Номер 109, страница 292 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

109. С помощью транспортира постройте угол величиной $100^\circ$.

Из вершины угла проведите луч так, чтобы один из образовавшихся углов был:

а) в 4 раза больше другого;

б) на $20^\circ$ больше другого.

Сколько решений имеет каждая из задач а) и б)?

Сначала с помощью транспортира строим угол, равный $100^\circ$. Затем из его вершины проводим луч, который делит этот угол на два меньших. Сумма этих двух углов будет равна $100^\circ$.

а) Пусть величина одного из образовавшихся углов равна $x$. По условию, другой угол в 4 раза больше, значит, его величина равна $4x$. Сумма этих углов равна исходному углу в $100^\circ$. Составим и решим уравнение:

$x + 4x = 100^\circ$

$5x = 100^\circ$

$x = \frac{100^\circ}{5}$

$x = 20^\circ$

Таким образом, один угол равен $20^\circ$, а другой — $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$. Проверка: $20^\circ + 80^\circ = 100^\circ$.

Задача имеет два геометрических решения, так как луч можно провести двумя способами: отложить от одной стороны исходного угла угол в $20^\circ$ (тогда второй будет $80^\circ$) или отложить угол в $80^\circ$ (тогда второй будет $20^\circ$). Это два разных положения луча.

Ответ: величины образовавшихся углов — $20^\circ$ и $80^\circ$. Задача имеет 2 решения.

б) Пусть величина меньшего из образовавшихся углов равна $y$. По условию, другой угол на $20^\circ$ больше, значит, его величина равна $y + 20^\circ$. Сумма этих углов равна исходному углу в $100^\circ$. Составим и решим уравнение:

$y + (y + 20^\circ) = 100^\circ$

$2y + 20^\circ = 100^\circ$

$2y = 100^\circ - 20^\circ$

$2y = 80^\circ$

$y = \frac{80^\circ}{2}$

$y = 40^\circ$

Таким образом, один угол равен $40^\circ$, а другой — $40^\circ + 20^\circ = 60^\circ$. Проверка: $40^\circ + 60^\circ = 100^\circ$.

Эта задача, как и предыдущая, имеет два геометрических решения. Луч можно провести так, чтобы от одной стороны исходного угла откладывался угол в $40^\circ$ (и тогда второй будет $60^\circ$), либо так, чтобы откладывался угол в $60^\circ$ (и тогда второй будет $40^\circ$).

Ответ: величины образовавшихся углов — $40^\circ$ и $60^\circ$. Задача имеет 2 решения.