Номер 112, страница 292 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

112. Дана окружность, постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат на этой окружности.

Чтобы построить равносторонний треугольник, вершины которого лежат на данной окружности, необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку.

1. Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Если центр окружности не указан, его можно найти как точку пересечения серединных перпендикуляров к двум любым непараллельным хордам.

2. Проведем через центр $O$ произвольный диаметр. Обозначим точки пересечения диаметра с окружностью буквами $A$ и $D$. Точка $A$ будет одной из вершин искомого треугольника.

3. Установим раствор циркуля равным радиусу данной окружности $R$.

4. Поставим острие циркуля в точку $D$ и проведем дугу так, чтобы она пересекла исходную окружность в двух точках. Обозначим эти точки пересечения как $B$ и $C$.

5. Соединим отрезками точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым равносторонним треугольником.

Чтобы доказать, что построенный треугольник $ABC$ является равносторонним, докажем равенство его сторон $AB$, $BC$ и $AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ODB$ и $\triangle ODC$. Стороны $OD$, $OB$ и $OC$ равны радиусу $R$ данной окружности, так как точки $B$, $C$ и $D$ лежат на ней. По построению, мы провели дугу из точки $D$ радиусом, равным $R$, чтобы найти точки $B$ и $C$. Следовательно, длины отрезков $DB$ и $DC$ также равны $R$.

Таким образом, в треугольнике $\triangle ODB$ все стороны равны: $OD = OB = DB = R$. Значит, $\triangle ODB$ — равносторонний, и все его углы равны $60^{\circ}$. В частности, центральный угол $\angle DOB = 60^{\circ}$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle ODC$ все стороны равны: $OD = OC = DC = R$. Значит, $\triangle ODC$ также является равносторонним, и центральный угол $\angle DOC = 60^{\circ}$.

Так как $AD$ — это диаметр, то угол $\angle AOD$ является развернутым и равен $180^{\circ}$. Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на дугу $AB$, является смежным с углом $\angle DOB$. Следовательно, $\angle AOB = 180^{\circ} - \angle DOB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Точно так же, центральный угол $\angle AOC$, опирающийся на дугу $AC$, равен $\angle AOC = 180^{\circ} - \angle DOC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Центральный угол $\angle BOC$, опирающийся на дугу $BC$, равен сумме углов $\angle DOB$ и $\angle DOC$: $\angle BOC = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Мы получили, что центральные углы, стягивающие хорды $AB$, $BC$ и $AC$, равны между собой: $\angle AOB = \angle BOC = \angle AOC = 120^{\circ}$. В одной окружности равные центральные углы стягивают равные хорды. Отсюда следует, что $AB = BC = AC$.

Поскольку все три стороны треугольника $ABC$ равны, он является равносторонним. Построение выполнено верно.

Ответ: Искомый равносторонний треугольник построен в соответствии с описанным алгоритмом, и его равносторонность доказана через равенство центральных углов, стягивающих его стороны.