Страница 293 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

Решите задачу (114-121):

114. Я прочитал $\frac{3}{8}$ книги и ещё 52 страницы и заметил, что мне осталось прочесть ещё $\frac{1}{2}$ книги без 12 страниц. Сколько страниц в книге?

Обозначим общее количество страниц в книге переменной $x$.

Согласно условию задачи, количество прочитанных страниц составляет $\frac{3}{8}$ книги и ещё 52 страницы, что можно выразить формулой:
Прочитано = $(\frac{3}{8}x + 52)$ страниц.

Оставшаяся часть книги составляет $\frac{1}{2}$ книги без 12 страниц, что можно выразить формулой:
Осталось = $(\frac{1}{2}x - 12)$ страниц.

Сумма прочитанных и оставшихся страниц равна общему количеству страниц в книге. На основе этого составим уравнение:
$x = (\frac{3}{8}x + 52) + (\frac{1}{2}x - 12)$

Решим полученное уравнение. Сначала сгруппируем подобные слагаемые:
$x = (\frac{3}{8}x + \frac{1}{2}x) + (52 - 12)$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 8:
$x = (\frac{3}{8}x + \frac{4}{8}x) + 40$

Сложим дроби и упростим выражение:
$x = \frac{7}{8}x + 40$

Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую, изменив знак:
$x - \frac{7}{8}x = 40$

Выполним вычитание:
$\frac{8}{8}x - \frac{7}{8}x = 40$
$\frac{1}{8}x = 40$

Теперь найдем $x$, умножив обе части уравнения на 8:
$x = 40 \cdot 8$
$x = 320$

Таким образом, всего в книге 320 страниц.

Проверка:
1) Найдем, сколько страниц было прочитано:
$\frac{3}{8} \cdot 320 + 52 = 3 \cdot 40 + 52 = 120 + 52 = 172$ страницы.
2) Найдем, сколько страниц осталось прочесть:
$\frac{1}{2} \cdot 320 - 12 = 160 - 12 = 148$ страниц.
3) Сложим прочитанные и оставшиеся страницы:
$172 + 148 = 320$ страниц.
Результат совпадает с найденным значением $x$, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 320 страниц.

115. Из крепости по случаю торжества стреляли в продолжение $\frac{5}{8}$ ч, так, что один выстрел следовал за другим через $\frac{3}{4}$ мин. Сколько выстрелов сделано?

Для решения задачи сперва необходимо привести все временные единицы к общему виду. Удобнее всего перевести часы в минуты, так как интервал между выстрелами дан в минутах. В одном часе 60 минут, поэтому общая продолжительность стрельбы в минутах составит:
$ \frac{5}{8} \text{ ч} = \frac{5}{8} \times 60 \text{ мин} = \frac{300}{8} \text{ мин} = \frac{75}{2} \text{ мин}. $

Теперь, зная общую продолжительность стрельбы ($ \frac{75}{2} $ мин) и интервал между выстрелами ($ \frac{3}{4} $ мин), мы можем найти количество интервалов. Для этого разделим общее время на время одного интервала:
$ \frac{75}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{75}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{75 \times 4}{2 \times 3} = \frac{300}{6} = 50. $
Таким образом, было 50 интервалов между выстрелами.

Общая продолжительность стрельбы — это время от первого до последнего выстрела. Количество выстрелов всегда на единицу больше, чем количество промежутков между ними (например, между двумя выстрелами — один промежуток). Следовательно, чтобы найти общее число выстрелов, нужно к количеству интервалов прибавить 1:
$ 50 + 1 = 51. $

Ответ: 51 выстрел.

116. Два обоза вышли из города в одно время. Один в каждые 4 ч делает $12\frac{8}{15}$ версты, а другой в каждые 3 ч делает $9\frac{4}{5}$ версты.

Какой обоз пройдёт больше другого за 15 ч и на сколько?

Для решения задачи необходимо найти, какое расстояние пройдет каждый обоз за 15 часов, а затем сравнить эти расстояния.

1. Расстояние, которое пройдет первый обоз за 15 часов.
Сначала найдем скорость первого обоза (количество верст в час). Известно, что он проходит $12\frac{8}{15}$ версты за 4 часа.
Скорость = Расстояние / Время
$v_1 = 12\frac{8}{15} \div 4 = \frac{12 \cdot 15 + 8}{15} \div 4 = \frac{180 + 8}{15} \div 4 = \frac{188}{15} \div 4 = \frac{188}{15 \cdot 4} = \frac{188}{60}$
Сократим дробь: $\frac{188 \div 4}{60 \div 4} = \frac{47}{15}$ версты/ч.
Теперь найдем расстояние, которое первый обоз пройдет за 15 часов:
Расстояние = Скорость × Время
$S_1 = \frac{47}{15} \cdot 15 = 47$ верст.

