Страница 289 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

82. Из «Азбуки» Л. Н. Толстого. Мужик вышел пешком из Тулы в Москву в 5 часов утра. В 12 часов выехал барин из Тулы в Москву. Мужик идёт 5 вёрст в каждый час, а барин едет 11 вёрст в каждый час. На какой версте барин догонит мужика?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов. Сначала определим, какое расстояние успел пройти мужик до того, как барин начал свое путешествие.

1. Мужик вышел в 5 часов утра, а барин выехал в 12 часов. Найдем разницу во времени, чтобы узнать, сколько времени мужик был в пути один:

$12 \text{ часов} - 5 \text{ часов} = 7 \text{ часов}$

2. За эти 7 часов мужик прошел некоторое расстояние. Зная его скорость (5 вёрст в час), вычислим это расстояние:

$S_1 = 5 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}} \times 7 \text{ часов} = 35 \text{ вёрст}$

Таким образом, в момент выезда барина, мужик находился на расстоянии 35 вёрст от Тулы.

3. Теперь найдем скорость, с которой барин догоняет мужика. Это называется скоростью сближения и равна разности их скоростей, так как они движутся в одном направлении:

$v_{\text{сближения}} = v_{\text{барина}} - v_{\text{мужика}} = 11 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}} - 5 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}} = 6 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}}$

4. Зная расстояние между ними (35 вёрст) и скорость сближения (6 вёрст/час), найдем время, через которое барин догонит мужика:

$t_{\text{встречи}} = \frac{S_1}{v_{\text{сближения}}} = \frac{35 \text{ вёрст}}{6 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}}} = \frac{35}{6} \text{ часа}$

5. Наконец, чтобы найти, на какой версте от Тулы произойдет встреча, умножим скорость барина на время, которое он был в пути до встречи:

$S_{\text{встречи}} = v_{\text{барина}} \times t_{\text{встречи}} = 11 \frac{\text{вёрст}}{\text{час}} \times \frac{35}{6} \text{ часа} = \frac{385}{6} \text{ вёрст}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число для более ясного ответа:

$\frac{385}{6} = 64 \frac{1}{6} \text{ вёрст}$

Ответ: Барин догонит мужика на $64 \frac{1}{6}$ версте.

83. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Два почтальона А и В находятся друг от друга на расстоянии 59 миль. Утром они отправляются друг другу навстречу. А проходит в 2 ч 7 миль, В — в 3 ч 8 миль, но В выходит часом позднее, чем А. Сколько миль пройдёт А до встречи с В?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов: сначала определить скорости каждого почтальона, затем учесть, что один из них вышел раньше, и после этого рассчитать время и расстояние до встречи.

1. Находим скорости почтальонов.
Скорость почтальона A ($v_A$) вычисляется как отношение пройденного расстояния ко времени. Он проходит 7 миль за 2 часа:
$v_A = \frac{7 \text{ миль}}{2 \text{ ч}} = 3,5$ мили/ч.
Скорость почтальона B ($v_B$) проходит 8 миль за 3 часа:
$v_B = \frac{8 \text{ миль}}{3 \text{ ч}} = \frac{8}{3}$ мили/ч.

2. Учитываем, что почтальон A вышел раньше.
По условию, B выходит на 1 час позже, чем A. Это значит, что первый час почтальон A двигался один. Рассчитаем расстояние, которое он прошел за это время ($S_{A1}$):
$S_{A1} = v_A \cdot t = 3,5 \frac{\text{мили}}{\text{ч}} \cdot 1 \text{ ч} = 3,5$ мили.

3. Находим оставшееся расстояние.
К моменту выхода почтальона B, расстояние между ними сократилось. Вычтем из общего расстояния путь, который уже прошел A:
$S_{ост} = 59 \text{ миль} - 3,5 \text{ мили} = 55,5$ миль.

