Страница 290 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

90. а) Каждый день турист проходит $\frac{1}{3}$ намеченного маршрута. Ка- кую часть маршрута он пройдёт за 2 дня; за $\frac{1}{2}$ дня; за $\frac{3}{4}$ дня?

б) Метр ткани стоит 96 р. Сколько стоит $\frac{3}{4}$ м; $\frac{2}{3}$ м ткани?

в) Некто купил $\frac{3}{4}$ аршина сукна и заплатил за них 3 алтына.

Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна?

а)

Чтобы определить, какую часть маршрута турист пройдет за определенное время, необходимо умножить долю маршрута, проходимую за один день ($ \frac{1}{3} $), на количество дней.

1. Расчет для 2 дней:
$ 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $ маршрута.

2. Расчет для $ \frac{1}{2} $ дня:
$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1 \times 1}{2 \times 3} = \frac{1}{6} $ маршрута.

3. Расчет для $ \frac{3}{4} $ дня:
$ \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{4 \times 3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $ маршрута.

Ответ: за 2 дня турист пройдет $ \frac{2}{3} $ маршрута; за $ \frac{1}{2} $ дня – $ \frac{1}{6} $ маршрута; за $ \frac{3}{4} $ дня – $ \frac{1}{4} $ маршрута.

б)

Чтобы найти стоимость куска ткани, нужно цену за один метр (96 р.) умножить на длину этого куска в метрах.

1. Стоимость $ \frac{3}{4} $ м ткани:
$ 96 \times \frac{3}{4} = \frac{96 \times 3}{4} = 24 \times 3 = 72 $ рубля.

2. Стоимость $ \frac{2}{3} $ м ткани:
$ 96 \times \frac{2}{3} = \frac{96 \times 2}{3} = 32 \times 2 = 64 $ рубля.

Ответ: $ \frac{3}{4} $ м ткани стоит 72 рубля; $ \frac{2}{3} $ м ткани стоит 64 рубля.

в)

Сначала определим цену одного аршина сукна. Если за $ \frac{3}{4} $ аршина заплатили 3 алтына, то для нахождения цены целого аршина нужно разделить уплаченную сумму на долю.

1. Цена 1 аршина сукна:
$ 3 \div \frac{3}{4} = 3 \times \frac{4}{3} = 4 $ алтына.

Теперь, зная цену одного аршина, можно вычислить стоимость 100 аршин.

2. Стоимость 100 аршин сукна:
$ 100 \times 4 = 400 $ алтынов.

Ответ: за 100 аршин такого же сукна надо заплатить 400 алтынов.

91. На прямой отметили 5 точек. Сколько отрезков и сколько лучей при этом образовалось?

Сколько отрезков

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Чтобы найти общее количество отрезков, нужно посчитать, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 5 имеющихся. Порядок точек при этом не важен (отрезок AB — это тот же отрезок, что и BA).

Это задача на нахождение числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, где $n=5$ (общее количество точек), а $k=2$ (количество точек, образующих отрезок). Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставим наши значения в формулу: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Другой способ — посчитать отрезки последовательно. Пронумеруем точки от 1 до 5. От первой точки можно провести 4 отрезка (к 2-й, 3-й, 4-й и 5-й точкам). От второй точки можно провести 3 новых отрезка (к 3-й, 4-й и 5-й). От третьей точки — 2 новых отрезка (к 4-й и 5-й). От четвертой точки — 1 новый отрезок (к 5-й). Всего отрезков: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Ответ: 10 отрезков.

Сколько лучей

Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и продолжается бесконечно в одном направлении.

Каждая из 5 отмеченных точек может быть начальной точкой для луча. Поскольку точки лежат на одной прямой, от каждой точки можно построить ровно два луча, направленных в противоположные стороны.

Таким образом, общее количество лучей равно произведению количества точек на количество возможных направлений из каждой точки: $5 \text{ точек} \times 2 \text{ направления} = 10 \text{ лучей}$.

Ответ: 10 лучей.

92. Дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ отметили точку $M$, на стороне $BC$ — точку $N$, на стороне $AC$ — точку $K$. На сколько частей разбивают треугольник $ABC$ отрезки $MC$, $NA$ и $KB$ при различных положениях точек $M$, $N$ и $K$?

