Номер 88, страница 289 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

88. а) Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады — за 18 дней; первая и третья бригады — за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?

б) В бассейн проведены три трубы. Через первые две трубы бассейн наполняется за 1 ч 10 мин; через первую и третью трубы он наполняется за 1 ч 24 мин, а через вторую и третью — за 2 ч 20 мин. За сколько минут наполнится бассейн через все три трубы?

в) По условию задачи а) определите, за сколько дней третья бригада сможет выполнить задание, работая отдельно.

а) Примем всю работу за 1. Пусть $p_1$, $p_2$ и $p_3$ – производительность первой, второй и третьей бригад соответственно (часть задания, выполняемая за один день). Из условия задачи следует система уравнений:
Производительность первой и второй бригад: $p_1 + p_2 = \frac{1}{9}$
Производительность второй и третьей бригад: $p_2 + p_3 = \frac{1}{18}$
Производительность первой и третьей бригад: $p_1 + p_3 = \frac{1}{12}$
Сложим все три уравнения, чтобы найти удвоенную суммарную производительность всех бригад:
$(p_1 + p_2) + (p_2 + p_3) + (p_1 + p_3) = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12}$
$2(p_1 + p_2 + p_3) = \frac{4}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$
Теперь найдем суммарную производительность трех бригад, работающих вместе, разделив результат на 2:
$p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{4} \div 2 = \frac{1}{8}$
Это означает, что за один день три бригады вместе выполняют $\frac{1}{8}$ часть задания. Следовательно, на выполнение всего задания им потребуется:
$T = \frac{1}{1/8} = 8$ дней.
Ответ: 8 дней.

б) Примем объем бассейна за 1. Сначала переведем все временные интервалы в минуты:
1 ч 10 мин = $60 + 10 = 70$ мин
1 ч 24 мин = $60 + 24 = 84$ мин
2 ч 20 мин = $2 \times 60 + 20 = 140$ мин
Пусть $r_1$, $r_2$ и $r_3$ – скорости наполнения бассейна первой, второй и третьей трубами соответственно (часть бассейна в минуту). Составим систему уравнений по аналогии с предыдущей задачей:
$r_1 + r_2 = \frac{1}{70}$
$r_1 + r_3 = \frac{1}{84}$
$r_2 + r_3 = \frac{1}{140}$
Сложим все три уравнения:
$(r_1 + r_2) + (r_1 + r_3) + (r_2 + r_3) = \frac{1}{70} + \frac{1}{84} + \frac{1}{140}$
$2(r_1 + r_2 + r_3) = \frac{6}{420} + \frac{5}{420} + \frac{3}{420} = \frac{14}{420} = \frac{1}{30}$
Найдем суммарную скорость наполнения через три трубы:
$r_1 + r_2 + r_3 = \frac{1}{30} \div 2 = \frac{1}{60}$
Таким образом, за одну минуту три трубы вместе наполняют $\frac{1}{60}$ часть бассейна. Время, необходимое для полного наполнения бассейна, составит:
$T = \frac{1}{1/60} = 60$ минут.
Ответ: 60 минут.

в) Воспользуемся результатами решения задачи а). Мы знаем суммарную производительность трех бригад и производительность первой и второй бригад вместе:
Суммарная производительность: $p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{8}$
Производительность первой и второй бригад: $p_1 + p_2 = \frac{1}{9}$
Чтобы найти производительность третьей бригады ($p_3$), вычтем из суммарной производительности трех бригад производительность первых двух:
$p_3 = (p_1 + p_2 + p_3) - (p_1 + p_2) = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$
Приведем дроби к общему знаменателю 72:
$p_3 = \frac{9}{72} - \frac{8}{72} = \frac{1}{72}$
Производительность третьей бригады составляет $\frac{1}{72}$ задания в день. Следовательно, время $T_3$, за которое третья бригада выполнит задание, работая отдельно, равно:
$T_3 = \frac{1}{p_3} = \frac{1}{1/72} = 72$ дня.
Ответ: 72 дня.