4. Рассчитываем время до встречи.
Теперь почтальоны движутся навстречу друг другу. Их скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_A + v_B = 3,5 + \frac{8}{3} = \frac{7}{2} + \frac{8}{3} = \frac{21+16}{6} = \frac{37}{6}$ мили/ч.
Время, через которое они встретятся ($t_{встр}$), равно оставшемуся расстоянию, деленному на скорость сближения:
$t_{встр} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{55,5}{\frac{37}{6}} = \frac{111}{2} \cdot \frac{6}{37} = \frac{111 \cdot 6}{2 \cdot 37}$.
Так как $111 = 3 \cdot 37$, мы можем упростить выражение:
$t_{встр} = \frac{3 \cdot 37 \cdot 6}{2 \cdot 37} = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9$ часов.
Это время, которое они двигались вместе до встречи.

5. Находим общее расстояние, пройденное почтальоном A.
Общее время в пути для почтальона A ($t_A$) — это 1 час, который он шел один, плюс 9 часов, которые он шел до встречи с B:
$t_A = 1 \text{ ч} + 9 \text{ ч} = 10$ часов.
Теперь найдем общее расстояние, которое прошел A ($S_A$), умножив его скорость на общее время в пути:
$S_A = v_A \cdot t_A = 3,5 \frac{\text{мили}}{\text{ч}} \cdot 10 \text{ ч} = 35$ миль.

Ответ: 35 миль.

84. Первая бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая — за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, а потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней выполнено задание?

Для решения задачи примем весь объем работы за 1 (единицу).

1. Определим производительность каждой бригады.

Производительность — это часть работы, которую бригада выполняет за один день.

• Первая бригада может выполнить всю работу за 9 дней, следовательно, ее производительность равна $\frac{1}{9}$ работы в день.

• Вторая бригада может выполнить всю работу за 12 дней, следовательно, ее производительность равна $\frac{1}{12}$ работы в день.

2. Вычислим, какую часть работы выполнила первая бригада.

Первая бригада работала 3 дня. Чтобы найти выполненный объем работы, умножим ее производительность на время работы:

$W_1 = \frac{1}{9} \times 3 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Таким образом, первая бригада выполнила $\frac{1}{3}$ всей работы.

3. Найдем оставшуюся часть работы.

Чтобы найти, какую часть работы осталось выполнить, вычтем из всего объема работы (1) часть, выполненную первой бригадой:

$W_{ост} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Осталось выполнить $\frac{2}{3}$ всей работы.

4. Рассчитаем, сколько дней потребовалось второй бригаде, чтобы закончить работу.

Разделим оставшийся объем работы на производительность второй бригады:

$t_2 = \frac{W_{ост}}{P_2} = \frac{2/3}{1/12} = \frac{2}{3} \times \frac{12}{1} = \frac{24}{3} = 8$ дней.

Второй бригаде потребовалось 8 дней для завершения задания.

5. Определим общее время выполнения задания.

Сложим время работы первой бригады и время работы второй бригады:

$T_{общ} = 3 \text{ дня} + 8 \text{ дней} = 11 \text{ дней.}$

Ответ: задание было выполнено за 11 дней.

85. Расстояние между двумя пристанями по течению реки катер проходит за 8 ч, а плот — за 72 ч. Сколько времени потратит катер на тот же путь по озеру?

Для решения этой задачи давайте представим весь путь между пристанями как одну целую часть. Тогда мы сможем выразить скорости как часть пути, пройденную за час.

1. Определение скорости течения реки.
Плот не имеет собственного двигателя, поэтому его скорость равна скорости течения реки. Плот проходит весь путь за 72 часа. Следовательно, скорость течения реки составляет:
$v_{течения} = 1 \div 72 = \frac{1}{72}$ (пути в час).

2. Определение скорости катера по течению.
Катер по течению проходит весь путь за 8 часов. Его скорость по течению равна:
$v_{по\;течению} = 1 \div 8 = \frac{1}{8}$ (пути в час).

