Страница 288 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

79. а) Из первого крана бак наполняется за 4 мин, а из второго — за 12 мин. За сколько минут наполнится бак, если открыть оба крана одновременно?

б) Грузовая машина проедет расстояние между городами за 60 мин, а легковая — за 40 мин. Через сколько минут встретятся машины, если выедут из этих городов одновременно навстречу друг другу?

в) Два пешехода вышли одновременно из пунктов $A$ и $B$ навстречу друг другу и встретились через 20 мин, а ещё через 25 мин первый пешеход пришёл в пункт $B$. Через сколько минут после встречи второй пешеход пришёл в пункт $A$?

г) Если бы не было дырки в баке, то он наполнился бы из крана за 7 мин. Вся вода вытекает из полного бака за 56 мин. Определите, за сколько минут наполнится этот дырявый бак из того же крана. Считайте, что вода из бака вытекает равномерно.

а) Примем объем бака за 1 условную единицу. Скорость наполнения (производительность) первого крана составляет $\frac{1}{4}$ бака в минуту, а второго — $\frac{1}{12}$ бака в минуту.

Когда оба крана открыты, их производительности складываются. Найдем общую производительность:

$v_{общ} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$v_{общ} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ бака в минуту.

Время, необходимое для наполнения всего бака, равно единице (полный бак), деленной на общую производительность:

$t = \frac{1}{1/3} = 3$ минуты.

Ответ: 3 минуты.

б) Примем все расстояние между городами за 1 условную единицу. Тогда скорость грузовой машины составляет $\frac{1}{60}$ расстояния в минуту, а легковой — $\frac{1}{40}$ расстояния в минуту.

Поскольку машины движутся навстречу друг другу, их скорости сближения складываются:

$v_{сбл} = \frac{1}{60} + \frac{1}{40}$

Приведем дроби к общему знаменателю 120:

$v_{сбл} = \frac{2}{120} + \frac{3}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$ расстояния в минуту.

Время до встречи равно расстоянию (1), деленному на скорость сближения:

$t = \frac{1}{1/24} = 24$ минуты.

Ответ: 24 минуты.

в) Пусть $v_1$ — скорость первого пешехода (из пункта А), а $v_2$ — скорость второго пешехода (из пункта В). Они встретились через 20 минут. Расстояние, которое прошел первый пешеход до встречи, равно $20 \cdot v_1$. Расстояние, которое прошел второй, — $20 \cdot v_2$.

После встречи первому пешеходу осталось пройти путь, который до этого прошел второй. На это ушло 25 минут. Следовательно, $20 \cdot v_2 = 25 \cdot v_1$.

Из этого соотношения найдем отношение скоростей пешеходов:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$

Второму пешеходу после встречи нужно пройти путь, который до этого прошел первый, то есть $20 \cdot v_1$. Время $t_2$, которое ему для этого понадобится, равно:

$t_2 = \frac{20 \cdot v_1}{v_2} = 20 \cdot \frac{v_1}{v_2}$

Подставим найденное отношение скоростей:

$t_2 = 20 \cdot \frac{4}{5} = 16$ минут.

Ответ: 16 минут.

г) Примем объем бака за 1 условную единицу. Скорость наполнения бака из крана составляет $\frac{1}{7}$ бака в минуту. Скорость вытекания воды из дырки составляет $\frac{1}{56}$ бака в минуту.

Когда кран открыт и вода одновременно вытекает, результирующая скорость наполнения бака равна разности скорости наполнения и скорости вытекания:

$v_{рез} = v_{нап} - v_{выт} = \frac{1}{7} - \frac{1}{56}$

Приведем дроби к общему знаменателю 56:

$v_{рез} = \frac{8}{56} - \frac{1}{56} = \frac{7}{56} = \frac{1}{8}$ бака в минуту.

Время, за которое наполнится дырявый бак, равно объему (1), деленному на результирующую скорость:

$t = \frac{1}{1/8} = 8$ минут.

Ответ: 8 минут.

80. а) Половина книг школьной библиотеки — учебники. Шестая часть всех учебников — учебники математики. Какую часть от всех книг составляют учебники математики?

б) В классе 18 мальчиков и 16 девочек, $2/9$ мальчиков и $1/4$ девочек занимаются в литературном кружке. Сколько учащихся класса занимается в литературном кружке?

а) По условию задачи, половина всех книг в библиотеке — это учебники. Это составляет $ \frac{1}{2} $ от общего числа книг. Учебники по математике составляют шестую часть от всех учебников, то есть $ \frac{1}{6} $ от количества учебников. Чтобы найти, какую часть от всех книг библиотеки составляют учебники по математике, нужно найти часть от части, то есть перемножить доли:
$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1 \times 1}{2 \times 6} = \frac{1}{12} $
Следовательно, учебники по математике составляют $ \frac{1}{12} $ всех книг библиотеки.
Ответ: $ \frac{1}{12} $.

б) Сначала определим, сколько мальчиков занимается в литературном кружке. Для этого найдем $ \frac{2}{9} $ от общего числа мальчиков:
$ 18 \times \frac{2}{9} = \frac{18 \times 2}{9} = \frac{36}{9} = 4 $ мальчика.
Затем определим, сколько девочек занимается в литературном кружке. Для этого найдем $ \frac{1}{4} $ от общего числа девочек:
$ 16 \times \frac{1}{4} = \frac{16}{4} = 4 $ девочки.
Чтобы найти общее количество учащихся в литературном кружке, сложим количество мальчиков и девочек:
$ 4 + 4 = 8 $ учащихся.
Ответ: 8.

81. a) У мальчика было 24 р. Он потратил $\frac{1}{4}$ этой суммы и $\frac{1}{2}$ остатка. Сколько денег он потратил?

б) Туристы отправились в поход. За три дня они прошли 48 км. В первый день туристы прошли $\frac{1}{4}$ всего расстояния, а во второй день $-$ $\frac{5}{9}$ остатка. Сколько километров они прошли в третий день?

а)

1. Сначала найдем, сколько денег мальчик потратил в первый раз. Для этого умножим исходную сумму на $\frac{1}{4}$:
$24 \cdot \frac{1}{4} = 6$ р.

2. Затем вычислим, сколько денег у него осталось после первой траты:
$24 - 6 = 18$ р.

3. Теперь найдем, сколько денег он потратил во второй раз. Для этого умножим оставшуюся сумму на $\frac{1}{2}$:
$18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ р.

4. Чтобы узнать, сколько всего денег он потратил, сложим обе потраченные суммы:
$6 + 9 = 15$ р.

Ответ: 15 р.

б)

1. Найдем расстояние, которое туристы прошли в первый день. Для этого умножим общее расстояние на $\frac{1}{4}$:
$48 \cdot \frac{1}{4} = 12$ км.

2. Вычислим, какое расстояние им осталось пройти после первого дня:
$48 - 12 = 36$ км.

3. Теперь найдем расстояние, которое туристы прошли во второй день. Для этого умножим оставшийся путь на $\frac{5}{9}$:
$36 \cdot \frac{5}{9} = \frac{36 \cdot 5}{9} = 4 \cdot 5 = 20$ км.

4. Чтобы найти, сколько километров туристы прошли в третий день, нужно из общего расстояния вычесть расстояние, пройденное за первые два дня:
$48 - (12 + 20) = 48 - 32 = 16$ км.

Ответ: 16 км.