Страница 285 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

64. а) На двух полках стояло 12 книг. Когда с первой полки на вторую переставили столько книг, сколько до этого стояло на второй полке, то книг на полках стало поровну. Определите, сколько книг первоначально стояло на первой полке и сколько — на второй.

б) У Светы и Наташи вместе было 8 яблок. Света дала Наташе столько яблок, сколько было у Наташи. Потом Наташа дала Свете столько яблок, сколько осталось у Светы. После этого у девочек яблок стало поровну. Сколько яблок первоначально было у каждой девочки?

в) Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик даёт другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них имеет; наконец, третий даёт каждому из двух столько яблок, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у мальчиков оказалось по 8 яблок. Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

а)

Пусть $x$ — количество книг, которое первоначально стояло на первой полке, а $y$ — количество книг на второй полке. По условию, всего на двух полках было 12 книг, значит, $x + y = 12$.

Когда с первой полки на вторую переставили столько книг, сколько до этого стояло на второй, то есть $y$ книг, количество книг на полках стало поровну. Общее количество книг не изменилось, поэтому на каждой полке стало $12 / 2 = 6$ книг.

После перестановки на первой полке осталось $x - y$ книг, а на второй стало $y + y = 2y$ книг.

Составим систему уравнений на основе конечного состояния:

1. Количество книг на второй полке: $2y = 6$.

2. Количество книг на первой полке: $x - y = 6$.

Из первого уравнения находим $y$: $y = 6 / 2 = 3$. Значит, на второй полке первоначально было 3 книги.

Подставим значение $y$ во второе уравнение, чтобы найти $x$: $x - 3 = 6$, откуда $x = 9$. Значит, на первой полке первоначально было 9 книг.

Проверим: Изначально было 9 и 3 книги. С первой полки на вторую переставили 3 книги. На первой осталось $9 - 3 = 6$ книг. На второй стало $3 + 3 = 6$ книг. Количество книг на полках стало равным.

Ответ: Первоначально на первой полке стояло 9 книг, а на второй — 3 книги.

б)

Эту задачу удобнее решать с конца. Общее количество яблок (8) не менялось.

1. В конце у девочек яблок стало поровну. Значит, у каждой стало по $8 / 2 = 4$ яблока.
Света: 4 яблока, Наташа: 4 яблока.

2. Рассмoтрим предыдущий шаг: "Наташа дала Свете столько яблок, сколько осталось у Светы". Это означает, что количество яблок у Светы удвоилось. Следовательно, до этого действия у Светы было $4 / 2 = 2$ яблока. Наташа дала Свете 2 яблока, значит, у Наташи до этого было $4 + 2 = 6$ яблок.
Перед последним действием: Света: 2 яблока, Наташа: 6 яблок.

3. Рассмoтрим самый первый шаг: "Света дала Наташе столько яблок, сколько было у Наташи". Это означает, что количество яблок у Наташи удвоилось. Следовательно, в самом начале у Наташи было $6 / 2 = 3$ яблока. Света дала Наташе 3 яблока, значит, у Светы вначале было $2 + 3 = 5$ яблок.
Изначально: Света: 5 яблок, Наташа: 3 яблока.

Проверим: Изначально у Светы 5, у Наташи 3. Света дает Наташе 3 яблока. У Светы становится $5 - 3 = 2$, у Наташи $3 + 3 = 6$. Затем Наташа дает Свете 2 яблока. У Наташи становится $6 - 2 = 4$, у Светы $2 + 2 = 4$. В итоге у обеих по 4 яблока.

Ответ: Первоначально у Светы было 5 яблок, а у Наташи — 3 яблока.

в)

Эту задачу также решаем с конца. Общее количество яблок не меняется.

1. В конце у троих мальчиков оказалось по 8 яблок. Общее количество яблок: $3 \times 8 = 24$.
Состояние в конце: Мальчик 1: 8, Мальчик 2: 8, Мальчик 3: 8.