Количество частей, на которые отрезки MC, NA и KB разбивают треугольник ABC, зависит от их взаимного расположения. Существует два возможных варианта в зависимости от того, пересекаются ли эти три отрезка в одной точке или нет.

Случай 1. Отрезки пересекаются в трех разных точках (общее положение)

Если точки M, N, и K выбраны на сторонах треугольника произвольным образом, то отрезки MC, NA и KB, как правило, будут попарно пересекаться в трех различных точках внутри треугольника. Эти три точки пересечения образуют небольшой треугольник в центре.

Подсчитаем количество образовавшихся частей по шагам:

• Изначально есть одна часть — сам треугольник ABC.
• Первый отрезок (например, MC) делит треугольник на 2 части.
• Второй отрезок (NA) пересекает первый отрезок MC в одной точке. Эта точка делит отрезок NA на два сегмента. Каждый из этих сегментов, в свою очередь, разделяет одну из существующих областей на две. Таким образом, добавляется 2 новые части. Общее количество частей становится $2 + 2 = 4$.
• Третий отрезок (KB) пересекает два уже проведенных отрезка (MC и NA) в двух разных точках. Эти точки делят отрезок KB на три сегмента. Каждый из этих сегментов разделяет одну из существующих областей, добавляя 3 новые части. Итоговое количество частей становится $4 + 3 = 7$.

В этом случае треугольник разбивается на 7 областей: один маленький треугольник в центре и шесть многоугольников вокруг него.

Ответ: 7 частей.

Случай 2. Отрезки пересекаются в одной точке (частный случай)

Существует особое расположение точек M, N и K, при котором все три отрезка MC, NA и KB пересекаются в одной общей точке P. Согласно теореме Чевы, это происходит тогда и только тогда, когда выполняется условие: $ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1 $.

Подсчитаем количество частей для этого случая:

• Изначально — 1 часть.
• Отрезок MC создает 2 части.
• Отрезок NA, пересекая MC в точке P, увеличивает количество частей до 4.
• Третий отрезок (KB) также проходит через точку P. Он пересекает два предыдущих отрезка в этой же единственной точке. Точка P делит отрезок KB на два сегмента (KP и PB). Каждый из этих сегментов разделяет одну из существующих областей надвое, добавляя 2 новые части. Общее количество частей становится $4 + 2 = 6$.

В этом случае треугольник разбивается на 6 меньших треугольников, имеющих общую вершину в точке P.

Ответ: 6 частей.

93 Выразите в сантиметрах:

a) 60 мм;

б) 65 мм;

в) 5 мм.

а) Для того чтобы перевести миллиметры (мм) в сантиметры (см), необходимо помнить, что в одном сантиметре 10 миллиметров. Таким образом, чтобы выполнить перевод, нужно разделить значение в миллиметрах на 10.
$60 \text{ мм} = \frac{60}{10} \text{ см} = 6 \text{ см}$.
Ответ: 6 см.

б) Аналогично, разделим 65 миллиметров на 10, чтобы получить значение в сантиметрах.
$65 \text{ мм} = \frac{65}{10} \text{ см} = 6,5 \text{ см}$.
Ответ: 6,5 см.

в) Выполним то же действие для 5 миллиметров.
$5 \text{ мм} = \frac{5}{10} \text{ см} = 0,5 \text{ см}$.
Ответ: 0,5 см.

94. Выразите в квадратных дециметрах:

а) 500 $\text{см}^2$;

б) 50 $\text{см}^2$;

в) 5 $\text{см}^2$.

Для того чтобы выразить площадь из квадратных сантиметров (см²) в квадратные дециметры (дм²), необходимо знать соотношение между этими единицами. В одном дециметре содержится 10 сантиметров:

$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$

Площадь измеряется в квадратных единицах. Следовательно, один квадратный дециметр — это площадь квадрата со стороной 1 дм. Чтобы найти эту площадь в квадратных сантиметрах, нужно перемножить длины сторон, выраженные в сантиметрах:

$1 \text{ дм}^2 = 1 \text{ дм} \times 1 \text{ дм} = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$

Таким образом, чтобы перевести значение площади из квадратных сантиметров в квадратные дециметры, нужно разделить это значение на 100.