3. Определение собственной скорости катера.
Скорость катера по течению — это сумма его собственной скорости (скорости в стоячей воде) и скорости течения: $v_{по\;течению} = v_{собственная} + v_{течения}$.
Чтобы найти собственную скорость катера, нужно из его скорости по течению вычесть скорость течения:
$v_{собственная} = v_{по\;течению} - v_{течения} = \frac{1}{8} - \frac{1}{72}$
Приведем дроби к общему знаменателю 72:
$v_{собственная} = \frac{9}{72} - \frac{1}{72} = \frac{8}{72}$
Сократив дробь, получаем:
$v_{собственная} = \frac{1}{9}$ (пути в час).

4. Определение времени движения катера по озеру.
В озере нет течения, поэтому катер будет двигаться со своей собственной скоростью. Чтобы найти время, необходимое для прохождения всего пути (1 целой части), нужно разделить путь на собственную скорость катера:
$t_{озеро} = 1 \div v_{собственная} = 1 \div \frac{1}{9} = 1 \cdot 9 = 9$ (часов).

Ответ: 9 часов.

86. а) Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами $A$ и $B$ по течению реки за 2 ч, а плот — за 8 ч. Какое время затратит моторная лодка на обратный путь?

б) Плот плывёт от $A$ до $B$ 40 ч, а катер — 4 ч. Сколько часов катер плывёт от $B$ до $A$?

а)

Обозначим расстояние между пунктами A и B как $S$, собственную скорость моторной лодки как $v_л$, а скорость течения реки как $v_р$.

Скорость плота равна скорости течения реки. Плот проходит расстояние $S$ за 8 часов, следовательно, скорость течения реки:
$v_р = S / 8$.

Моторная лодка движется по течению (от A до B) со скоростью $v_л + v_р$ и проходит это расстояние за 2 часа. Таким образом:
$v_л + v_р = S / 2$.

Чтобы найти собственную скорость лодки, подставим в это уравнение найденное значение скорости течения:
$v_л + S/8 = S/2$
$v_л = S/2 - S/8 = 4S/8 - S/8 = 3S/8$.

На обратном пути лодка будет двигаться против течения. Её скорость будет равна $v_л - v_р$.
$v_{против} = 3S/8 - S/8 = 2S/8 = S/4$.

Теперь можем найти время, которое лодка затратит на обратный путь:
$t = S / v_{против} = S / (S/4) = 4$ часа.

Ответ: 4 часа.

б)

Обозначим расстояние между A и B как $S$, собственную скорость катера как $v_к$, а скорость течения реки как $v_р$.

Плот плывет со скоростью течения реки. Он проходит расстояние $S$ за 40 часов, значит:
$v_р = S / 40$.

Катер плывет от A до B по течению со скоростью $v_к + v_р$ и тратит на это 4 часа:
$v_к + v_р = S / 4$.

Найдем собственную скорость катера из этого уравнения:
$v_к + S/40 = S/4$
$v_к = S/4 - S/40 = 10S/40 - S/40 = 9S/40$.

На обратном пути из B в A катер будет плыть против течения. Его скорость будет равна $v_к - v_р$:
$v_{против} = 9S/40 - S/40 = 8S/40 = S/5$.

Время, которое катер потратит на обратный путь, равно:
$t = S / v_{против} = S / (S/5) = 5$ часов.

Ответ: 5 часов.

87. Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2 алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?

Для решения задачи сначала определим количество гусей в каждой из двух партий. Всего было 96 гусей, значит, каждая партия состояла из:

$96 \div 2 = 48$ гусей.

Далее необходимо перевести старорусские денежные единицы в единую систему измерения. Для удобства расчетов будем использовать наименьшую единицу — полушку. Известны следующие соотношения:

1 алтын = 3 копейки

1 копейка = 4 полушки

Отсюда следует, что 1 алтын равен $3 \times 4 = 12$ полушкам.

