Страница 291 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

101. a) Для укладки 100 м труб можно купить трубы длиной 3 м по 38 р. за штуку или длиной 4 м по 50 р. за штуку. Какие трубы обойдутся дешевле?

б) Для покрытия пола кафельной плиткой можно купить 8 упаковок по 36 плиток размером $15 \times 15$ см или 7 упаковок по 24 плитки размером $20 \times 20$ см. В каком случае будет больше отходов?

в) Для оклейки комнаты можно купить 8 рулонов обоев шириной 50 см или 7 рулонов обоев шириной 60 см. В каком случае будет больше отходов, если длина обоев в рулоне в обоих случаях 10 м? Какое условие задачи лишнее?

а)

1. Рассчитаем стоимость покупки труб длиной 3 м.
Для укладки 100 м труб потребуется $100 / 3 \approx 33,33$ штук. Так как трубы продаются целиком, необходимо купить 34 трубы.
Стоимость составит: $34 \times 38 = 1292$ р.

2. Рассчитаем стоимость покупки труб длиной 4 м.
Для укладки 100 м труб потребуется $100 / 4 = 25$ штук.
Стоимость составит: $25 \times 50 = 1250$ р.

3. Сравним стоимость: $1250 \text{ р.} < 1292 \text{ р.}$
Следовательно, покупка труб длиной 4 м обойдется дешевле.

Ответ: дешевле обойдутся трубы длиной 4 м.

б)

Чтобы определить, в каком случае будет больше отходов, нужно сравнить общую площадь купленной плитки в обоих вариантах. Предполагается, что площадь пола, который нужно покрыть, одинакова, и в обоих случаях купленной плитки достаточно. Больше отходов будет в том варианте, где общая площадь купленной плитки больше.

1. Рассчитаем общую площадь плитки в первом случае.
Количество плиток: $8 \text{ упаковок} \times 36 \text{ плиток/упаковку} = 288$ плиток.
Площадь одной плитки: $15 \text{ см} \times 15 \text{ см} = 225 \text{ см}^2$.
Общая площадь: $288 \times 225 = 64800 \text{ см}^2$.

2. Рассчитаем общую площадь плитки во втором случае.
Количество плиток: $7 \text{ упаковок} \times 24 \text{ плитки/упаковку} = 168$ плиток.
Площадь одной плитки: $20 \text{ см} \times 20 \text{ см} = 400 \text{ см}^2$.
Общая площадь: $168 \times 400 = 67200 \text{ см}^2$.

3. Сравним общие площади: $67200 \text{ см}^2 > 64800 \text{ см}^2$.
Во втором случае общая площадь купленной плитки больше, следовательно, и отходов будет больше.

Ответ: больше отходов будет во втором случае (при покупке 7 упаковок плитки размером 20×20 см).

в)

Аналогично предыдущей задаче, чтобы определить, в каком случае будет больше отходов, нужно сравнить общую площадь купленных обоев. Больше отходов будет в том случае, где общая площадь обоев больше.

1. Рассчитаем общую площадь обоев в первом случае.
Ширина рулона: $50 \text{ см} = 0,5 \text{ м}$.
Площадь одного рулона: $0,5 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 5 \text{ м}^2$.
Общая площадь: $8 \text{ рулонов} \times 5 \text{ м}^2/\text{рулон} = 40 \text{ м}^2$.

2. Рассчитаем общую площадь обоев во втором случае.
Ширина рулона: $60 \text{ см} = 0,6 \text{ м}$.
Площадь одного рулона: $0,6 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 6 \text{ м}^2$.
Общая площадь: $7 \text{ рулонов} \times 6 \text{ м}^2/\text{рулон} = 42 \text{ м}^2$.

3. Сравним общие площади: $42 \text{ м}^2 > 40 \text{ м}^2$.
Во втором случае общая площадь купленных обоев больше, значит, и отходов будет больше.

Лишнее условие в задаче — это конкретное значение длины обоев в рулоне (10 м). Для ответа на вопрос, где будет больше отходов, достаточно знать, что длина рулонов в обоих случаях одинакова. Сравнение можно было провести, сравнив произведения количества рулонов на их ширину: $8 \times 50 = 400$ и $7 \times 60 = 420$. Так как $420 > 400$, вывод будет тем же.

