Номер 67, страница 285 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

67. а) Две бригады убрали картофель с площади 12 га за 4 дня. Первая бригада может выполнить эту работу за 6 дней. За сколько дней вторая бригада может выполнить ту же работу?

б) В рукописи 42 страницы. Один оператор набирает рукопись за 3 ч, а другой — за 6 ч. За сколько часов они набрали бы рукопись при совместной работе?

в) Бак вмещает 600 л воды. Через первый кран его можно заполнить за 10 мин, а через второй — за 15 мин. За сколько минут можно заполнить бак через оба крана?

г) Скорый поезд проезжает расстояние между двумя городами, равное 900 км, за 10 ч, а товарный — за 15 ч. Через сколько часов встретятся поезда, если одновременно выйдут из этих городов навстречу друг другу?

а)

Данная задача решается через нахождение производительности труда каждой бригады. Примем всю работу (уборку картофеля с 12 га) за 1.

1. Найдем общую производительность двух бригад, работающих вместе. Они выполняют всю работу за 4 дня, значит, их производительность равна:

$P_{общ} = \frac{1}{4}$ (часть работы в день)

2. Найдем производительность первой бригады. Она одна выполняет всю работу за 6 дней:

$P_1 = \frac{1}{6}$ (часть работы в день)

3. Чтобы найти производительность второй бригады, нужно из общей производительности вычесть производительность первой бригады:

$P_2 = P_{общ} - P_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$P_2 = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$ (часть работы в день)

4. Теперь, зная производительность второй бригады, найдем время, за которое она выполнит всю работу. Для этого разделим 1 (вся работа) на производительность второй бригады:

$T_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12$ (дней)

Ответ: 12 дней.

б)

Эту задачу также решим через производительность. Примем всю рукопись за 1.

1. Найдем производительность первого оператора (какую часть рукописи он набирает за 1 час):

$P_1 = \frac{1}{3}$ (часть рукописи в час)

2. Найдем производительность второго оператора:

$P_2 = \frac{1}{6}$ (часть рукописи в час)

3. Найдем их совместную производительность, сложив их индивидуальные производительности:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$P_{общ} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (часть рукописи в час)

4. Чтобы найти время, за которое они наберут рукопись вместе, разделим всю работу (1) на их совместную производительность:

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ (часа)

Ответ: 2 часа.

в)

Задача аналогична предыдущей. Примем полный объем бака за 1.

1. Определим производительность (скорость заполнения) первого крана:

$P_1 = \frac{1}{10}$ (часть бака в минуту)

2. Определим производительность второго крана:

$P_2 = \frac{1}{15}$ (часть бака в минуту)

3. Найдем общую производительность при одновременной работе двух кранов, сложив их производительности:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 30:

$P_{общ} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ (часть бака в минуту)

4. Найдем время, необходимое для заполнения бака через оба крана. Для этого разделим объем работы (1) на общую производительность:

$T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6$ (минут)

Ответ: 6 минут.

г)

Это задача на встречное движение. Для ее решения найдем скорости поездов и их скорость сближения.

1. Найдем скорость скорого поезда, разделив расстояние на время в пути:

$v_1 = \frac{S}{t_1} = \frac{900}{10} = 90$ (км/ч)

2. Найдем скорость товарного поезда:

$v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{900}{15} = 60$ (км/ч)

3. Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 90 + 60 = 150$ (км/ч)

4. Чтобы найти время до встречи, нужно разделить общее расстояние на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{900}{150} = 6$ (часов)

Ответ: 6 часов.