а)

Чтобы выразить 500 см² в квадратных дециметрах, разделим 500 на 100:

$500 \text{ см}^2 = \frac{500}{100} \text{ дм}^2 = 5 \text{ дм}^2$

Ответ: $5 \text{ дм}^2$

б)

Чтобы выразить 50 см² в квадратных дециметрах, разделим 50 на 100:

$50 \text{ см}^2 = \frac{50}{100} \text{ дм}^2 = 0.5 \text{ дм}^2$

Ответ: $0.5 \text{ дм}^2$

в)

Чтобы выразить 5 см² в квадратных дециметрах, разделим 5 на 100:

$5 \text{ см}^2 = \frac{5}{100} \text{ дм}^2 = 0.05 \text{ дм}^2$

Ответ: $0.05 \text{ дм}^2$

95. Выразите в кубических метрах:

а) $8000 \text{ дм}^3$;

б) $800 \text{ дм}^3$;

в) $80 \text{ дм}^3$.

Для того чтобы выразить кубические дециметры (дм³) в кубических метрах (м³), необходимо установить соотношение между этими единицами измерения объёма.

Известно, что в одном метре содержится 10 дециметров:

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Для нахождения соотношения кубических единиц возведём это равенство в третью степень:

$1 \text{ м}^3 = (1 \text{ м}) \cdot (1 \text{ м}) \cdot (1 \text{ м}) = (10 \text{ дм}) \cdot (10 \text{ дм}) \cdot (10 \text{ дм}) = 1000 \text{ дм}^3$

Таким образом, один кубический метр равен 1000 кубических дециметров. Чтобы выполнить обратный перевод из дм³ в м³, нужно разделить исходное значение на 1000.

а) Выразим 8000 дм³ в кубических метрах. Для этого разделим 8000 на 1000:

$8000 \text{ дм}^3 = \frac{8000}{1000} \text{ м}^3 = 8 \text{ м}^3$

Ответ: $8 \text{ м}^3$

б) Выразим 800 дм³ в кубических метрах. Для этого разделим 800 на 1000:

$800 \text{ дм}^3 = \frac{800}{1000} \text{ м}^3 = 0,8 \text{ м}^3$

Ответ: $0,8 \text{ м}^3$

в) Выразим 80 дм³ в кубических метрах. Для этого разделим 80 на 1000:

$80 \text{ дм}^3 = \frac{80}{1000} \text{ м}^3 = 0,08 \text{ м}^3$

Ответ: $0,08 \text{ м}^3$

96. Выразите в арах площадь прямоугольного участка земли, длина и ширина которого:

а) 25 и 24 м;

б) 75 и 32 м;

в) 50 и 28 м.

Чтобы выразить площадь в арах, сначала необходимо найти площадь прямоугольного участка в квадратных метрах, а затем перевести полученное значение в ары. Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ – длина, а $b$ – ширина. 1 ар (также известный как "сотка") равен 100 квадратным метрам ($1 \text{ ар} = 100 \text{ м}^2$).

а) 25 и 24 м

1. Находим площадь участка в квадратных метрах:
$S = 25 \text{ м} \cdot 24 \text{ м} = 600 \text{ м}^2$.

2. Переводим квадратные метры в ары, разделив на 100:
$600 \text{ м}^2 \div 100 = 6 \text{ ар}$.
Ответ: 6 ар.

б) 75 и 32 м

1. Находим площадь участка в квадратных метрах:
$S = 75 \text{ м} \cdot 32 \text{ м} = 2400 \text{ м}^2$.

2. Переводим квадратные метры в ары:
$2400 \text{ м}^2 \div 100 = 24 \text{ ар}$.
Ответ: 24 ар.

в) 50 и 28 м

1. Находим площадь участка в квадратных метрах:
$S = 50 \text{ м} \cdot 28 \text{ м} = 1400 \text{ м}^2$.

2. Переводим квадратные метры в ары:
$1400 \text{ м}^2 \div 100 = 14 \text{ ар}$.
Ответ: 14 ар.

97. Какое расстояние проходит по озеру моторная лодка за 10 с, если её скорость:

a) 60 м/мин;

б) 120 м/мин;

в) 180 м/мин;

г) 132 м/мин?

Для решения этой задачи мы будем использовать основную формулу для нахождения расстояния при равномерном движении: $S = v \cdot t$, где $S$ — это расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

В условии задачи время движения дано в секундах ($t = 10$ с), а скорость — в метрах в минуту (м/мин). Для того чтобы формула работала корректно, необходимо, чтобы все единицы измерения были согласованы. Поэтому мы переведем скорость из "метров в минуту" в "метры в секунду" (м/с). Так как в одной минуте содержится 60 секунд, для перевода нужно разделить значение скорости на 60.

