Страница 282 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

44. a) На экскурсию поехало в 3 раза больше девочек, чем мальчиков. Сколько девочек было среди 56 учащихся, поехавших на экскурсию?

б) Дедушке в 7 раз больше лет, чем внуку, который моложе дедушки на 48 лет. Сколько лет дедушке?

в) Под картофель в хозяйстве занята в 5 раз большая площадь, чем под морковь, а всего под картофель и морковь занято 27 га. Какая площадь занята под картофель?

а)

Давайте решим эту задачу с помощью уравнения. Пусть количество мальчиков будет $x$. По условию, девочек в 3 раза больше, значит, их количество равно $3x$. Всего учащихся 56.

Составим уравнение, сложив количество мальчиков и девочек:

$x + 3x = 56$

Сложим $x$ и $3x$:

$4x = 56$

Теперь найдем $x$, разделив 56 на 4:

$x = 56 / 4$

$x = 14$

Мы нашли количество мальчиков — их 14. Теперь найдем количество девочек, умножив количество мальчиков на 3:

$14 * 3 = 42$

Проверка: $14$ (мальчиков) $+ 42$ (девочки) $= 56$ (всего учащихся). Условие выполняется.

Ответ: среди учащихся было 42 девочки.

б)

Пусть возраст внука будет $x$ лет. По условию, дедушка в 7 раз старше, значит, его возраст $7x$ лет. Также мы знаем, что разница в их возрасте составляет 48 лет.

Составим уравнение на основе разницы в возрасте:

$7x - x = 48$

Вычтем $x$ из $7x$:

$6x = 48$

Теперь найдем $x$, разделив 48 на 6:

$x = 48 / 6$

$x = 8$

Итак, возраст внука — 8 лет. Теперь найдем возраст дедушки, умножив возраст внука на 7:

$8 * 7 = 56$

Проверка: $56$ (возраст дедушки) $- 8$ (возраст внука) $= 48$ лет. Условие выполняется.

Ответ: дедушке 56 лет.

в)

Пусть площадь, занятая под морковь, равна $x$ га. По условию, площадь под картофель в 5 раз больше, значит, она равна $5x$ га. Общая площадь, занятая под обе культуры, составляет 27 га.

Составим уравнение, сложив площади под морковь и картофель:

$x + 5x = 27$

Сложим $x$ и $5x$:

$6x = 27$

Теперь найдем $x$, разделив 27 на 6:

$x = 27 / 6$

$x = 4.5$

Итак, площадь под морковь составляет 4,5 га. Найдем площадь под картофель, умножив эту величину на 5:

$4.5 * 5 = 22.5$

Проверка: $4.5$ га (под морковь) $+ 22.5$ га (под картофель) $= 27$ га. Условие выполняется.

Ответ: под картофель занята площадь 22,5 га.

45. a) В коллекции 357 марок, причём российских марок на 45 больше, чем иностранных. Сколько в коллекции российских марок?

б) У Васи было 280 р. Он потратил на 100 р. больше, чем у него осталось. Сколько денег у него осталось?

в) В автобусе ехало 55 человек. На остановке вышло на 7 человек меньше, чем осталось. Сколько человек осталось?

г) В магазин привезли 200 кг яблок. До обеда было продано на 12 кг больше, чем осталось. Сколько килограммов яблок было продано до обеда?

а)

Пусть $x$ — количество иностранных марок в коллекции. По условию, российских марок на 45 больше, значит их количество равно $x + 45$.

Всего в коллекции 357 марок. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 45) = 357$

$2x + 45 = 357$

$2x = 357 - 45$

$2x = 312$

$x = 312 \div 2$

$x = 156$ (иностранных марок).

Теперь найдем количество российских марок:

$156 + 45 = 201$ (российская марка).

Ответ: в коллекции 201 российская марка.

б)

Пусть $x$ — количество денег (в рублях), которое осталось у Васи. По условию, он потратил на 100 рублей больше, чем осталось, то есть $x + 100$ рублей.

Изначально у Васи было 280 рублей, что является суммой потраченных денег и остатка. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 100) = 280$

$2x + 100 = 280$

$2x = 280 - 100$

$2x = 180$

$x = 180 \div 2$

$x = 90$ (рублей).

Ответ: у Васи осталось 90 рублей.

в)

Пусть $x$ — количество человек, которое осталось в автобусе. По условию, на остановке вышло на 7 человек меньше, чем осталось, то есть вышло $x - 7$ человек.