Теперь рассчитаем стоимость каждой партии.

Цена одного гуся из первой партии составляла 2 алтына и 7 полушек. Выразим эту цену в полушках:

$2 \times 12 + 7 = 24 + 7 = 31$ полушка.

Стоимость первой партии из 48 гусей равна:

$48 \times 31 = 1488$ полушек.

Цена одного гуся из второй партии составляла 2 алтына без полушки (то есть 2 алтына минус 1 полушка). Выразим эту цену в полушках:

$2 \times 12 - 1 = 24 - 1 = 23$ полушки.

Стоимость второй партии из 48 гусей равна:

$48 \times 23 = 1104$ полушки.

Общая стоимость всей покупки равна сумме стоимостей двух партий:

$1488 + 1104 = 2592$ полушки.

Для большей наглядности итоговую сумму можно выразить в более крупных денежных единицах. Переведем полушки в алтыны:

$2592 \div 12 = 216$ алтын.

Также можно перевести сумму в рубли и копейки:

$2592 \text{ полушки} \div 4 = 648$ копеек.

$648 \text{ копеек} = 6$ рублей $48$ копеек.

Ответ: вся покупка стоит 216 алтын (или 6 рублей 48 копеек).

88. а) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады — за 18 дней; первая и третья бригады — за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?

б) В бассейн проведены три трубы. Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин; через первую и третью трубы он наполняется за 1 ч 24 мин, а через вторую и третью — за 2 ч 20 мин. За сколько минут наполнится бассейн через все три трубы?

в) По условию задачи а) определите, за сколько дней третья бригада сможет выполнить задание, работая отдельно.

а) Примем всю работу за 1. Пусть $p_1$, $p_2$ и $p_3$ – производительность первой, второй и третьей бригад соответственно (часть задания, выполняемая за один день). Из условия задачи следует система уравнений:
Производительность первой и второй бригад: $p_1 + p_2 = \frac{1}{9}$
Производительность второй и третьей бригад: $p_2 + p_3 = \frac{1}{18}$
Производительность первой и третьей бригад: $p_1 + p_3 = \frac{1}{12}$
Сложим все три уравнения, чтобы найти удвоенную суммарную производительность всех бригад:
$(p_1 + p_2) + (p_2 + p_3) + (p_1 + p_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12}$
$2(p_1 + p_2 + p_3) = \frac{4}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$
Теперь найдем суммарную производительность трех бригад, работающих вместе, разделив результат на 2:
$p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{4} \div 2 = \frac{1}{8}$
Это означает, что за один день три бригады вместе выполняют $\frac{1}{8}$ часть задания. Следовательно, на выполнение всего задания им потребуется:
$T = \frac{1}{1/8} = 8$ дней.
Ответ: 8 дней.

б) Примем объем бассейна за 1. Сначала переведем все временные интервалы в минуты:
1 ч 10 мин = $60 + 10 = 70$ мин
1 ч 24 мин = $60 + 24 = 84$ мин
2 ч 20 мин = $2 \times 60 + 20 = 140$ мин
Пусть $r_1$, $r_2$ и $r_3$ – скорости наполнения бассейна первой, второй и третьей трубами соответственно (часть бассейна в минуту). Составим систему уравнений по аналогии с предыдущей задачей:
$r_1 + r_2 = \frac{1}{70}$
$r_1 + r_3 = \frac{1}{84}$
$r_2 + r_3 = \frac{1}{140}$
Сложим все три уравнения:
$(r_1 + r_2) + (r_1 + r_3) + (r_2 + r_3) = \frac{1}{70} + \frac{1}{84} + \frac{1}{140}$
$2(r_1 + r_2 + r_3) = \frac{6}{420} + \frac{5}{420} + \frac{3}{420} = \frac{14}{420} = \frac{1}{30}$
Найдем суммарную скорость наполнения через три трубы:
$r_1 + r_2 + r_3 = \frac{1}{30} \div 2 = \frac{1}{60}$
Таким образом, за одну минуту три трубы вместе наполняют $\frac{1}{60}$ часть бассейна. Время, необходимое для полного наполнения бассейна, составит:
$T = \frac{1}{1/60} = 60$ минут.
Ответ: 60 минут.

