Номер 104, страница 291 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

104. В Московском метрополитене разрешается бесплатно провозить предметы, сумма трёх измерений которых не превышает $150 \text{ см}$. Какие размеры может иметь коробка, сумма измерений которой $150 \text{ см}$? В каком случае объём этой коробки будет наибольшим?

Какие размеры может иметь коробка, сумма измерений которой 150 см?
Обозначим три измерения коробки (длину, ширину и высоту) как $a$, $b$ и $c$. По условию задачи, сумма этих измерений должна быть равна 150 см: $a + b + c = 150$.
Это уравнение имеет бесконечное множество решений в положительных числах. Размеры коробки могут быть любыми тремя положительными числами, которые в сумме дают 150. Вот несколько примеров:

• $a = 60$ см, $b = 50$ см, $c = 40$ см. Проверка: $60 + 50 + 40 = 150$ см.
• $a = 80$ см, $b = 30$ см, $c = 40$ см. Проверка: $80 + 30 + 40 = 150$ см.
• $a = 100$ см, $b = 25$ см, $c = 25$ см. Проверка: $100 + 25 + 25 = 150$ см.

Таким образом, существует бесконечное количество комбинаций размеров для такой коробки.
Ответ: Любые три положительных числа, сумма которых равна 150, например, 60 см, 50 см и 40 см.

В каком случае объём этой коробки будет наибольшим?
Объём коробки $V$ вычисляется как произведение её трёх измерений: $V = a \cdot b \cdot c$. Нам нужно найти максимальное значение $V$ при условии, что $a + b + c = 150$.
Для решения этой задачи воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Для трёх положительных чисел $a$, $b$ и $c$ оно выглядит так:
$\frac{a + b + c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$
Равенство в этом неравенстве достигается только тогда, когда $a = b = c$.
Подставим в неравенство известную нам сумму измерений: $\frac{150}{3} \ge \sqrt[3]{V}$
$50 \ge \sqrt[3]{V}$
Возведя обе части в куб, получим: $50^3 \ge V$
$125000 \ge V$
Таким образом, максимальное значение объёма $V$ равно 125 000 см³. Оно достигается при условии равенства в неравенстве Коши, то есть когда все три измерения одинаковы: $a = b = c$.
Найдем значения этих измерений: $a + a + a = 150$
$3a = 150$
$a = 50$ см
Следовательно, $a = b = c = 50$ см. Это означает, что коробка должна иметь форму куба.
Ответ: Объём коробки будет наибольшим, когда она имеет форму куба со стороной 50 см.