Страница 286 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

68. а) Токарь может обточить 72 заготовки за 3 ч, а его ученику на выполнение той же работы потребуется в 2 раза больше времени. За сколько часов они обточат 144 такие же заготовки при совместной работе?

б) На первом станке можно отштамповать 480 деталей за 4 ч, а на втором станке на выполнение той же работы потребуется в 3 раза больше времени. За какое время можно отштамповать 960 деталей при совместной работе двух станков?

а)

1. Найдем производительность токаря. Производительность – это количество работы, выполняемое за единицу времени.
$P_{токаря} = 72 \text{ заготовки} / 3 \text{ ч} = 24$ заготовки/час.

2. Найдем время, которое требуется ученику для выполнения той же работы (обточки 72 заготовок).
$T_{ученика} = 3 \text{ ч} \times 2 = 6$ часов.

3. Найдем производительность ученика.
$P_{ученика} = 72 \text{ заготовки} / 6 \text{ ч} = 12$ заготовок/час.

4. Найдем общую производительность при совместной работе токаря и ученика.
$P_{общая} = P_{токаря} + P_{ученика} = 24 + 12 = 36$ заготовок/час.

5. Теперь найдем, за сколько часов они вместе обточат 144 заготовки.
$T = \text{Объем работы} / P_{общая} = 144 / 36 = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.

б)

1. Найдем производительность первого станка.
$P_{1} = 480 \text{ деталей} / 4 \text{ ч} = 120$ деталей/час.

2. Найдем время, которое требуется второму станку для выполнения той же работы (штамповки 480 деталей).
$T_{2} = 4 \text{ ч} \times 3 = 12$ часов.

3. Найдем производительность второго станка.
$P_{2} = 480 \text{ деталей} / 12 \text{ ч} = 40$ деталей/час.

4. Найдем общую производительность двух станков при совместной работе.
$P_{общая} = P_{1} + P_{2} = 120 + 40 = 160$ деталей/час.

5. Теперь найдем, за какое время они вместе отштампуют 960 деталей.
$T = \text{Объем работы} / P_{общая} = 960 / 160 = 6$ часов.

Ответ: 6 часов.

69. Алёша и Боря вместе весят 82 кг, Алёша и Вова вместе весят 83 кг, Боря и Вова вместе весят 85 кг. Сколько весят вместе Алёша, Боря и Вова?

Для решения этой задачи обозначим вес каждого мальчика переменной: пусть $А$ — вес Алёши, $Б$ — вес Бори, а $В$ — вес Вовы.

Согласно условию, мы можем составить систему из трех уравнений:

1. Вес Алёши и Бори: $А + Б = 82$ кг.
2. Вес Алёши и Вовы: $А + В = 83$ кг.
3. Вес Бори и Вовы: $Б + В = 85$ кг.

Чтобы найти общий вес всех троих мальчиков ($А + Б + В$), мы можем сложить все три уравнения. Сложим левые части и правые части уравнений:

$(А + Б) + (А + В) + (Б + В) = 82 + 83 + 85$

Сгруппируем слагаемые в левой части. Мы видим, что вес каждого мальчика упоминается дважды:

$2А + 2Б + 2В = 250$

Теперь вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2 \cdot (А + Б + В) = 250$

Это удвоенный общий вес мальчиков. Чтобы найти их суммарный вес ($А + Б + В$), нужно разделить результат на 2:

$А + Б + В = \frac{250}{2}$

$А + Б + В = 125$

Таким образом, Алёша, Боря и Вова вместе весят 125 кг.

Ответ: 125 кг.

70. а) Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 р.; сложившись без второго, — 85 р.; сложившись без третьего, — 80 р.; сложившись без четвёртого, — 75 р. Сколько у кого денег?

б) Отец имеет семь сыновей. Сумма возрастов первого и четвёртого сына равна 9 годам, первого и шестого — 8 годам, второго и пятого — 8 годам, второго и третьего — 9 годам, третьего и шестого — 6 годам, четвёртого и седьмого — 4 годам, а седьмого и пятого — также 4 годам. Сколько лет каждому? (Возраст каждого из сыновей выражается натуральным числом.)