2. Перед этим третий мальчик дал двум другим столько яблок, сколько у них было. Это значит, что количество яблок у первого и второго мальчиков удвоилось. Чтобы найти предыдущее состояние, нужно разделить их количество яблок на 2, а отданное количество прибавить к яблокам третьего мальчика.
Мальчик 1: $8 / 2 = 4$.
Мальчик 2: $8 / 2 = 4$.
Мальчик 3 отдал им $4 + 4 = 8$ яблок, значит у него было: $8 + 8 = 16$.
Состояние перед последним действием: (4, 4, 16).

3. Перед этим второй мальчик дал двум другим (первому и третьему) столько яблок, сколько у них было. То есть их количество яблок удвоилось. Проводим обратную операцию.
Мальчик 1: $4 / 2 = 2$.
Мальчик 3: $16 / 2 = 8$.
Мальчик 2 отдал им $2 + 8 = 10$ яблок, значит у него было: $4 + 10 = 14$.
Состояние перед вторым действием: (2, 14, 8).

4. Перед этим первый мальчик дал двум другим (второму и третьему) столько яблок, сколько у них было. Их количество яблок удвоилось.
Мальчик 2: $14 / 2 = 7$.
Мальчик 3: $8 / 2 = 4$.
Мальчик 1 отдал им $7 + 4 = 11$ яблок, значит у него было: $2 + 11 = 13$.
Начальное состояние: (13, 7, 4).

Ответ: Вначале у первого мальчика было 13 яблок, у второго — 7 яблок, а у третьего — 4 яблока.

65. a) За краски и две кисти заплатили 321 р. 90 к., за краски и кисть — 217 р. 20 к. Сколько стоят краски? Сколько стоит кисть?

б) За две тетради и ручку заплатили 66 р. 60 к., а за тетрадь и две ручки заплатили 99 р. 30 к. Сколько стоит тетрадь? Сколько стоит ручка?

в) За три линейки и угольник заплатили 112 р., а за линейку и три угольника заплатили 224 р. Сколько стоит линейка? Сколько стоит угольник?

а)

Обозначим стоимость красок как $Кр$, а стоимость одной кисти как $Ки$. Из условия задачи мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Краски и две кисти стоят 321 р. 90 к.: $Кр + 2 \cdot Ки = 321,90$

2. Краски и одна кисть стоят 217 р. 20 к.: $Кр + Ки = 217,20$

Чтобы найти стоимость одной кисти, можно вычесть второе уравнение из первого. Разница в цене ( $321,90 - 217,20$ ) как раз и будет стоимостью одной кисти, так как набор красок один и тот же, а количество кистей отличается на одну.

$(Кр + 2 \cdot Ки) - (Кр + Ки) = 321,90 - 217,20$

$Ки = 104,70$ р.

Таким образом, одна кисть стоит 104 рубля 70 копеек.

Теперь найдем стоимость красок, подставив найденную стоимость кисти во второе уравнение:

$Кр + 104,70 = 217,20$

$Кр = 217,20 - 104,70$

$Кр = 112,50$ р.

Стоимость красок составляет 112 рублей 50 копеек.

Ответ: краски стоят 112 р. 50 к., кисть стоит 104 р. 70 к.

б)

Обозначим стоимость одной тетради как $Т$, а стоимость одной ручки как $Р$. Составим систему уравнений на основе условия:

1. Две тетради и ручка стоят 66 р. 60 к.: $2 \cdot Т + Р = 66,60$

2. Тетрадь и две ручки стоят 99 р. 30 к.: $Т + 2 \cdot Р = 99,30$

Сложим оба уравнения. Получим стоимость трех тетрадей и трех ручек:

$(2 \cdot Т + Р) + (Т + 2 \cdot Р) = 66,60 + 99,30$

$3 \cdot Т + 3 \cdot Р = 165,90$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти стоимость одной тетради и одной ручки вместе:

$Т + Р = 55,30$ р.

