Номер 110, страница 292 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

110. На сколько частей могут разбить круг три различные хорды?

Количество частей, на которые три различные хорды могут разбить круг, зависит от их взаимного расположения. В частности, ключевую роль играет количество точек пересечения хорд внутри круга. Проанализируем все возможные конфигурации.

Наименьшее число частей получается тогда, когда хорды не пересекаются друг с другом внутри круга. Это возможно, только если все три хорды параллельны.

• Первая хорда делит круг на 2 части.
• Вторая хорда, параллельная первой, проходит через одну из существующих частей и делит её на две. Общее число частей становится $2 + 1 = 3$.
• Третья хорда, параллельная первым двум, также делит одну из существующих частей надвое. Общее число частей становится $3 + 1 = 4$.

Таким образом, при параллельном расположении хорд круг делится на 4 части.

Наибольшее число частей получается тогда, когда количество точек пересечения хорд максимально. Для трёх хорд это 3 точки пересечения. Такая ситуация возникает, когда каждая хорда пересекает две другие в различных точках (то есть хорды попарно пересекаются, но не проходят через одну общую точку). Такое расположение называют общим положением.

• Первая хорда делит круг на 2 части.
• Вторая хорда пересекает первую в одной точке. Она проходит через 2 области и, разделяя их, добавляет 2 новые части. Всего становится $2 + 2 = 4$ части.
• Третья хорда пересекает первые две в двух новых, различных точках. Эти две точки делят третью хорду на 3 сегмента. Каждый из этих сегментов проходит через одну из существующих областей и делит её на две. Таким образом, добавляется 3 новые части. Всего становится $4 + 3 = 7$ частей.

Таким образом, в случае общего положения круг делится на 7 частей.

Существуют также конфигурации, которые дают промежуточное количество частей. Все они приводят к одному и тому же результату — 6 частям.

• Две хорды параллельны, а третья их пересекает. В этом случае есть 2 точки пересечения. Две параллельные хорды делят круг на 3 части. Третья хорда, пересекая их, проходит через все 3 части, добавляя 3 новые. Итого: $3 + 3 = 6$ частей.
• Все три хорды пересекаются в одной точке. В этом случае есть только 1 точка пересечения. Первые две пересекающиеся хорды делят круг на 4 части. Третья хорда, проходя через их общую точку, делится ею на 2 сегмента. Эти сегменты проходят через две противолежащие части, добавляя 2 новые. Итого: $4 + 2 = 6$ частей.
• Две хорды пересекаются, а третья параллельна одной из них. Здесь 2 точки пересечения. Две пересекающиеся хорды делят круг на 4 части. Третья хорда пересекает только одну из них. Эта точка делит третью хорду на 2 сегмента, которые проходят через 2 области, добавляя 2 новые части. Итого: $4 + 2 = 6$ частей.

Во всех этих случаях круг делится на 6 частей.

Итак, проанализировав все возможные варианты взаимного расположения трех различных хорд, мы выяснили, что они могут разбить круг на 4, 6 или 7 частей.

Ответ: 4, 6 или 7.