а)

Обозначим сумму денег, имеющуюся у каждого из четырех купцов, как $x_1$, $x_2$, $x_3$ и $x_4$ соответственно. Исходя из условия задачи, мы можем составить систему из четырех линейных уравнений:

• Сумма без первого купца: $x_2 + x_3 + x_4 = 90$
• Сумма без второго купца: $x_1 + x_3 + x_4 = 85$
• Сумма без третьего купца: $x_1 + x_2 + x_4 = 80$
• Сумма без четвертого купца: $x_1 + x_2 + x_3 = 75$

Пусть $S$ — общая сумма денег всех четырех купцов, то есть $S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4$. Тогда каждое уравнение можно переписать следующим образом:

• $S - x_1 = 90$
• $S - x_2 = 85$
• $S - x_3 = 80$
• $S - x_4 = 75$

Сложим все четыре исходных уравнения: $(x_2 + x_3 + x_4) + (x_1 + x_3 + x_4) + (x_1 + x_2 + x_4) + (x_1 + x_2 + x_3) = 90 + 85 + 80 + 75$. В левой части каждая переменная встречается трижды. $3x_1 + 3x_2 + 3x_3 + 3x_4 = 330$ $3(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) = 330$ $3S = 330$ $S = 110$ р.

Теперь, зная общую сумму, мы можем найти, сколько денег у каждого купца:

• У первого купца: $x_1 = S - 90 = 110 - 90 = 20$ р.
• У второго купца: $x_2 = S - 85 = 110 - 85 = 25$ р.
• У третьего купца: $x_3 = S - 80 = 110 - 80 = 30$ р.
• У четвертого купца: $x_4 = S - 75 = 110 - 75 = 35$ р.

Ответ: у первого купца 20 рублей, у второго — 25 рублей, у третьего — 30 рублей, у четвертого — 35 рублей.

б)

Обозначим возраст семерых сыновей как $s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, s_6, s_7$. По условию задачи, возраст каждого сына — натуральное число. Составим систему уравнений на основе данных:

1. $s_1 + s_4 = 9$
2. $s_1 + s_6 = 8$
3. $s_2 + s_5 = 8$
4. $s_2 + s_3 = 9$
5. $s_3 + s_6 = 6$
6. $s_4 + s_7 = 4$
7. $s_7 + s_5 = 4$

Из уравнений (6) и (7) следует, что $s_4 + s_7 = s_7 + s_5$, откуда получаем, что $s_4 = s_5$.

Рассмотрим уравнение (6): $s_4 + s_7 = 4$. Поскольку возраст — натуральное число (то есть $s_4 \ge 1$ и $s_7 \ge 1$), возможны следующие варианты:

• Если $s_7 = 1$, то $s_4 = 3$. Так как $s_4 = s_5$, то $s_5 = 3$.
• Если $s_7 = 2$, то $s_4 = 2$. Тогда и $s_5 = 2$.
• Если $s_7 = 3$, то $s_4 = 1$. Тогда и $s_5 = 1$.

Проверим каждый из этих случаев.

Случай 1: $s_7 = 1, s_4 = 3, s_5 = 3$.

• Из (1): $s_1 + s_4 = 9 \implies s_1 + 3 = 9 \implies s_1 = 6$.
• Из (2): $s_1 + s_6 = 8 \implies 6 + s_6 = 8 \implies s_6 = 2$.
• Из (3): $s_2 + s_5 = 8 \implies s_2 + 3 = 8 \implies s_2 = 5$.
• Из (4): $s_2 + s_3 = 9 \implies 5 + s_3 = 9 \implies s_3 = 4$.

Теперь проверим, выполняется ли оставшееся уравнение (5): $s_3 + s_6 = 4 + 2 = 6$. Условие выполняется. Все возрасты получились натуральными числами. Это единственное верное решение.

Случай 2: $s_7 = 2, s_4 = 2, s_5 = 2$.

• Из (1): $s_1 + s_4 = 9 \implies s_1 + 2 = 9 \implies s_1 = 7$.
• Из (2): $s_1 + s_6 = 8 \implies 7 + s_6 = 8 \implies s_6 = 1$.
• Из (4): $s_2 + s_3 = 9 \implies s_2 + 3 = 9 \implies s_3 = 6$.

Проверим уравнение (5): $s_3 + s_6 = 6 + 1 = 7$. Это противоречит условию $s_3 + s_6 = 6$. Следовательно, этот случай не является решением.

Случай 3: $s_7 = 3, s_4 = 1, s_5 = 1$.

• Из (1): $s_1 + s_4 = 9 \implies s_1 + 1 = 9 \implies s_1 = 8$.
• Из (2): $s_1 + s_6 = 8 \implies 8 + s_6 = 8 \implies s_6 = 0$.

Возраст не может быть равен 0, так как по условию он выражается натуральным числом. Этот случай также не является решением.

Таким образом, единственно верное решение было найдено в первом случае.