а) Скорость моторной лодки составляет 60 м/мин.

1. Сначала переведем скорость в м/с:
$v = \frac{60 \text{ м}}{1 \text{ мин}} = \frac{60 \text{ м}}{60 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}$.

2. Теперь рассчитаем расстояние, которое лодка пройдет за 10 секунд:
$S = v \cdot t = 1 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 10 \text{ м}$.

Ответ: 10 м.

б) Скорость моторной лодки составляет 120 м/мин.

1. Переведем скорость в м/с:
$v = \frac{120 \text{ м}}{1 \text{ мин}} = \frac{120 \text{ м}}{60 \text{ с}} = 2 \text{ м/с}$.

2. Рассчитаем расстояние, которое лодка пройдет за 10 секунд:
$S = v \cdot t = 2 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 20 \text{ м}$.

Ответ: 20 м.

в) Скорость моторной лодки составляет 180 м/мин.

1. Переведем скорость в м/с:
$v = \frac{180 \text{ м}}{1 \text{ мин}} = \frac{180 \text{ м}}{60 \text{ с}} = 3 \text{ м/с}$.

2. Рассчитаем расстояние, которое лодка пройдет за 10 секунд:
$S = v \cdot t = 3 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 30 \text{ м}$.

Ответ: 30 м.

г) Скорость моторной лодки составляет 132 м/мин.

1. Переведем скорость в м/с:
$v = \frac{132 \text{ м}}{1 \text{ мин}} = \frac{132 \text{ м}}{60 \text{ с}} = 2,2 \text{ м/с}$.

2. Рассчитаем расстояние, которое лодка пройдет за 10 секунд:
$S = v \cdot t = 2,2 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 22 \text{ м}$.

Ответ: 22 м.

98. Какое расстояние проезжает автомашина за $20 \text{ с}$, если её скорость:

а) $90 \text{ км/ч}$;

б) $126 \text{ км/ч}$;

в) $108 \text{ км/ч}$;

г) $162 \text{ км/ч}$?

Для решения задачи необходимо найти расстояние, зная скорость и время. Расстояние ($S$) вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ — это скорость, а $t$ — время движения.

В условии задачи время дано в секундах ($t = 20 \text{ с}$), а скорость — в километрах в час (км/ч). Чтобы рассчитать расстояние в метрах, необходимо привести единицы измерения к единой системе (СИ). Для этого переведем скорость из км/ч в м/с, используя следующее соотношение:

$1 \text{ км/ч} = \frac{1000 \text{ метров}}{3600 \text{ секунд}} = \frac{5}{18} \text{ м/с}$

Теперь рассчитаем расстояние для каждого случая.

а) Скорость автомашины $v = 90 \text{ км/ч}$.
Сначала переведем скорость в м/с:
$v = 90 \cdot \frac{5}{18} = 5 \cdot 5 = 25 \text{ м/с}$.
Теперь рассчитаем расстояние, которое проедет машина за 20 секунд:
$S = v \cdot t = 25 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 500 \text{ м}$.
Ответ: 500 м.

б) Скорость автомашины $v = 126 \text{ км/ч}$.
Переведем скорость в м/с:
$v = 126 \cdot \frac{5}{18} = 7 \cdot 5 = 35 \text{ м/с}$.
Рассчитаем расстояние, которое проедет машина за 20 секунд:
$S = v \cdot t = 35 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 700 \text{ м}$.
Ответ: 700 м.

в) Скорость автомашины $v = 108 \text{ км/ч}$.
Переведем скорость в м/с:
$v = 108 \cdot \frac{5}{18} = 6 \cdot 5 = 30 \text{ м/с}$.
Рассчитаем расстояние, которое проедет машина за 20 секунд:
$S = v \cdot t = 30 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 600 \text{ м}$.
Ответ: 600 м.

г) Скорость автомашины $v = 162 \text{ км/ч}$.
Переведем скорость в м/с:
$v = 162 \cdot \frac{5}{18} = 9 \cdot 5 = 45 \text{ м/с}$.
Рассчитаем расстояние, которое проедет машина за 20 секунд:
$S = v \cdot t = 45 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ с} = 900 \text{ м}$.
Ответ: 900 м.

