2. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с началом луча (точкой $B$), а сам луч прошел через нулевую отметку на шкале транспортира.
3. Найдём на шкале транспортира отметку $90^\circ$ и поставим в этом месте точку $A$.
4. Проведём луч $BA$.

Полученный угол $ABC$ является прямым и его величина составляет $90^\circ$. Теперь, используя транспортир, разделим этот угол.

а) 2 равные части

Чтобы разделить угол $90^\circ$ на две равные части, необходимо найти величину каждой части. Для этого выполним деление:

$90^\circ : 2 = 45^\circ$

Следовательно, нам нужно провести луч из вершины $B$ так, чтобы он разделил угол $ABC$ на два угла по $45^\circ$. Для этого:

1. Снова приложим транспортир к углу $ABC$ с центром в точке $B$ и нулевой отметкой на луче $BC$.
2. Найдём на шкале транспортира отметку $45^\circ$ и поставим точку $D$.
3. Проведём луч $BD$.

Этот луч разделит угол $ABC$ на два равных угла: $\angle ABD = 45^\circ$ и $\angle DBC = 45^\circ$.

Ответ: Чтобы разделить угол в $90^\circ$ на 2 равные части, нужно провести из его вершины луч, образующий с каждой из его сторон угол в $45^\circ$.

б) 3 равные части

Чтобы разделить угол $90^\circ$ на три равные части, найдём величину каждой такой части:

$90^\circ : 3 = 30^\circ$

Значит, нам нужно провести два луча из вершины $B$, которые разделят угол $ABC$ на три угла по $30^\circ$. Для этого:

1. Приложим транспортир к углу $ABC$ с центром в точке $B$ и нулевой отметкой на луче $BC$.
2. Найдём на шкале отметку $30^\circ$ и поставим точку $M$. Проведём луч $BM$.
3. Далее на той же шкале найдём отметку $60^\circ$ (что равно $30^\circ + 30^\circ$) и поставим точку $N$. Проведём луч $BN$.

Лучи $BM$ и $BN$ разделили угол $ABC$ на три равных угла: $\angle CBM = 30^\circ$, $\angle MBN = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$ и $\angle NBA = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Ответ: Чтобы разделить угол в $90^\circ$ на 3 равные части, нужно провести из его вершины два луча, которые разделят исходный угол на три равных угла по $30^\circ$.

103. Постройте угол $ABC$, равный $120^\circ$. С помощью транспортира разделите угол $ABC$ на два угла так, чтобы один угол был:

а) в 2 раза больше другого;

б) в 3 раза меньше другого;

в) на $20^\circ$ больше другого;

г) на $30^\circ$ меньше другого.

Для решения задачи сначала нужно построить угол $∠ABC = 120°$ с помощью транспортира. Затем для каждого случая мы вычислим градусные меры двух углов, на которые нужно его разделить. Обозначим искомые углы как $α$ и $β$. Их сумма всегда будет равна $120°$, то есть $α + β = 120°$.

а) в 2 раза больше другого
Пусть один угол равен $x$. Тогда другой угол, который в 2 раза больше, равен $2x$. Их сумма равна $120°$.
Составим и решим уравнение:
$x + 2x = 120°$
$3x = 120°$
$x = 120° / 3 = 40°$
Один угол равен $40°$. Второй угол равен $2x = 2 \cdot 40° = 80°$.
Чтобы разделить угол $∠ABC$, нужно от одного из его лучей (например, $BA$) отложить с помощью транспортира угол в $40°$ и провести новый луч из вершины $B$. В результате получатся два угла: $40°$ и $80°$.
Ответ: углы равны $40°$ и $80°$.

б) в 3 раза меньше другого
Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол, который в 3 раза больше, равен $3x$. Их сумма равна $120°$.
Составим и решим уравнение:
$x + 3x = 120°$
$4x = 120°$
$x = 120° / 4 = 30°$
Меньший угол равен $30°$. Больший угол равен $3x = 3 \cdot 30° = 90°$.
Чтобы разделить угол $∠ABC$, нужно от одного из его лучей отложить с помощью транспортира угол в $30°$ и провести новый луч из вершины $B$. В результате получатся два угла: $30°$ и $90°$.
Ответ: углы равны $30°$ и $90°$.

в) на 20° больше другого
Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол равен $x + 20°$. Их сумма равна $120°$.
Составим и решим уравнение:
$x + (x + 20°) = 120°$
$2x + 20° = 120°$
$2x = 120° - 20°$
$2x = 100°$
$x = 50°$
Меньший угол равен $50°$. Больший угол равен $50° + 20° = 70°$.
Чтобы разделить угол $∠ABC$, нужно от одного из его лучей отложить с помощью транспортира угол в $50°$ и провести новый луч из вершины $B$. В результате получатся два угла: $50°$ и $70°$.
Ответ: углы равны $50°$ и $70°$.

