Номер 103, страница 291 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

103. Некто хочет приобрести прямоугольный участок земли площадью 4 сотки. Какими могут быть длина и ширина этого участка? В каком случае периметр участка будет наименьшим?

Сначала переведем площадь участка из соток в квадратные метры. Известно, что 1 сотка равна 100 квадратным метрам ($м^2$).

Площадь участка $S = 4 \text{ сотки} = 4 \times 100 \text{ м}^2 = 400 \text{ м}^2$.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины ($a$) и ширины ($b$):

$S = a \cdot b$

В нашем случае $a \cdot b = 400$.

Какими могут быть длина и ширина этого участка?

Существует бесконечное множество пар чисел, произведение которых равно 400. Следовательно, длина и ширина участка могут иметь различные значения. Приведем несколько возможных вариантов размеров участка в метрах:

• Длина 40 м и ширина 10 м ( $40 \times 10 = 400$ )
• Длина 20 м и ширина 20 м ( $20 \times 20 = 400$ )
• Длина 50 м и ширина 8 м ( $50 \times 8 = 400$ )
• Длина 80 м и ширина 5 м ( $80 \times 5 = 400$ )
• Длина 100 м и ширина 4 м ( $100 \times 4 = 400$ )
• Длина 25 м и ширина 16 м ( $25 \times 16 = 400$ )

Ответ: Длина и ширина участка могут быть любыми двумя положительными числами, произведение которых равно 400. Например, 10 м и 40 м, 8 м и 50 м, 20 м и 20 м.

В каком случае периметр участка будет наименьшим?

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле:

$P = 2(a + b)$

Нам нужно найти, при каких значениях $a$ и $b$ периметр $P$ будет минимальным, при условии, что площадь $a \cdot b = 400$ постоянна.

Известно, что из всех прямоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет квадрат. Это можно доказать с помощью неравенства о средних. Для положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Сумма $a+b$ будет наименьшей, когда достигается равенство, то есть когда $a=b$.

Поскольку периметр $P = 2(a+b)$ прямо пропорционален сумме $a+b$, он также будет наименьшим при $a=b$. Это означает, что участок должен иметь форму квадрата.

Найдем сторону такого квадрата. Его площадь $S = a^2 = 400 \text{ м}^2$.

$a = \sqrt{400} = 20 \text{ м}$

Таким образом, длина и ширина участка должны быть равны 20 метрам. Найдем наименьший периметр:

$P_{min} = 2(20 + 20) = 80 \text{ м}$

Ответ: Периметр участка будет наименьшим в том случае, если участок является квадратом со сторонами 20 м на 20 м.