Номер 76, страница 287 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

76. а) Два пешехода вышли из одного пункта в противоположных направлениях со скоростями 4 км/ч и 5 км/ч. Через сколько часов между ними будет 45 км?

б) Расстояние между городами равно 510 км. Два поезда вышли из этих городов одновременно навстречу друг другу со скоростями 80 км/ч и 90 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

в) Через сколько часов после начала движения расстояние между поездами в предыдущей задаче составит 170 км?

г) Скорость моторной лодки по течению 38 км/ч, а против течения — 33 км/ч. Какова скорость течения реки?

д) Расстояние между пристанями, равное 40 км, моторная лодка прошла по течению за $2\frac{1}{2}$ ч, против течения — за 4 ч. Какова скорость течения реки?

а) Два пешехода движутся в противоположных направлениях, поэтому для нахождения времени, через которое расстояние между ними станет 45 км, нужно использовать скорость удаления, которая равна сумме их скоростей.

1. Найдем скорость удаления пешеходов: $v_{уд} = 4 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч}$.

2. Найдем время, разделив необходимое расстояние на скорость удаления: $t = \frac{S}{v_{уд}} = \frac{45 \text{ км}}{9 \text{ км/ч}} = 5 \text{ ч}$.

Ответ: 5 часов.

б) Два поезда движутся навстречу друг другу. Чтобы найти время до их встречи, нужно использовать скорость сближения, которая равна сумме их скоростей.

1. Найдем скорость сближения поездов: $v_{сбл} = 80 \text{ км/ч} + 90 \text{ км/ч} = 170 \text{ км/ч}$.

2. Найдем время до встречи, разделив расстояние между городами на скорость сближения: $t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{510 \text{ км}}{170 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$.

Ответ: 3 часа.

в) Эта задача является продолжением предыдущей. Нужно найти время, когда расстояние между поездами сократится до 170 км.

1. Определим, какое расстояние поезда должны проехать вместе, чтобы между ними осталось 170 км. Это разница между начальным расстоянием и конечным: $S_{пройд} = 510 \text{ км} - 170 \text{ км} = 340 \text{ км}$.

2. Скорость сближения поездов известна из предыдущей задачи: $v_{сбл} = 170 \text{ км/ч}$.

3. Найдем время, разделив пройденное расстояние на скорость сближения: $t = \frac{S_{пройд}}{v_{сбл}} = \frac{340 \text{ км}}{170 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$.

Ответ: 2 часа.

г) Обозначим собственную скорость лодки как $v_л$, а скорость течения реки — как $v_т$. Скорость по течению равна $v_л + v_т$, а против течения — $v_л - v_т$.

1. Составим систему из двух уравнений:

$v_л + v_т = 38$

$v_л - v_т = 33$

2. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти удвоенную скорость течения:

$(v_л + v_т) - (v_л - v_т) = 38 - 33$

$2v_т = 5$

3. Найдем скорость течения: $v_т = \frac{5}{2} = 2,5 \text{ км/ч}$.

Ответ: 2,5 км/ч.

д) Сначала необходимо рассчитать скорость лодки по течению и против течения, используя данные о расстоянии (40 км) и времени.

1. Рассчитаем скорость по течению, учитывая, что время в пути составило $2\frac{1}{2}$ часа, или 2,5 часа:

$v_{по} = \frac{S}{t_{по}} = \frac{40 \text{ км}}{2,5 \text{ ч}} = 16 \text{ км/ч}$.

2. Рассчитаем скорость против течения, время в пути — 4 часа:

$v_{пр} = \frac{S}{t_{пр}} = \frac{40 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$.

3. Как и в предыдущей задаче, составим систему уравнений ($v_л$ — собственная скорость, $v_т$ — скорость течения):

$v_л + v_т = 16$

$v_л - v_т = 10$

4. Вычтем второе уравнение из первого:

$(v_л + v_т) - (v_л - v_т) = 16 - 10$

$2v_т = 6$

5. Найдем скорость течения: $v_т = \frac{6}{2} = 3 \text{ км/ч}$.

Ответ: 3 км/ч.