г) на 30° меньше другого
Пусть больший угол равен $x$. Тогда меньший угол равен $x - 30°$. Их сумма равна $120°$.
Составим и решим уравнение:
$x + (x - 30°) = 120°$
$2x - 30° = 120°$
$2x = 120° + 30°$
$2x = 150°$
$x = 75°$
Больший угол равен $75°$. Меньший угол равен $75° - 30° = 45°$.
Чтобы разделить угол $∠ABC$, нужно от одного из его лучей отложить с помощью транспортира угол в $45°$ и провести новый луч из вершины $B$. В результате получатся два угла: $45°$ и $75°$.
Ответ: углы равны $45°$ и $75°$.

109. С помощью транспортира постройте угол величиной $100^\circ$.

Из вершины угла проведите луч так, чтобы один из образовавшихся углов был:

а) в 4 раза больше другого;

б) на $20^\circ$ больше другого.

Сколько решений имеет каждая из задач а) и б)?

Сначала с помощью транспортира строим угол, равный $100^\circ$. Затем из его вершины проводим луч, который делит этот угол на два меньших. Сумма этих двух углов будет равна $100^\circ$.

а) Пусть величина одного из образовавшихся углов равна $x$. По условию, другой угол в 4 раза больше, значит, его величина равна $4x$. Сумма этих углов равна исходному углу в $100^\circ$. Составим и решим уравнение:

$x + 4x = 100^\circ$

$5x = 100^\circ$

$x = \frac{100^\circ}{5}$

$x = 20^\circ$

Таким образом, один угол равен $20^\circ$, а другой — $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$. Проверка: $20^\circ + 80^\circ = 100^\circ$.

Задача имеет два геометрических решения, так как луч можно провести двумя способами: отложить от одной стороны исходного угла угол в $20^\circ$ (тогда второй будет $80^\circ$) или отложить угол в $80^\circ$ (тогда второй будет $20^\circ$). Это два разных положения луча.

Ответ: величины образовавшихся углов — $20^\circ$ и $80^\circ$. Задача имеет 2 решения.

б) Пусть величина меньшего из образовавшихся углов равна $y$. По условию, другой угол на $20^\circ$ больше, значит, его величина равна $y + 20^\circ$. Сумма этих углов равна исходному углу в $100^\circ$. Составим и решим уравнение:

$y + (y + 20^\circ) = 100^\circ$

$2y + 20^\circ = 100^\circ$

$2y = 100^\circ - 20^\circ$

$2y = 80^\circ$

$y = \frac{80^\circ}{2}$

$y = 40^\circ$

Таким образом, один угол равен $40^\circ$, а другой — $40^\circ + 20^\circ = 60^\circ$. Проверка: $40^\circ + 60^\circ = 100^\circ$.

Эта задача, как и предыдущая, имеет два геометрических решения. Луч можно провести так, чтобы от одной стороны исходного угла откладывался угол в $40^\circ$ (и тогда второй будет $60^\circ$), либо так, чтобы откладывался угол в $60^\circ$ (и тогда второй будет $40^\circ$).

Ответ: величины образовавшихся углов — $40^\circ$ и $60^\circ$. Задача имеет 2 решения.

110. На сколько частей могут разбить круг три различные хорды?

Количество частей, на которые три различные хорды могут разбить круг, зависит от их взаимного расположения. В частности, ключевую роль играет количество точек пересечения хорд внутри круга. Проанализируем все возможные конфигурации.

Наименьшее число частей получается тогда, когда хорды не пересекаются друг с другом внутри круга. Это возможно, только если все три хорды параллельны.

• Первая хорда делит круг на 2 части.
• Вторая хорда, параллельная первой, проходит через одну из существующих частей и делит её на две. Общее число частей становится $2 + 1 = 3$.
• Третья хорда, параллельная первым двум, также делит одну из существующих частей надвое. Общее число частей становится $3 + 1 = 4$.

Таким образом, при параллельном расположении хорд круг делится на 4 части.

Наибольшее число частей получается тогда, когда количество точек пересечения хорд максимально. Для трёх хорд это 3 точки пересечения. Такая ситуация возникает, когда каждая хорда пересекает две другие в различных точках (то есть хорды попарно пересекаются, но не проходят через одну общую точку). Такое расположение называют общим положением.

