Номер 79, страница 288 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

79. а) Из первого крана бак наполняется за 4 мин, а из второго — за 12 мин. За сколько минут наполнится бак, если открыть оба крана одновременно?

б) Грузовая машина проедет расстояние между городами за 60 мин, а легковая — за 40 мин. Через сколько минут встретятся машины, если выедут из этих городов одновременно навстречу друг другу?

в) Два пешехода вышли одновременно из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу и встретились через 20 мин, а ещё через 25 мин первый пешеход пришёл в пункт $B$. Через сколько минут после встречи второй пешеход пришёл в пункт $A$?

г) Если бы не было дырки в баке, то он наполнился бы из крана за 7 мин. Вся вода вытекает из полного бака за 56 мин. Определите, за сколько минут наполнится этот дырявый бак из того же крана. Считайте, что вода из бака вытекает равномерно.

а) Примем объем бака за 1 условную единицу. Скорость наполнения (производительность) первого крана составляет $\frac{1}{4}$ бака в минуту, а второго — $\frac{1}{12}$ бака в минуту.

Когда оба крана открыты, их производительности складываются. Найдем общую производительность:

$v_{общ} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$v_{общ} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ бака в минуту.

Время, необходимое для наполнения всего бака, равно единице (полный бак), деленной на общую производительность:

$t = \frac{1}{1/3} = 3$ минуты.

Ответ: 3 минуты.

б) Примем все расстояние между городами за 1 условную единицу. Тогда скорость грузовой машины составляет $\frac{1}{60}$ расстояния в минуту, а легковой — $\frac{1}{40}$ расстояния в минуту.

Поскольку машины движутся навстречу друг другу, их скорости сближения складываются:

$v_{сбл} = \frac{1}{60} + \frac{1}{40}$

Приведем дроби к общему знаменателю 120:

$v_{сбл} = \frac{2}{120} + \frac{3}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$ расстояния в минуту.

Время до встречи равно расстоянию (1), деленному на скорость сближения:

$t = \frac{1}{1/24} = 24$ минуты.

Ответ: 24 минуты.

в) Пусть $v_1$ — скорость первого пешехода (из пункта А), а $v_2$ — скорость второго пешехода (из пункта В). Они встретились через 20 минут. Расстояние, которое прошел первый пешеход до встречи, равно $20 \cdot v_1$. Расстояние, которое прошел второй, — $20 \cdot v_2$.

После встречи первому пешеходу осталось пройти путь, который до этого прошел второй. На это ушло 25 минут. Следовательно, $20 \cdot v_2 = 25 \cdot v_1$.

Из этого соотношения найдем отношение скоростей пешеходов:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$

Второму пешеходу после встречи нужно пройти путь, который до этого прошел первый, то есть $20 \cdot v_1$. Время $t_2$, которое ему для этого понадобится, равно:

$t_2 = \frac{20 \cdot v_1}{v_2} = 20 \cdot \frac{v_1}{v_2}$

Подставим найденное отношение скоростей:

$t_2 = 20 \cdot \frac{4}{5} = 16$ минут.

Ответ: 16 минут.

г) Примем объем бака за 1 условную единицу. Скорость наполнения бака из крана составляет $\frac{1}{7}$ бака в минуту. Скорость вытекания воды из дырки составляет $\frac{1}{56}$ бака в минуту.

Когда кран открыт и вода одновременно вытекает, результирующая скорость наполнения бака равна разности скорости наполнения и скорости вытекания:

$v_{рез} = v_{нап} - v_{выт} = \frac{1}{7} - \frac{1}{56}$

Приведем дроби к общему знаменателю 56:

$v_{рез} = \frac{8}{56} - \frac{1}{56} = \frac{7}{56} = \frac{1}{8}$ бака в минуту.

Время, за которое наполнится дырявый бак, равно объему (1), деленному на результирующую скорость:

$t = \frac{1}{1/8} = 8$ минут.

Ответ: 8 минут.