Номер 78, страница 287 - гдз по математике 5 класс учебник Никольский, Потапов

78. a) Первое слагаемое составляет $\frac{2}{3}$ второго, а их сумма равна 45. Найдите слагаемые.

б) Первое слагаемое составляет $\frac{2}{3}$ суммы и на 45 больше второго слагаемого. Найдите слагаемые.

в) Первое слагаемое равно 45, а второе составляет $\frac{2}{3}$ суммы двух слагаемых. Найдите сумму.

г) Вычитаемое составляет $\frac{2}{3}$ уменьшаемого, а их разность равна 45. Найдите уменьшаемое и вычитаемое.

а) Пусть второе слагаемое равно $x$. Тогда первое слагаемое, которое составляет $\frac{2}{3}$ от второго, будет равно $\frac{2}{3}x$. Их сумма равна 45. Составим уравнение:
$x + \frac{2}{3}x = 45$
$\frac{3x + 2x}{3} = 45$
$\frac{5}{3}x = 45$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{3}{5}$:
$x = 45 \cdot \frac{3}{5} = 9 \cdot 3 = 27$.
Второе слагаемое равно 27.
Теперь найдем первое слагаемое:
$\frac{2}{3} \cdot 27 = 2 \cdot 9 = 18$.
Ответ: первое слагаемое 18, второе слагаемое 27.

б) Пусть первое слагаемое – $x$, а второе – $y$. Их сумма $S = x+y$.
Из условия задачи имеем систему уравнений:
1) Первое слагаемое составляет $\frac{2}{3}$ суммы: $x = \frac{2}{3}S$ или $x = \frac{2}{3}(x+y)$.
2) Первое слагаемое на 45 больше второго: $x = y + 45$.
Из второго уравнения выразим $y$: $y = x - 45$.
Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:
$x = \frac{2}{3}(x + (x - 45))$
$x = \frac{2}{3}(2x - 45)$
Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:
$3x = 2(2x - 45)$
$3x = 4x - 90$
$4x - 3x = 90$
$x = 90$.
Первое слагаемое равно 90.
Найдем второе слагаемое: $y = 90 - 45 = 45$.
Ответ: первое слагаемое 90, второе слагаемое 45.

в) Пусть первое слагаемое $a_1 = 45$, второе слагаемое – $a_2$, а их сумма – $S$.
По условию, второе слагаемое составляет $\frac{2}{3}$ суммы: $a_2 = \frac{2}{3}S$.
Сумма определяется как $S = a_1 + a_2$.
Подставим известные значения в эту формулу:
$S = 45 + \frac{2}{3}S$
Перенесем $\frac{2}{3}S$ в левую часть уравнения, изменив знак:
$S - \frac{2}{3}S = 45$
$\frac{3}{3}S - \frac{2}{3}S = 45$
$\frac{1}{3}S = 45$
Чтобы найти $S$, умножим обе части на 3:
$S = 45 \cdot 3 = 135$.
Ответ: сумма равна 135.

г) Пусть уменьшаемое – $x$, а вычитаемое – $y$.
По условию, вычитаемое составляет $\frac{2}{3}$ уменьшаемого: $y = \frac{2}{3}x$.
Разность равна 45: $x - y = 45$.
Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x - \frac{2}{3}x = 45$
$\frac{3}{3}x - \frac{2}{3}x = 45$
$\frac{1}{3}x = 45$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на 3:
$x = 45 \cdot 3 = 135$.
Уменьшаемое равно 135.
Теперь найдем вычитаемое:
$y = \frac{2}{3} \cdot 135 = 2 \cdot 45 = 90$.
Ответ: уменьшаемое 135, вычитаемое 90.