• Первая хорда делит круг на 2 части.
• Вторая хорда пересекает первую в одной точке. Она проходит через 2 области и, разделяя их, добавляет 2 новые части. Всего становится $2 + 2 = 4$ части.
• Третья хорда пересекает первые две в двух новых, различных точках. Эти две точки делят третью хорду на 3 сегмента. Каждый из этих сегментов проходит через одну из существующих областей и делит её на две. Таким образом, добавляется 3 новые части. Всего становится $4 + 3 = 7$ частей.

Таким образом, в случае общего положения круг делится на 7 частей.

Существуют также конфигурации, которые дают промежуточное количество частей. Все они приводят к одному и тому же результату — 6 частям.

• Две хорды параллельны, а третья их пересекает. В этом случае есть 2 точки пересечения. Две параллельные хорды делят круг на 3 части. Третья хорда, пересекая их, проходит через все 3 части, добавляя 3 новые. Итого: $3 + 3 = 6$ частей.
• Все три хорды пересекаются в одной точке. В этом случае есть только 1 точка пересечения. Первые две пересекающиеся хорды делят круг на 4 части. Третья хорда, проходя через их общую точку, делится ею на 2 сегмента. Эти сегменты проходят через две противолежащие части, добавляя 2 новые. Итого: $4 + 2 = 6$ частей.
• Две хорды пересекаются, а третья параллельна одной из них. Здесь 2 точки пересечения. Две пересекающиеся хорды делят круг на 4 части. Третья хорда пересекает только одну из них. Эта точка делит третью хорду на 2 сегмента, которые проходят через 2 области, добавляя 2 новые части. Итого: $4 + 2 = 6$ частей.

Во всех этих случаях круг делится на 6 частей.

Итак, проанализировав все возможные варианты взаимного расположения трех различных хорд, мы выяснили, что они могут разбить круг на 4, 6 или 7 частей.

Ответ: 4, 6 или 7.

111. Постройте окружность и разделите её с помощью циркуля на:

a) 6 равных частей;

б) 3 равные части.

а) 6 равных частей;

Для того чтобы разделить окружность на 6 равных частей с помощью циркуля, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертите окружность с центром в точке О и произвольным радиусом $R$.
2. Выберите на окружности любую точку, назовем ее А.
3. Не меняя раствор циркуля, который должен быть равен радиусу окружности $R$, установите иглу циркуля в точку А.
4. Проведите дугу так, чтобы она пересекла окружность. Точку пересечения назовем В.
5. Переместите иглу циркуля в точку В и снова проведите дугу, пересекающую окружность в новой точке С.
6. Продолжайте этот процесс, последовательно перемещая иглу циркуля в каждую новую точку (С, D, E, F) и делая засечки на окружности. После шести шагов последняя засечка должна совпасть с начальной точкой А.

Полученные 6 точек (A, B, C, D, E, F) делят окружность на шесть равных частей. Это происходит потому, что хорда, соединяющая две соседние точки, равна радиусу окружности. Таким образом, образуется 6 равносторонних треугольников с вершиной в центре окружности. Центральный угол каждого такого треугольника равен $60^\circ$, а $6 \times 60^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Установить раствор циркуля равным радиусу окружности, выбрать на ней произвольную точку и последовательно откладывать от нее на окружности дуги, равные радиусу. Полученные 6 точек пересечения разделят окружность на 6 равных частей.

б) 3 равные части.

Чтобы разделить окружность на 3 равные части, можно воспользоваться результатами деления на 6 частей:

1. Сначала разделите окружность на 6 равных частей, как описано в пункте а). В результате вы получите 6 точек на окружности (A, B, C, D, E, F).
2. Для получения трех равных частей выберите каждую вторую точку из полученных шести. Например, возьмите точки А, С и Е.

Точки А, С и Е разделят окружность на три равные дуги. Каждая такая дуга соответствует центральному углу $120^\circ$ ($60^\circ + 60^\circ$), а $3 \times 120^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Разделить окружность на 6 равных частей, как описано в пункте а), а затем взять полученные точки через одну.

112. Дана окружность, постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат на этой окружности.

Чтобы построить равносторонний треугольник, вершины которого лежат на данной окружности, необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку.

1. Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Если центр окружности не указан, его можно найти как точку пересечения серединных перпендикуляров к двум любым непараллельным хордам.

2. Проведем через центр $O$ произвольный диаметр. Обозначим точки пересечения диаметра с окружностью буквами $A$ и $D$. Точка $A$ будет одной из вершин искомого треугольника.

3. Установим раствор циркуля равным радиусу данной окружности $R$.

4. Поставим острие циркуля в точку $D$ и проведем дугу так, чтобы она пересекла исходную окружность в двух точках. Обозначим эти точки пересечения как $B$ и $C$.