Ответ: возраст сыновей: первому — 6 лет, второму — 5 лет, третьему — 4 года, четвертому — 3 года, пятому — 3 года, шестому — 2 года, седьмому — 1 год.

71. Спортсмен плыл против течения реки. Проплывая под мостом, он потерял флягу. Через 10 мин пловец заметил пропажу и повернул обратно. Он догнал флягу у второго моста. Найдите скорость течения реки, если известно, что расстояние между мостами 1 км.

Эту задачу удобно решать в системе отсчета, связанной с водой. В этой системе отсчета вода неподвижна, а фляга, после того как ее потеряли, также остается неподвижной. Берега и мосты, в свою очередь, движутся относительно воды со скоростью течения.

Обозначим собственную скорость пловца (скорость относительно воды) как $v_c$, а скорость течения реки как $v_p$.

1. Когда пловец потерял флягу, он начал от нее удаляться (в системе отсчета воды) со скоростью $v_c$. По условию, это продолжалось $t_1 = 10$ минут.

2. Когда пловец заметил пропажу, он развернулся и поплыл обратно к фляге. Поскольку его скорость относительно воды осталась прежней ($v_c$), а расстояние, на которое он отдалился от фляги, равно расстоянию, которое ему нужно проплыть, чтобы вернуться, время на обратный путь ($t_2$) будет таким же, как и время удаления:

$t_2 = t_1 = 10 \text{ мин}$

3. Таким образом, общее время, прошедшее с момента потери фляги до момента, когда пловец ее догнал, составляет:

$T = t_1 + t_2 = 10 \text{ мин} + 10 \text{ мин} = 20 \text{ мин}$

4. Теперь вернемся в систему отсчета, связанную с берегом. За все это время $T$ фляга, двигаясь со скоростью течения реки $v_p$, проплыла расстояние между двумя мостами, которое равно $S = 1$ км.

5. Теперь мы можем найти скорость течения реки. Сначала переведем время в часы:

$T = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$

Скорость течения равна:

$v_p = \frac{S}{T} = \frac{1 \text{ км}}{\frac{1}{3} \text{ ч}} = 3 \text{ км/ч}$

Ответ: 3 км/ч.

72. Три соседки готовили обед на общей плите в коммунальной квартире. Первая принесла 10 поленьев, вторая — 8 поленьев, а у третьей дров не было — она угостила своих соседок, дав им 9 яблок. Как соседки должны поделить яблоки по справедливости?

Для того чтобы справедливо разделить яблоки, необходимо определить, какой вклад внесла каждая из первых двух соседок сверх своей доли. Справедливый раздел яблок должен быть пропорционален этому вкладу.

1. Сначала вычислим общее количество поленьев, которые были использованы для приготовления обеда:

$10 \text{ поленьев (от первой)} + 8 \text{ поленьев (от второй)} = 18 \text{ поленьев}$

2. Поскольку плитой пользовались три соседки в равной мере, то каждая из них потребила одинаковое количество тепла от дров. Разделим общее количество поленьев на троих, чтобы узнать долю каждой:

$18 \text{ поленьев} / 3 \text{ соседки} = 6 \text{ поленьев на каждую}$

3. Теперь определим "излишек" дров, который каждая из первых двух соседок предоставила для третьей.

• Первая соседка принесла 10 поленьев, а её собственная доля составила 6. Следовательно, она отдала на общие нужды (то есть, для третьей соседки) $10 - 6 = 4$ полена.
• Вторая соседка принесла 8 поленьев, а её доля — 6. Значит, она отдала $8 - 6 = 2$ полена.

Таким образом, третья соседка использовала 6 поленьев, из которых 4 были от первой соседки и 2 — от второй. Проверка: $4 + 2 = 6$.

4. Третья соседка в качестве платы за 6 поленьев дала 9 яблок. Эти яблоки нужно разделить между первой и второй соседками пропорционально их вкладу, то есть в соотношении 4:2, что эквивалентно 2:1.

Всего получается $2 + 1 = 3$ части. Найдем, сколько яблок приходится на одну часть:

$9 \text{ яблок} / 3 \text{ части} = 3 \text{ яблока на одну часть}$

Теперь распределим яблоки:

• Первая соседка, внесшая 2 части (4 полена), должна получить: $2 \text{ части} \times 3 \text{ яблока} = 6 \text{ яблок}$.
• Вторая соседка, внесшая 1 часть (2 полена), должна получить: $1 \text{ часть} \times 3 \text{ яблока} = 3 \text{ яблока}$.

Ответ: Первая соседка должна получить 6 яблок, а вторая соседка — 3 яблока.