Ответ: больше отходов будет во втором случае (при покупке обоев шириной 60 см). Лишнее условие — длина обоев в рулоне 10 м.

102. Некто имел 99 м сетки для ограждения участка прямоугольной формы. Каковы должны быть размеры участка, чтобы он занимал наибольшую площадь, если ограда должна иметь калитку шириной 1 м?

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$ метров.

Длина сетки составляет 99 м. Кроме сетки в ограде есть калитка шириной 1 м. Таким образом, общий периметр $P$ участка, который включает и сетку, и калитку, равен сумме их длин: $P = 99 + 1 = 100$ м.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Исходя из этого, мы можем составить уравнение: $2(a + b) = 100$ $a + b = 50$

Площадь прямоугольного участка $S$ равна произведению его сторон: $S = a \cdot b$. Нам нужно найти такое соотношение сторон, при котором площадь будет максимальной.

Из уравнения для периметра выразим одну сторону через другую, например, $b$ через $a$: $b = 50 - a$.

Подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $a$: $S(a) = a \cdot (50 - a) = 50a - a^2$.

Функция $S(a) = -a^2 + 50a$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицательный (равен -1). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. Для нашей функции $A = -1$, $B = 50$. Найдем значение $a$, при котором площадь максимальна: $a = -\frac{50}{2 \cdot (-1)} = -\frac{50}{-2} = 25$ м.

Теперь найдем длину второй стороны $b$: $b = 50 - a = 50 - 25 = 25$ м.

Следовательно, участок будет иметь наибольшую площадь, если он будет иметь форму квадрата со стороной 25 метров.

Ответ: размеры участка должны быть 25 м на 25 м.

103. Некто хочет приобрести прямоугольный участок земли площадью 4 сотки. Какими могут быть длина и ширина этого участка? В каком случае периметр участка будет наименьшим?

Сначала переведем площадь участка из соток в квадратные метры. Известно, что 1 сотка равна 100 квадратным метрам ($м^2$).

Площадь участка $S = 4 \text{ сотки} = 4 \times 100 \text{ м}^2 = 400 \text{ м}^2$.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины ($a$) и ширины ($b$):

$S = a \cdot b$

В нашем случае $a \cdot b = 400$.

Какими могут быть длина и ширина этого участка?

Существует бесконечное множество пар чисел, произведение которых равно 400. Следовательно, длина и ширина участка могут иметь различные значения. Приведем несколько возможных вариантов размеров участка в метрах:

• Длина 40 м и ширина 10 м ( $40 \times 10 = 400$ )
• Длина 20 м и ширина 20 м ( $20 \times 20 = 400$ )
• Длина 50 м и ширина 8 м ( $50 \times 8 = 400$ )
• Длина 80 м и ширина 5 м ( $80 \times 5 = 400$ )
• Длина 100 м и ширина 4 м ( $100 \times 4 = 400$ )
• Длина 25 м и ширина 16 м ( $25 \times 16 = 400$ )

Ответ: Длина и ширина участка могут быть любыми двумя положительными числами, произведение которых равно 400. Например, 10 м и 40 м, 8 м и 50 м, 20 м и 20 м.

В каком случае периметр участка будет наименьшим?

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле:

$P = 2(a + b)$

Нам нужно найти, при каких значениях $a$ и $b$ периметр $P$ будет минимальным, при условии, что площадь $a \cdot b = 400$ постоянна.

Известно, что из всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат. Это можно доказать с помощью неравенства о средних. Для положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Сумма $a+b$ будет наименьшей, когда достигается равенство, то есть когда $a=b$.

Поскольку периметр $P = 2(a+b)$ прямо пропорционален сумме $a+b$, он также будет наименьшим при $a=b$. Это означает, что участок должен иметь форму квадрата.

Найдем сторону такого квадрата. Его площадь $S = a^2 = 400 \text{ м}^2$.

$a = \sqrt{400} = 20 \text{ м}$

Таким образом, длина и ширина участка должны быть равны 20 метрам. Найдем наименьший периметр:

$P_{min} = 2(20 + 20) = 80 \text{ м}$

Ответ: Периметр участка будет наименьшим в том случае, если участок является квадратом со сторонами 20 м на 20 м.