5. Соединим отрезками точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым равносторонним треугольником.

Чтобы доказать, что построенный треугольник $ABC$ является равносторонним, докажем равенство его сторон $AB$, $BC$ и $AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ODB$ и $\triangle ODC$. Стороны $OD$, $OB$ и $OC$ равны радиусу $R$ данной окружности, так как точки $B$, $C$ и $D$ лежат на ней. По построению, мы провели дугу из точки $D$ радиусом, равным $R$, чтобы найти точки $B$ и $C$. Следовательно, длины отрезков $DB$ и $DC$ также равны $R$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle ODB$ все стороны равны: $OD = OB = DB = R$. Значит, $\triangle ODB$ — равносторонний, и все его углы равны $60^{\circ}$. В частности, центральный угол $\angle DOB = 60^{\circ}$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle ODC$ все стороны равны: $OD = OC = DC = R$. Значит, $\triangle ODC$ также является равносторонним, и центральный угол $\angle DOC = 60^{\circ}$.

Так как $AD$ — это диаметр, то угол $\angle AOD$ является развернутым и равен $180^{\circ}$. Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на дугу $AB$, является смежным с углом $\angle DOB$. Следовательно, $\angle AOB = 180^{\circ} - \angle DOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Точно так же, центральный угол $\angle AOC$, опирающийся на дугу $AC$, равен $\angle AOC = 180^{\circ} - \angle DOC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Центральный угол $\angle BOC$, опирающийся на дугу $BC$, равен сумме углов $\angle DOB$ и $\angle DOC$: $\angle BOC = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Мы получили, что центральные углы, стягивающие хорды $AB$, $BC$ и $AC$, равны между собой: $\angle AOB = \angle BOC = \angle AOC = 120^{\circ}$. В одной окружности равные центральные углы стягивают равные хорды. Отсюда следует, что $AB = BC = AC$.

Поскольку все три стороны треугольника $ABC$ равны, он является равносторонним. Построение выполнено верно.

Ответ: Искомый равносторонний треугольник построен в соответствии с описанным алгоритмом, и его равносторонность доказана через равенство центральных углов, стягивающих его стороны.

113. Плохо отрегулированные часы отстают каждые $2 \frac{1}{2}$ часа на $\frac{1}{2}$ минуты. Стрелки часов поставили точно в 12.00 дня. Какое время покажут часы через 5 дней в 17.00? Через сколько суток часы отстанут ровно на 1 час?

Из «Сборника арифметических задач и численных примеров» В. А. Евтушевского.

Какое время покажут часы через 5 дней в 17.00?
1. Сначала определим скорость, с которой отстают часы. По условию, они отстают на $\frac{1}{2}$ минуты (то есть 0,5 минуты) за каждые $2\frac{1}{2}$ часа (то есть 2,5 часа). Найдем, на сколько они отстают за один час:
Скорость отставания = $\frac{0.5 \text{ минуты}}{2.5 \text{ часа}} = 0.2$ минуты в час, или $\frac{1}{5}$ минуты в час.
Это также означает, что на 1 минуту часы отстают за 5 часов.

2. Теперь рассчитаем общее количество времени, которое пройдет с момента установки часов (12:00) до момента проверки (через 5 дней в 17:00).
Промежуток времени составляет 5 полных дней и еще несколько часов.
5 дней = $5 \times 24 = 120$ часов.
С 12:00 до 17:00 в последний день пройдет еще $17 - 12 = 5$ часов.
Общее прошедшее время: $120 + 5 = 125$ часов.

3. Рассчитаем общее отставание часов за 125 часов:
Общее отставание = $125 \text{ часов} \times 0.2 \frac{\text{минуты}}{\text{час}} = 25$ минут.

4. Если реальное время 17:00, а часы отстали на 25 минут, то они будут показывать:
17 часов 00 минут − 25 минут = 16 часов 35 минут.
Ответ: часы покажут 16:35.

Через сколько суток часы отстанут ровно на 1 час?
1. Нам нужно, чтобы общее отставание составило 1 час, что равно 60 минутам.

2. Мы знаем, что часы отстают на 1 минуту за каждые 5 часов реального времени. Чтобы они отстали на 60 минут, должно пройти:
Время = $60 \text{ минут} \times 5 \frac{\text{часов}}{\text{минута}} = 300$ часов.

3. Теперь переведем это время в сутки. В одних сутках 24 часа.
Количество суток = $\frac{300 \text{ часов}}{24 \text{ часа/сутки}} = 12.5$ суток.
Ответ: через 12,5 суток.