Теперь, зная, что $Т + Р = 55,30$, мы можем найти стоимость тетради из первого уравнения, представив его как $Т + (Т + Р) = 66,60$:

$Т + 55,30 = 66,60$

$Т = 66,60 - 55,30$

$Т = 11,30$ р.

Стоимость одной тетради — 11 рублей 30 копеек.

Теперь найдем стоимость ручки, используя найденную ранее сумму:

$Р = 55,30 - Т = 55,30 - 11,30 = 44,00$ р.

Стоимость одной ручки — 44 рубля.

Ответ: тетрадь стоит 11 р. 30 к., ручка стоит 44 р.

в)

Обозначим стоимость одной линейки как $Л$, а стоимость одного угольника как $У$. Составим систему уравнений:

1. Три линейки и угольник стоят 112 р.: $3 \cdot Л + У = 112$

2. Линейка и три угольника стоят 224 р.: $Л + 3 \cdot У = 224$

Сложим оба уравнения, чтобы найти общую стоимость четырех линеек и четырех угольников:

$(3 \cdot Л + У) + (Л + 3 \cdot У) = 112 + 224$

$4 \cdot Л + 4 \cdot У = 336$

Разделим обе части на 4, чтобы узнать, сколько стоят одна линейка и один угольник вместе:

$Л + У = 84$ р.

Теперь из первого уравнения $3 \cdot Л + У = 112$ выделим сумму $(Л + У)$:

$2 \cdot Л + (Л + У) = 112$

Подставим известное значение $Л + У = 84$:

$2 \cdot Л + 84 = 112$

$2 \cdot Л = 112 - 84$

$2 \cdot Л = 28$

$Л = 14$ р.

Стоимость одной линейки — 14 рублей.

Теперь найдем стоимость угольника:

$У = 84 - Л = 84 - 14 = 70$ р.

Стоимость одного угольника — 70 рублей.

Ответ: линейка стоит 14 р., угольник стоит 70 р.

66. Три утёнка и четыре гусёнка весят 2 кг 500 г, а четыре утёнка и три гусёнка весят 2 кг 400 г. Сколько весит гусёнок?

Для решения этой задачи обозначим вес одного утёнка как $у$, а вес одного гусёнка как $г$. Для удобства расчётов переведём все значения веса в граммы:

• 2 кг 500 г = $2 \times 1000 + 500 = 2500$ г
• 2 кг 400 г = $2 \times 1000 + 400 = 2400$ г

На основе условия задачи составим систему из двух линейных уравнений:

1) $3у + 4г = 2500$ (три утёнка и четыре гусёнка весят 2500 г)

2) $4у + 3г = 2400$ (четыре утёнка и три гусёнка весят 2400 г)

Сначала сложим эти два уравнения. Это позволит найти общий вес семи утят и семи гусят:

$(3у + 4г) + (4у + 3г) = 2500 + 2400$

$7у + 7г = 4900$

Теперь разделим обе части полученного уравнения на 7, чтобы узнать, сколько весят один утёнок и один гусёнок вместе:

$у + г = 700$

Далее, вычтем второе уравнение ($4у + 3г = 2400$) из первого ($3у + 4г = 2500$), чтобы найти разницу в их весе:

$(3у + 4г) - (4у + 3г) = 2500 - 2400$

$3у + 4г - 4у - 3г = 100$

$г - у = 100$

Это уравнение показывает, что гусёнок тяжелее утёнка на 100 г.

Теперь у нас есть новая, более простая система из двух уравнений:

1) $у + г = 700$

2) $г - у = 100$

Чтобы найти вес гусёнка ($г$), сложим эти два новых уравнения:

$(у + г) + (г - у) = 700 + 100$

$2г = 800$

Отсюда находим вес одного гусёнка:

$г = \frac{800}{2} = 400$

Таким образом, один гусёнок весит 400 грамм.