Всего в автобусе ехало 55 человек, что является суммой вышедших и оставшихся. Составим и решим уравнение:

$x + (x - 7) = 55$

$2x - 7 = 55$

$2x = 55 + 7$

$2x = 62$

$x = 62 \div 2$

$x = 31$ (человек).

Ответ: в автобусе остался 31 человек.

г)

Пусть $x$ — количество килограммов яблок, которое осталось. По условию, до обеда продали на 12 кг больше, чем осталось, то есть продали $x + 12$ кг.

Всего в магазин привезли 200 кг яблок, что является суммой проданных и оставшихся яблок. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 12) = 200$

$2x + 12 = 200$

$2x = 200 - 12$

$2x = 188$

$x = 188 \div 2$

$x = 94$ (кг) — это количество оставшихся яблок.

Вопрос задачи — сколько килограммов яблок было продано до обеда. Найдем это значение:

$94 + 12 = 106$ (кг).

Ответ: до обеда было продано 106 килограммов яблок.

46. Петр Петрович купил несколько одинаковых акций и планировал заработать 20 000 р. на их продаже по 700 р. за акцию. Через некоторое время он продал все акции по 660 р. за акцию и заработал только 4000 р. Сколько рублей заплатил Петр Петрович за одну акцию при покупке?

Для решения задачи введем переменные:

Пусть $x$ — цена покупки одной акции в рублях.

Пусть $n$ — количество купленных акций.

Прибыль от продажи акций вычисляется как разница между общей суммой продажи и общей суммой покупки. Эта общая прибыль также равна произведению прибыли с одной акции на количество акций.

Исходя из планируемых условий, составим первое уравнение. Планируемая прибыль с одной акции составляет $(700 - x)$ рублей. Общая планируемая прибыль — 20 000 рублей.

$(700 - x) \cdot n = 20000$

Исходя из фактических условий, составим второе уравнение. Фактическая прибыль с одной акции составила $(660 - x)$ рублей. Общая фактическая прибыль — 4000 рублей.

$(660 - x) \cdot n = 4000$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $x$ и $n$:

$\begin{cases} (700 - x) \cdot n = 20000 \\ (660 - x) \cdot n = 4000 \end{cases}$

Чтобы найти $x$, разделим первое уравнение системы на второе. Это позволит нам избавиться от переменной $n$.

$\frac{(700 - x) \cdot n}{(660 - x) \cdot n} = \frac{20000}{4000}$

Сокращаем $n$ в левой части и вычисляем частное в правой части:

$\frac{700 - x}{660 - x} = 5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Умножим обе части на $(660 - x)$:

$700 - x = 5 \cdot (660 - x)$

Раскроем скобки в правой части:

$700 - x = 3300 - 5x$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$5x - x = 3300 - 700$

$4x = 2600$

Найдем $x$:

$x = \frac{2600}{4}$

$x = 650$

Таким образом, Петр Петрович заплатил 650 рублей за одну акцию при покупке.

Ответ: 650 рублей.

47. Иван Иванович купил несколько одинаковых акций и планировал заработать 50 000 р. на их продаже по 650 р. за акцию. Через некоторое время акции подешевели, и он продал все акции по 575 р. за акцию и потерял на этой продаже 25 000 р. Сколько рублей заплатил Иван Иванович за одну акцию при покупке?

Для решения задачи введем переменные:

• $P$ — цена, по которой Иван Иванович купил одну акцию (в рублях). Это искомая величина.
• $N$ — количество купленных акций.

1. Составление системы уравнений.

Сначала запишем условие о планируемой прибыли. Прибыль — это разница между суммой продажи и суммой покупки. Иван Иванович планировал продать $N$ акций по 650 рублей и заработать 50 000 рублей. Сумма покупки всех акций равна $N \times P$.

Получаем первое уравнение:

$650 \times N - P \times N = 50\;000$

$N(650 - P) = 50\;000 \quad (1)$

Теперь запишем условие о фактическом убытке. Убыток — это разница между суммой покупки и суммой продажи. Он продал $N$ акций по 575 рублей и потерял 25 000 рублей.

Получаем второе уравнение:

$P \times N - 575 \times N = 25\;000$

$N(P - 575) = 25\;000 \quad (2)$

2. Решение системы уравнений.

Мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $N$ и $P$:

$\begin{cases} N(650 - P) = 50\;000 \\ N(P - 575) = 25\;000 \end{cases}$

Самый простой способ решить эту систему — разделить первое уравнение на второе (поскольку правые части не равны нулю, это возможно):

$\frac{N(650 - P)}{N(P - 575)} = \frac{50\;000}{25\;000}$

Количество акций $N$ в левой части сокращается:

$\frac{650 - P}{P - 575} = 2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $P$:

$650 - P = 2 \times (P - 575)$

$650 - P = 2P - 1150$

Перенесем все слагаемые с $P$ в правую часть, а числовые значения — в левую:

$650 + 1150 = 2P + P$

$1800 = 3P$

$P = \frac{1800}{3}$

$P = 600$

Таким образом, цена покупки одной акции составляла 600 рублей.

