Номер 108, страница 292 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

103. Постройте угол $ABC$, равный $120^\circ$. С помощью транспортира разделите угол $ABC$ на два угла так, чтобы один угол был:

а) в 2 раза больше другого;

б) в 3 раза меньше другого;

в) на $20^\circ$ больше другого;

г) на $30^\circ$ меньше другого.

Для решения задачи сначала нужно построить угол $∠ABC = 120°$ с помощью транспортира. Затем для каждого случая мы вычислим градусные меры двух углов, на которые нужно его разделить. Обозначим искомые углы как $α$ и $β$. Их сумма всегда будет равна $120°$, то есть $α + β = 120°$.

а) в 2 раза больше другого
Пусть один угол равен $x$. Тогда другой угол, который в 2 раза больше, равен $2x$. Их сумма равна $120°$.
Составим и решим уравнение:
$x + 2x = 120°$
$3x = 120°$
$x = 120° / 3 = 40°$
Один угол равен $40°$. Второй угол равен $2x = 2 \cdot 40° = 80°$.
Чтобы разделить угол $∠ABC$, нужно от одного из его лучей (например, $BA$) отложить с помощью транспортира угол в $40°$ и провести новый луч из вершины $B$. В результате получатся два угла: $40°$ и $80°$.
Ответ: углы равны $40°$ и $80°$.

б) в 3 раза меньше другого
Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол, который в 3 раза больше, равен $3x$. Их сумма равна $120°$.
Составим и решим уравнение:
$x + 3x = 120°$
$4x = 120°$
$x = 120° / 4 = 30°$
Меньший угол равен $30°$. Больший угол равен $3x = 3 \cdot 30° = 90°$.
Чтобы разделить угол $∠ABC$, нужно от одного из его лучей отложить с помощью транспортира угол в $30°$ и провести новый луч из вершины $B$. В результате получатся два угла: $30°$ и $90°$.
Ответ: углы равны $30°$ и $90°$.

в) на 20° больше другого
Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол равен $x + 20°$. Их сумма равна $120°$.
Составим и решим уравнение:
$x + (x + 20°) = 120°$
$2x + 20° = 120°$
$2x = 120° - 20°$
$2x = 100°$
$x = 50°$
Меньший угол равен $50°$. Больший угол равен $50° + 20° = 70°$.
Чтобы разделить угол $∠ABC$, нужно от одного из его лучей отложить с помощью транспортира угол в $50°$ и провести новый луч из вершины $B$. В результате получатся два угла: $50°$ и $70°$.
Ответ: углы равны $50°$ и $70°$.

г) на 30° меньше другого
Пусть больший угол равен $x$. Тогда меньший угол равен $x - 30°$. Их сумма равна $120°$.
Составим и решим уравнение:
$x + (x - 30°) = 120°$
$2x - 30° = 120°$
$2x = 120° + 30°$
$2x = 150°$
$x = 75°$
Больший угол равен $75°$. Меньший угол равен $75° - 30° = 45°$.
Чтобы разделить угол $∠ABC$, нужно от одного из его лучей отложить с помощью транспортира угол в $45°$ и провести новый луч из вершины $B$. В результате получатся два угла: $45°$ и $75°$.
Ответ: углы равны $45°$ и $75°$.