в) Воспользуемся результатами решения задачи а). Мы знаем суммарную производительность трех бригад и производительность первой и второй бригад вместе:
Суммарная производительность: $p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{8}$
Производительность первой и второй бригад: $p_1 + p_2 = \frac{1}{9}$
Чтобы найти производительность третьей бригады ($p_3$), вычтем из суммарной производительности трех бригад производительность первых двух:
$p_3 = (p_1 + p_2 + p_3) - (p_1 + p_2) = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$
Приведем дроби к общему знаменателю 72:
$p_3 = \frac{9}{72} - \frac{8}{72} = \frac{1}{72}$
Производительность третьей бригады составляет $\frac{1}{72}$ задания в день. Следовательно, время $T_3$, за которое третья бригада выполнит задание, работая отдельно, равно:
$T_3 = \frac{1}{p_3} = \frac{1}{1/72} = 72$ дня.
Ответ: 72 дня.

89. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А может выполнить её один раз за 3 недели, В — три раза за 8 недель, С — пять раз за 12 недель. Спрашивается, за какое время они смогут выполнить эту работу все вместе. (Считайте, что в неделе 6 рабочих дней по 12 ч.)

Для решения задачи сначала определим производительность (скорость выполнения работы) каждого рабочего в отдельности. За единицу работы примем выполнение всей работы один раз. Время будем измерять в неделях.

1. Производительность рабочего A:
Рабочий A выполняет 1 работу за 3 недели. Его производительность $P_A$ составляет: $P_A = \frac{1 \text{ работа}}{3 \text{ недели}} = \frac{1}{3}$ работы в неделю.

2. Производительность рабочего B:
Рабочий B выполняет 3 работы за 8 недель. Его производительность $P_B$ составляет: $P_B = \frac{3 \text{ работы}}{8 \text{ недель}} = \frac{3}{8}$ работы в неделю.

3. Производительность рабочего C:
Рабочий C выполняет 5 работ за 12 недель. Его производительность $P_C$ составляет: $P_C = \frac{5 \text{ работ}}{12 \text{ недель}} = \frac{5}{12}$ работы в неделю.

4. Совместная производительность:
Чтобы найти, как быстро они выполнят работу вместе, сложим их производительности: $P_{общая} = P_A + P_B + P_C = \frac{1}{3} + \frac{3}{8} + \frac{5}{12}$ Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 3, 8 и 12 это 24. $P_{общая} = \frac{1 \cdot 8}{24} + \frac{3 \cdot 3}{24} + \frac{5 \cdot 2}{24} = \frac{8}{24} + \frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{8+9+10}{24} = \frac{27}{24}$ Сократим дробь: $P_{общая} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8}$ работы в неделю.

5. Время выполнения работы вместе:
Время $T$, необходимое для выполнения одной работы, является величиной, обратной производительности: $T = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{9}{8}} = \frac{8}{9}$ недели.

6. Перевод времени в дни и часы:
По условию, в неделе 6 рабочих дней по 12 часов. Сначала переведем недели в рабочие дни: $T_{дни} = \frac{8}{9} \text{ недели} \times 6 \frac{\text{дней}}{\text{неделя}} = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$ дня. Представим это в виде смешанной дроби: $\frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3}$ дня. Это означает 5 полных рабочих дней и еще одна треть рабочего дня. Теперь переведем $\frac{1}{3}$ дня в часы: $\frac{1}{3} \text{ дня} \times 12 \frac{\text{часов}}{\text{день}} = 4$ часа.

Таким образом, трое рабочих, работая вместе, выполнят работу за 5 дней и 4 часа.

Ответ: 5 дней 4 часа.