Ответ: 600.

48. Задачи С. А. Рачинского.

а) Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5. Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов?

б) В школе равное число девочек и мальчиков. Я принёс 234 ореха, и каждому мальчику досталось по 5 орехов, каждой девочке — по 4 ореха. Но девочки обиделись, и в другой раз я принёс столько орехов, что всем досталось по 6. Сколько орехов я принёс?

а)

Обозначим общее количество учеников за $N$, а общее количество орехов за $O$.

Из первого условия задачи («Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5») мы можем составить первое уравнение. Один ученик получил 3 ореха, а остальные $(N-1)$ учеников получили по 5 орехов. Все орехи были розданы.
$O = 1 \cdot 3 + (N-1) \cdot 5$
$O = 3 + 5N - 5$
$O = 5N - 2$

Из второго условия («Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15») мы можем составить второе уравнение. Если бы каждый из $N$ учеников получил по 4 ореха, то осталось бы еще 15.
$O = N \cdot 4 + 15$
$O = 4N + 15$

Теперь у нас есть два выражения для общего количества орехов $O$. Приравняем их, чтобы найти количество учеников $N$:
$5N - 2 = 4N + 15$
$5N - 4N = 15 + 2$
$N = 17$
Таким образом, всего было 17 учеников.

Теперь, зная количество учеников, найдем общее количество орехов, подставив значение $N$ в любое из двух уравнений. Возьмем второе:
$O = 4 \cdot 17 + 15$
$O = 68 + 15$
$O = 83$

Ответ: было 83 ореха.

б)

Обозначим количество девочек за $g$, а количество мальчиков за $b$.

По условию, в школе равное число девочек и мальчиков:
$g = b$

В первый раз было принесено 234 ореха. Каждому мальчику досталось по 5 орехов, а каждой девочке — по 4. Составим уравнение, исходя из этого:
$5 \cdot b + 4 \cdot g = 234$

Поскольку $g = b$, мы можем заменить $g$ на $b$ в этом уравнении, чтобы найти количество мальчиков:
$5b + 4b = 234$
$9b = 234$
$b = 234 / 9$
$b = 26$
Значит, в школе было 26 мальчиков и, соответственно, 26 девочек.

Общее количество учеников в школе:
$26 + 26 = 52$ ученика.

Во второй раз принесли столько орехов, чтобы каждому из 52 учеников досталось по 6. Найдем это количество:
$52 \cdot 6 = 312$

Ответ: во второй раз я принёс 312 орехов.

49. Из «Азбуки» Л. Н. Толстого. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 р. меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собою, и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома?

Для решения задачи определим, какую сумму денег получили младшие братья от старших.

1. Найдем общую сумму денег, которую заплатили старшие братья.

Всего было три старших брата, и каждый из них заплатил по 800 р. Общая сумма, которую они передали младшим, составляет:

$3 \times 800 = 2400$ р.

2. Найдем, сколько денег получил каждый из младших братьев.

Младших братьев было двое ($5 - 3 = 2$). Они разделили полученные 2400 р. поровну между собой:

$2400 \div 2 = 1200$ р.

3. Определим стоимость доли каждого брата.

По условию, после всех расчетов наследство у всех братьев стало равным. Младшие братья получили только деньги, и никакой другой части наследства у них не было. Это означает, что справедливая доля каждого из пяти братьев в наследстве составляет 1200 р.

4. Рассчитаем общую стоимость всего наследства.

Поскольку братьев было пятеро и доля каждого равна 1200 р., общая стоимость всего наследства (которое состояло из трех домов) равна:

$1200 \times 5 = 6000$ р.

Таким образом, общая стоимость трех домов, составлявших все наследство, составляет 6000 рублей.

Проверка:
Общая стоимость домов — 6000 р. Если предположить, что дома стоили одинаково, то стоимость одного дома $6000 \div 3 = 2000$ р.
Каждый старший брат получил имущество стоимостью 2000 р. и заплатил 800 р. из своих денег. В итоге его доля наследства составила $2000 - 800 = 1200$ р.
Каждый младший брат получил 1200 р. деньгами.
Все доли равны, что соответствует условию задачи.

Ответ: 6000 р.