2. Расстояние, которое пройдет второй обоз за 15 часов.
Найдем скорость второго обоза. Известно, что он проходит $9\frac{4}{5}$ версты за 3 часа.
Скорость = Расстояние / Время
$v_2 = 9\frac{4}{5} \div 3 = \frac{9 \cdot 5 + 4}{5} \div 3 = \frac{45 + 4}{5} \div 3 = \frac{49}{5} \div 3 = \frac{49}{5 \cdot 3} = \frac{49}{15}$ версты/ч.
Теперь найдем расстояние, которое второй обоз пройдет за 15 часов:
Расстояние = Скорость × Время
$S_2 = \frac{49}{15} \cdot 15 = 49$ верст.

3. Сравнение расстояний.
Первый обоз за 15 часов пройдет 47 верст, а второй – 49 верст.
Сравним эти два расстояния: $49 > 47$. Значит, второй обоз пройдет больше.
Найдем разницу в расстоянии:
$S_2 - S_1 = 49 - 47 = 2$ версты.

Ответ: второй обоз пройдёт больше, чем первый, на 2 версты.

117. Три крестьянки привезли на рынок масло: одна 4 кадки по $ \frac{5}{12} $ пуда в каждой, вторая 2 кадки по $ \frac{2}{3} $ пуда, а всё масло третьей крестьянки было разложено поровну в 5 кадок и весило $ 3 \frac{1}{3} $ пуда. Первые две крестьянки продали всё своё масло, а третья — только одну кадку. Сколько денег получили три крестьянки вместе, если каждый пуд масла продавали по 12 р.?

1. Найдем, сколько масла продала первая крестьянка и сколько денег она получила.
Первая крестьянка привезла 4 кадки, в каждой из которых было по $\frac{5}{12}$ пуда масла. Общее количество масла у первой крестьянки:
$4 \cdot \frac{5}{12} = \frac{4 \cdot 5}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ пуда.
Она продала всё своё масло. Стоимость одного пуда масла — 12 р. Выручка первой крестьянки составила:
$\frac{5}{3} \cdot 12 = \frac{5 \cdot 12}{3} = 5 \cdot 4 = 20$ р.
Ответ: первая крестьянка получила 20 р.

2. Найдем, сколько масла продала вторая крестьянка и сколько денег она получила.
Вторая крестьянка привезла 2 кадки по $\frac{2}{3}$ пуда в каждой. Общее количество масла у второй крестьянки:
$2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ пуда.
Она также продала всё своё масло. Выручка второй крестьянки составила:
$\frac{4}{3} \cdot 12 = \frac{4 \cdot 12}{3} = 4 \cdot 4 = 16$ р.
Ответ: вторая крестьянка получила 16 р.

3. Найдем, сколько масла продала третья крестьянка и сколько денег она получила.
У третьей крестьянки было $3\frac{1}{3}$ пуда масла, которое было розлито поровну в 5 кадок. Сначала найдем, сколько масла было в одной кадке. Переведем $3\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:
$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$ пуда.
Теперь разделим это количество на 5, чтобы узнать, сколько масла в одной кадке:
$\frac{10}{3} \div 5 = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ пуда.
Третья крестьянка продала только одну кадку, то есть $\frac{2}{3}$ пуда масла. Её выручка составила:
$\frac{2}{3} \cdot 12 = \frac{2 \cdot 12}{3} = 2 \cdot 4 = 8$ р.
Ответ: третья крестьянка получила 8 р.

4. Найдем, сколько денег получили три крестьянки вместе.
Для этого сложим выручку каждой крестьянки:
$20 + 16 + 8 = 44$ р.
Ответ: вместе три крестьянки получили 44 р.

118. Два господина держали пари: чья лошадь перегонит, тот за каждую лишнюю версту получает 200 р. Лошади бежали 8 мин, и лошадь первого в каждые $1 \frac{1}{2}$ мин делала $\frac{3}{4}$ версты, а лошадь второго в каждые $2 \frac{1}{3}$ мин делала $1 \frac{3}{4}$ версты. Кто из них выиграл и сколько?

Для того чтобы определить победителя и сумму выигрыша, необходимо вычислить, какое расстояние преодолела каждая лошадь за общее время забега, равное 8 минутам.

1. Расчет расстояния для лошади первого господина.
Известно, что лошадь первого господина пробегала $\frac{3}{4}$ версты за каждые $1\frac{1}{2}$ минуты.
Сначала найдем ее скорость в верстах в минуту. Для этого разделим расстояние на время:
$1\frac{1}{2} \text{ мин} = \frac{3}{2} \text{ мин}$
Скорость первой лошади: $v_1 = \frac{3}{4} \div \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ версты в минуту.
Теперь вычислим, какое расстояние лошадь пробежала за 8 минут:
$S_1 = v_1 \times t = \frac{1}{2} \times 8 = 4$ версты.

