Номер 70, страница 286 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

70. а) Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 р.; сложившись без второго, — 85 р.; сложившись без третьего, — 80 р.; сложившись без четвёртого, — 75 р. Сколько у кого денег?

б) Отец имеет семь сыновей. Сумма возрастов первого и четвёртого сына равна 9 годам, первого и шестого — 8 годам, второго и пятого — 8 годам, второго и третьего — 9 годам, третьего и шестого — 6 годам, четвёртого и седьмого — 4 годам, а седьмого и пятого — также 4 годам. Сколько лет каждому? (Возраст каждого из сыновей выражается натуральным числом.)

а)

Обозначим сумму денег, имеющуюся у каждого из четырех купцов, как $x_1$, $x_2$, $x_3$ и $x_4$ соответственно. Исходя из условия задачи, мы можем составить систему из четырех линейных уравнений:

• Сумма без первого купца: $x_2 + x_3 + x_4 = 90$
• Сумма без второго купца: $x_1 + x_3 + x_4 = 85$
• Сумма без третьего купца: $x_1 + x_2 + x_4 = 80$
• Сумма без четвертого купца: $x_1 + x_2 + x_3 = 75$

Пусть $S$ — общая сумма денег всех четырех купцов, то есть $S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4$. Тогда каждое уравнение можно переписать следующим образом:

• $S - x_1 = 90$
• $S - x_2 = 85$
• $S - x_3 = 80$
• $S - x_4 = 75$

Сложим все четыре исходных уравнения: $(x_2 + x_3 + x_4) + (x_1 + x_3 + x_4) + (x_1 + x_2 + x_4) + (x_1 + x_2 + x_3) = 90 + 85 + 80 + 75$. В левой части каждая переменная встречается трижды. $3x_1 + 3x_2 + 3x_3 + 3x_4 = 330$ $3(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) = 330$ $3S = 330$ $S = 110$ р.

Теперь, зная общую сумму, мы можем найти, сколько денег у каждого купца:

• У первого купца: $x_1 = S - 90 = 110 - 90 = 20$ р.
• У второго купца: $x_2 = S - 85 = 110 - 85 = 25$ р.
• У третьего купца: $x_3 = S - 80 = 110 - 80 = 30$ р.
• У четвертого купца: $x_4 = S - 75 = 110 - 75 = 35$ р.

Ответ: у первого купца 20 рублей, у второго — 25 рублей, у третьего — 30 рублей, у четвертого — 35 рублей.

б)

Обозначим возраст семерых сыновей как $s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, s_6, s_7$. По условию задачи, возраст каждого сына — натуральное число. Составим систему уравнений на основе данных:

1. $s_1 + s_4 = 9$
2. $s_1 + s_6 = 8$
3. $s_2 + s_5 = 8$
4. $s_2 + s_3 = 9$
5. $s_3 + s_6 = 6$
6. $s_4 + s_7 = 4$
7. $s_7 + s_5 = 4$

Из уравнений (6) и (7) следует, что $s_4 + s_7 = s_7 + s_5$, откуда получаем, что $s_4 = s_5$.

Рассмотрим уравнение (6): $s_4 + s_7 = 4$. Поскольку возраст — натуральное число (то есть $s_4 \ge 1$ и $s_7 \ge 1$), возможны следующие варианты:

• Если $s_7 = 1$, то $s_4 = 3$. Так как $s_4 = s_5$, то $s_5 = 3$.
• Если $s_7 = 2$, то $s_4 = 2$. Тогда и $s_5 = 2$.
• Если $s_7 = 3$, то $s_4 = 1$. Тогда и $s_5 = 1$.

Проверим каждый из этих случаев.

Случай 1: $s_7 = 1, s_4 = 3, s_5 = 3$.

• Из (1): $s_1 + s_4 = 9 \implies s_1 + 3 = 9 \implies s_1 = 6$.
• Из (2): $s_1 + s_6 = 8 \implies 6 + s_6 = 8 \implies s_6 = 2$.
• Из (3): $s_2 + s_5 = 8 \implies s_2 + 3 = 8 \implies s_2 = 5$.
• Из (4): $s_2 + s_3 = 9 \implies 5 + s_3 = 9 \implies s_3 = 4$.

Теперь проверим, выполняется ли оставшееся уравнение (5): $s_3 + s_6 = 4 + 2 = 6$. Условие выполняется. Все возрасты получились натуральными числами. Это единственное верное решение.

Случай 2: $s_7 = 2, s_4 = 2, s_5 = 2$.

• Из (1): $s_1 + s_4 = 9 \implies s_1 + 2 = 9 \implies s_1 = 7$.
• Из (2): $s_1 + s_6 = 8 \implies 7 + s_6 = 8 \implies s_6 = 1$.
• Из (4): $s_2 + s_3 = 9 \implies s_2 + 3 = 9 \implies s_3 = 6$.

Проверим уравнение (5): $s_3 + s_6 = 6 + 1 = 7$. Это противоречит условию $s_3 + s_6 = 6$. Следовательно, этот случай не является решением.

Случай 3: $s_7 = 3, s_4 = 1, s_5 = 1$.

• Из (1): $s_1 + s_4 = 9 \implies s_1 + 1 = 9 \implies s_1 = 8$.
• Из (2): $s_1 + s_6 = 8 \implies 8 + s_6 = 8 \implies s_6 = 0$.

Возраст не может быть равен 0, так как по условию он выражается натуральным числом. Этот случай также не является решением.

Таким образом, единственно верное решение было найдено в первом случае.

Ответ: возраст сыновей: первому — 6 лет, второму — 5 лет, третьему — 4 года, четвертому — 3 года, пятому — 3 года, шестому — 2 года, седьмому — 1 год.