99. Выразите в метрах в минуту:

а) $60 \text{ км/ч}$;

б) $120 \text{ км/ч}$;

в) $72 \text{ км/ч}$;

г) $48 \text{ км/ч}$.

а)

Чтобы выразить скорость 60 км/ч в метрах в минуту (м/мин), необходимо перевести километры в метры и часы в минуты.
Мы знаем, что:
1 километр (км) = 1000 метров (м)
1 час (ч) = 60 минут (мин)
Следовательно, для перевода км/ч в м/мин, мы должны умножить значение скорости на 1000 и разделить на 60.
$60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{60 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{60000 \text{ м}}{60 \text{ мин}}$
Сократив 60 в числителе и знаменателе, получаем:
$1 \times 1000 \text{ м/мин} = 1000 \text{ м/мин}$.
Ответ: 1000 м/мин.

б)

Аналогично переводим 120 км/ч в м/мин, используя тот же коэффициент перевода.
$120 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{120 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{120000 \text{ м}}{60 \text{ мин}}$
Разделим 120 на 60:
$\frac{120}{60} \times 1000 \text{ м/мин} = 2 \times 1000 \text{ м/мин} = 2000 \text{ м/мин}$.
Ответ: 2000 м/мин.

в)

Переводим скорость 72 км/ч в м/мин.
$72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{72 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{72000 \text{ м}}{60 \text{ мин}}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10, а затем 7200 на 6:
$\frac{7200}{6} \text{ м/мин} = 1200 \text{ м/мин}$.
Ответ: 1200 м/мин.

г)

Переводим скорость 48 км/ч в м/мин.
$48 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{48 \times 1000 \text{ м}}{60 \text{ мин}} = \frac{48000 \text{ м}}{60 \text{ мин}}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10, а затем 4800 на 6:
$\frac{4800}{6} \text{ м/мин} = 800 \text{ м/мин}$.
Ответ: 800 м/мин.

100. Выразите в метрах в секунду:

а) $300 \text{ м/мин};$

б) $420 \text{ м/мин};$

в) $600 \text{ м/мин};$

г) $36 \text{ км/ч};$

д) $72 \text{ км/ч};$

е) $54 \text{ км/ч}.$

Для решения данной задачи необходимо выполнить перевод единиц измерения скорости. Основные соотношения, которые мы будем использовать:

• 1 минута = 60 секунд
• 1 километр = 1000 метров
• 1 час = 3600 секунд

а) Чтобы перевести метры в минуту (м/мин) в метры в секунду (м/с), нужно разделить значение скорости на 60, так как в одной минуте 60 секунд.
$300 \frac{м}{мин} = \frac{300 \ м}{60 \ с} = 5 \frac{м}{с}$
Ответ: 5 м/с.

б) Аналогично предыдущему пункту, делим значение скорости в м/мин на 60.
$420 \frac{м}{мин} = \frac{420 \ м}{60 \ с} = 7 \frac{м}{с}$
Ответ: 7 м/с.

в) Выполняем перевод скорости из м/мин в м/с, разделив на 60.
$600 \frac{м}{мин} = \frac{600 \ м}{60 \ с} = 10 \frac{м}{с}$
Ответ: 10 м/с.

г) Чтобы перевести километры в час (км/ч) в метры в секунду (м/с), нужно умножить значение на 1000 (для перевода километров в метры) и разделить на 3600 (для перевода часов в секунды).
$36 \frac{км}{ч} = \frac{36 \times 1000 \ м}{3600 \ с} = \frac{36000 \ м}{3600 \ с} = 10 \frac{м}{с}$
Ответ: 10 м/с.

д) Используем тот же метод для перевода км/ч в м/с: умножаем на 1000 и делим на 3600.
$72 \frac{км}{ч} = \frac{72 \times 1000 \ м}{3600 \ с} = \frac{72000 \ м}{3600 \ с} = 20 \frac{м}{с}$
Ответ: 20 м/с.

е) Переводим километры в час в метры в секунду.
$54 \frac{км}{ч} = \frac{54 \times 1000 \ м}{3600 \ с} = \frac{54000 \ м}{3600 \ с} = 15 \frac{м}{с}$
Ответ: 15 м/с.