2. Расчет расстояния для лошади второго господина.
Известно, что лошадь второго господина пробегала $1\frac{3}{4}$ версты за каждые $2\frac{1}{3}$ минуты.
Найдем ее скорость, разделив расстояние на время:
$1\frac{3}{4} \text{ версты} = \frac{7}{4} \text{ версты}$
$2\frac{1}{3} \text{ мин} = \frac{7}{3} \text{ мин}$
Скорость второй лошади: $v_2 = \frac{7}{4} \div \frac{7}{3} = \frac{7}{4} \times \frac{3}{7} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$ версты в минуту.
Теперь вычислим, какое расстояние вторая лошадь пробежала за 8 минут:
$S_2 = v_2 \times t = \frac{3}{4} \times 8 = \frac{24}{4} = 6$ верст.

3. Определение победителя и суммы выигрыша.
Сравним расстояния, которые пробежали лошади:
Лошадь первого господина: 4 версты.
Лошадь второго господина: 6 верст.
Поскольку $6 > 4$, лошадь второго господина пробежала больше и, следовательно, ее хозяин выиграл пари.
Найдем, на сколько верст одна лошадь перегнала другую ("лишние версты"):
$\Delta S = S_2 - S_1 = 6 - 4 = 2$ версты.
Согласно условию пари, за каждую лишнюю версту победитель получает 200 р.
Сумма выигрыша: $2 \times 200 = 400$ р.

Ответ: Выиграл второй господин, сумма его выигрыша составила 400 р.

119. Подрядчик поставил для войска 2500 лошадей. Для кавалерии $ \frac{12}{25} $ всех лошадей, для артиллерии $ \frac{2}{3} $ того, что для кавалерии, а для обоза $ \frac{5}{8} $ того, что для артиллерии. За лошадь для кавалерии ему заплатили $ 258\frac{3}{4} $ р., за лошадь для артиллерии — $ \frac{2}{5} $ того, что за лошадь для кавалерии, а за — $ \frac{5}{9} $ того, что за лошадь для артиллерии. Сколько получил он за всех лошадей, купленных для обоза?

Для решения задачи разобьем ее на несколько этапов: сначала найдем количество лошадей для каждого рода войск, затем определим стоимость одной лошади для каждого из них, и в конце вычислим общую стоимость.

1. Расчет количества лошадей:

• Для кавалерии было поставлено $\frac{12}{25}$ всех лошадей.
  Количество лошадей для кавалерии: $2500 \times \frac{12}{25} = 100 \times 12 = 1200$ лошадей.

• Для артиллерии было поставлено $\frac{2}{3}$ от количества лошадей для кавалерии.
  Количество лошадей для артиллерии: $1200 \times \frac{2}{3} = 400 \times 2 = 800$ лошадей.

• Для обоза было поставлено $\frac{5}{8}$ от количества лошадей для артиллерии.
  Количество лошадей для обоза: $800 \times \frac{5}{8} = 100 \times 5 = 500$ лошадей.

Проверка: $1200 + 800 + 500 = 2500$ лошадей. Расчеты верны.

2. Расчет стоимости одной лошади:

• Цена за одну лошадь для кавалерии: $258\frac{3}{4}$ р.
  Переведем в десятичную дробь: $258\frac{3}{4} = 258,75$ р.

• Цена за одну лошадь для артиллерии составляет $\frac{2}{5}$ от цены кавалерийской лошади.
  Цена за лошадь для артиллерии: $258,75 \times \frac{2}{5} = 258,75 \times 0,4 = 103,5$ р.

• Цена за одну лошадь для обоза составляет $\frac{5}{9}$ от цены артиллерийской лошади.
  Цена за лошадь для обоза: $103,5 \times \frac{5}{9} = \frac{103,5 \times 5}{9} = \frac{517,5}{9} = 57,5$ р.

Теперь ответим на вопросы задачи.

Сколько получил он за лошадей, купленных для обоза?

Чтобы найти общую стоимость лошадей для обоза, нужно количество лошадей для обоза умножить на цену одной такой лошади.

$500 \text{ лошадей} \times 57,5 \text{ р./лошадь} = 28750$ р.

Ответ: За лошадей, купленных для обоза, подрядчик получил 28750 рублей.

Сколько получил он за всех лошадей?

Чтобы найти общую сумму, сложим стоимость лошадей для каждого подразделения.

• Стоимость лошадей для кавалерии: $1200 \times 258,75 = 310500$ р.

• Стоимость лошадей для артиллерии: $800 \times 103,5 = 82800$ р.

• Стоимость лошадей для обоза: $28750$ р. (уже рассчитано).

Общая сумма: $310500 + 82800 + 28750 = 422050$ р.

Ответ: За всех лошадей подрядчик получил 422050 рублей.