104. В Московском метрополитене разрешается бесплатно провозить предметы, сумма трёх измерений которых не превышает $150 \text{ см}$. Какие размеры может иметь коробка, сумма измерений которой $150 \text{ см}$? В каком случае объём этой коробки будет наибольшим?

Какие размеры может иметь коробка, сумма измерений которой 150 см?
Обозначим три измерения коробки (длину, ширину и высоту) как $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, сумма этих измерений должна быть равна 150 см: $a + b + c = 150$.
Это уравнение имеет бесконечное множество решений в положительных числах. Размеры коробки могут быть любыми тремя положительными числами, которые в сумме дают 150. Вот несколько примеров:

• $a = 60$ см, $b = 50$ см, $c = 40$ см. Проверка: $60 + 50 + 40 = 150$ см.
• $a = 80$ см, $b = 30$ см, $c = 40$ см. Проверка: $80 + 30 + 40 = 150$ см.
• $a = 100$ см, $b = 25$ см, $c = 25$ см. Проверка: $100 + 25 + 25 = 150$ см.

Таким образом, существует бесконечное количество комбинаций размеров для такой коробки.
Ответ: Любые три положительных числа, сумма которых равна 150, например, 60 см, 50 см и 40 см.

В каком случае объём этой коробки будет наибольшим?
Объём коробки $V$ вычисляется как произведение её трёх измерений: $V = a \cdot b \cdot c$. Нам нужно найти максимальное значение $V$ при условии, что $a + b + c = 150$.
Для решения этой задачи воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Для трёх положительных чисел $a$, $b$ и $c$ оно выглядит так:
$\frac{a + b + c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$
Равенство в этом неравенстве достигается только тогда, когда $a = b = c$.
Подставим в неравенство известную нам сумму измерений: $\frac{150}{3} \ge \sqrt[3]{V}$
$50 \ge \sqrt[3]{V}$
Возведя обе части в куб, получим: $50^3 \ge V$
$125000 \ge V$
Таким образом, максимальное значение объёма $V$ равно 125 000 см³. Оно достигается при условии равенства в неравенстве Коши, то есть когда все три измерения одинаковы: $a = b = c$.
Найдем значения этих измерений: $a + a + a = 150$
$3a = 150$
$a = 50$ см
Следовательно, $a = b = c = 50$ см. Это означает, что коробка должна иметь форму куба.
Ответ: Объём коробки будет наибольшим, когда она имеет форму куба со стороной 50 см.

105. Определите на глаз длину отрезка:

а) в сантиметрах (рис. 192);

б) в миллиметрах (рис. 193).

Проверьте результат с помощью линейки.

Рис. 192

а) A B

б) C D

в) M N

Рис. 193

а) A B

б) C D

в) M N

Задача состоит из двух частей. В первой части нужно определить длину отрезков на рисунке 192 в сантиметрах, а во второй — на рисунке 193 в миллиметрах. Для каждого отрезка сначала дается оценка длины на глаз, а затем приводится точное значение, полученное с помощью измерения линейкой.

а) Определение длины отрезков на рис. 192 в сантиметрах.

а) Оценим на глаз длину отрезка AB. Визуально она составляет примерно 2,5 см. Проверим измерение с помощью линейки. Точная длина отрезка AB равна 2,5 см.

Ответ: $AB = 2,5 \text{ см}$

б) На глаз, длина отрезка CD кажется около 3,5 см. Измерение линейкой показывает, что его точная длина составляет 3,5 см.

Ответ: $CD = 3,5 \text{ см}$

в) Визуально, длина отрезка MN оценивается примерно в 4,5 см. После проверки с помощью линейки мы находим, что точная длина отрезка MN равна 4,5 см.

Ответ: $MN = 4,5 \text{ см}$

б) Определение длины отрезков на рис. 193 в миллиметрах.

а) Оценим на глаз длину отрезка AB. Кажется, что его длина около 20-25 мм. Измерив линейкой, получаем точный результат — 23 мм.

Ответ: $AB = 23 \text{ мм}$

б) На глаз, длина отрезка CD составляет примерно 30-35 мм. Измерение с помощью линейки показывает, что точная длина отрезка равна 33 мм.

Ответ: $CD = 33 \text{ мм}$

в) Визуально, длина отрезка MN кажется равной примерно 40 мм. Проверка с помощью линейки подтверждает эту оценку.

Ответ: $MN = 40 \text{ мм}$