Номер 83, страница 289 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

83. Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Два почтальона А и В находятся друг от друга на расстоянии 59 миль. Утром они отправляются друг другу навстречу. А проходит в 2 ч 7 миль, В — в 3 ч 8 миль, но В выходит часом позднее, чем А. Сколько миль пройдёт А до встречи с В?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько шагов: сначала определить скорости каждого почтальона, затем учесть, что один из них вышел раньше, и после этого рассчитать время и расстояние до встречи.

1. Находим скорости почтальонов.
Скорость почтальона A ($v_A$) вычисляется как отношение пройденного расстояния ко времени. Он проходит 7 миль за 2 часа:
$v_A = \frac{7 \text{ миль}}{2 \text{ ч}} = 3,5$ мили/ч.
Скорость почтальона B ($v_B$) проходит 8 миль за 3 часа:
$v_B = \frac{8 \text{ миль}}{3 \text{ ч}} = \frac{8}{3}$ мили/ч.

2. Учитываем, что почтальон A вышел раньше.
По условию, B выходит на 1 час позже, чем A. Это значит, что первый час почтальон A двигался один. Рассчитаем расстояние, которое он прошел за это время ($S_{A1}$):
$S_{A1} = v_A \cdot t = 3,5 \frac{\text{мили}}{\text{ч}} \cdot 1 \text{ ч} = 3,5$ мили.

3. Находим оставшееся расстояние.
К моменту выхода почтальона B, расстояние между ними сократилось. Вычтем из общего расстояния путь, который уже прошел A:
$S_{ост} = 59 \text{ миль} - 3,5 \text{ мили} = 55,5$ миль.

4. Рассчитываем время до встречи.
Теперь почтальоны движутся навстречу друг другу. Их скорость сближения ($v_{сбл}$) равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_A + v_B = 3,5 + \frac{8}{3} = \frac{7}{2} + \frac{8}{3} = \frac{21+16}{6} = \frac{37}{6}$ мили/ч.
Время, через которое они встретятся ($t_{встр}$), равно оставшемуся расстоянию, деленному на скорость сближения:
$t_{встр} = \frac{S_{ост}}{v_{сбл}} = \frac{55,5}{\frac{37}{6}} = \frac{111}{2} \cdot \frac{6}{37} = \frac{111 \cdot 6}{2 \cdot 37}$.
Так как $111 = 3 \cdot 37$, мы можем упростить выражение:
$t_{встр} = \frac{3 \cdot 37 \cdot 6}{2 \cdot 37} = \frac{3 \cdot 6}{2} = 9$ часов.
Это время, которое они двигались вместе до встречи.

5. Находим общее расстояние, пройденное почтальоном A.
Общее время в пути для почтальона A ($t_A$) — это 1 час, который он шел один, плюс 9 часов, которые он шел до встречи с B:
$t_A = 1 \text{ ч} + 9 \text{ ч} = 10$ часов.
Теперь найдем общее расстояние, которое прошел A ($S_A$), умножив его скорость на общее время в пути:
$S_A = v_A \cdot t_A = 3,5 \frac{\text{мили}}{\text{ч}} \cdot 10 \text{ ч} = 35$ миль.

Ответ: 35 миль.