Для проверки можно найти вес утёнка: из уравнения $у + г = 700$ следует, что $у = 700 - г = 700 - 400 = 300$ г. Теперь подставим веса в исходные условия:

• $3 \times 300\text{ г} + 4 \times 400\text{ г} = 900 + 1600 = 2500$ г. (Верно)
• $4 \times 300\text{ г} + 3 \times 400\text{ г} = 1200 + 1200 = 2400$ г. (Верно)

Ответ: гусёнок весит 400 г.

67. а) Две бригады убрали картофель с площади 12 га за 4 дня. Первая бригада может выполнить эту работу за 6 дней. За сколько дней вторая бригада может выполнить ту же работу?

б) В рукописи 42 страницы. Один оператор набирает рукопись за 3 ч, а другой — за 6 ч. За сколько часов они набрали бы рукопись при совместной работе?

в) Бак вмещает 600 л воды. Через первый кран его можно заполнить за 10 мин, а через второй — за 15 мин. За сколько минут можно заполнить бак через оба крана?

г) Скорый поезд проезжает расстояние между двумя городами, равное 900 км, за 10 ч, а товарный — за 15 ч. Через сколько часов встретятся поезда, если одновременно выйдут из этих городов навстречу друг другу?

а)

Данная задача решается через нахождение производительности труда каждой бригады. Примем всю работу (уборку картофеля с 12 га) за 1.

1. Найдем общую производительность двух бригад, работающих вместе. Они выполняют всю работу за 4 дня, значит, их производительность равна:

$P_{общ} = \frac{1}{4}$ (часть работы в день)

2. Найдем производительность первой бригады. Она одна выполняет всю работу за 6 дней:

$P_1 = \frac{1}{6}$ (часть работы в день)

3. Чтобы найти производительность второй бригады, нужно из общей производительности вычесть производительность первой бригады:

$P_2 = P_{общ} - P_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$P_2 = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$ (часть работы в день)

4. Теперь, зная производительность второй бригады, найдем время, за которое она выполнит всю работу. Для этого разделим 1 (вся работа) на производительность второй бригады:

$T_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12$ (дней)

Ответ: 12 дней.

б)

Эту задачу также решим через производительность. Примем всю рукопись за 1.

1. Найдем производительность первого оператора (какую часть рукописи он набирает за 1 час):

$P_1 = \frac{1}{3}$ (часть рукописи в час)

2. Найдем производительность второго оператора:

$P_2 = \frac{1}{6}$ (часть рукописи в час)

3. Найдем их совместную производительность, сложив их индивидуальные производительности:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$P_{общ} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (часть рукописи в час)

4. Чтобы найти время, за которое они наберут рукопись вместе, разделим всю работу (1) на их совместную производительность:

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ (часа)

Ответ: 2 часа.

в)

Задача аналогична предыдущей. Примем полный объем бака за 1.

1. Определим производительность (скорость заполнения) первого крана:

$P_1 = \frac{1}{10}$ (часть бака в минуту)

2. Определим производительность второго крана:

$P_2 = \frac{1}{15}$ (часть бака в минуту)

3. Найдем общую производительность при одновременной работе двух кранов, сложив их производительности:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$P_{общ} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ (часть бака в минуту)

4. Найдем время, необходимое для заполнения бака через оба крана. Для этого разделим объем работы (1) на общую производительность:

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6$ (минут)

Ответ: 6 минут.

г)

Это задача на встречное движение. Для ее решения найдем скорости поездов и их скорость сближения.

1. Найдем скорость скорого поезда, разделив расстояние на время в пути:

$v_1 = \frac{S}{t_1} = \frac{900}{10} = 90$ (км/ч)

2. Найдем скорость товарного поезда:

$v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{900}{15} = 60$ (км/ч)

3. Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 90 + 60 = 150$ (км/ч)

4. Чтобы найти время до встречи, нужно разделить общее расстояние на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{900}{150} = 6$ (часов)

Ответ: 6 часов.